Sichtweite vom Leuchtturm

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chell Auf diesen Beitrag antworten »
Sichtweite vom Leuchtturm
Hallo,

ich sitze hier geade an einer interessanten Aufgabe, die ich aber irgendwie nicht gelöst bekomme:

Ein Leuchturm steht in einem Gebiet, dass 282 Hektar umfasst. Das Licht blinkt alle 5 Sekunden. Das Blinklicht befindet sich 53 m über dem Meerespiegel und soll 40 km zu sehen sein.

Wie kann ich nun beweisen, dass es wirklich noch 40 km Entfernung zu sehen ist bzw. es wiederlegen? Brauche vielleicht nur ein paar Denkantöße...

Vielen Dank!

chell
Ace Piet Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Interessante Aufgabe
Male Dir eine Erdkugel (Kreis) mit Radius r und darauf einen senkrechten Strich der Höhe h =53. Von der Spitze zeichnest Du eine Tangente an die "Erdkugel" und stellst fest, daß "jenseits" der Tangente kein Licht mehr zu sehen ist... Der sichtbare Bereich von x km ist also ein Teil-Bogen auf dem Kreis.

HTH
_________

PS.: 5x blinken und den Vorgarten des Turmes halte ich für Augenwischerei...

_________

nachträglicher Tipp: Das obenbeschriebene 3-Eck (r+h, r, Tangentenstück) ist rechtwinklig (da, wo die Tangente den Erdkreis trifft). - Malt man im "Erdinneren" den Winkel hinein, ergeben sich...

[1] ... (aus dem Kreisumfang)
[2] ... (cos-Definition)

Als ungefährer Erdradius ist mir 6370 km bekannt und (nur zur Kontrolle für andere) deucht mich: Der Leuchtturm ist nur ca. 26 km weit zu sehen. - Sollte er 40 km weit zu sehen sein, braucht es eine Höhe von mind. ca. 125,5 m
chell Auf diesen Beitrag antworten »

Wie meinst du das mit dem Winkel alpha im "Erdinneren"? Den Rest verstehe ich nur halt nicht, welchen Winkel du da meinst. Meinst du den der sich aus der Tangente und der Höhe h ergibt?
Ace Piet Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast 2 Schenkel des Winkels , der seinen Scheitel im Erdmittelpunkt hat...

[1] r + h ... (Radius + Leuchtturm)
[2] r ...

Dieses definiert den sichtbaren Bogen (für ist das der Kreis-/Erdumfang).

> ...den der sich aus der Tangente und der Höhe h ergibt?
Also genau den anderen, der nicht 90° ist...
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Aufgabe mit Leuchtturm
Ace Piet Auf diesen Beitrag antworten »

> Aufgabe mit Leuchtturm

Dort wird die Strahllänge s des Leuchtturmes (erstmal) ersatzweise für die Bogenlänge x (über Grund) genommen und (zweitens) dann um korrigiert.

Damit wäre *urggh*

Der exakte Zusammenhang ist nicht wesentlich komplizierter, läßt sich je nach Bedarf nach h bzw. x exakt auflösen und könnte damit auch für eine "Satelliten-Aufgabe" als Referenz herhalten. - Nur mal so.

Wink -Ace-
 
 
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

@Ace..

Wenn ich hoch droben im Leuchtturm sitze, interessiert mich nicht, wie weit man am Boden kriechen müsste, um bis zum Horizont zu kommen, sondern die Länge der freien Sicht dorthin, und das ist nun mal die Tangente. Und das Abkürzen der exakten Formel ist völlig legitim, das ist auch der Usus in der Praxis.

Die von dir angegebene Methode zur Bestimmung der Länge am Kreisbogen ist fein und exakt, keine Frage.

Allerdings weicht die damit berechnete Länge von 18,546665.. von der näherungsweise ermittelten 18,54872.. um nur 5,5 cm (!!) ab. Das exakte Ergebnis kann wegen der Kleinheit des Winkels (0,0029116 Rad) auch nicht 100%-ig mit einem normalen Taschenrechner in allen Stellen als gesichert angesehen werden (Rundungsfehler).

Bei Satellitenberechnungen wird man allerdings den von dir gezeigten Weg gehen müssen, denn da sind die Dimensionen doch etwas anders.

Bei Näherungsrechnungen muss eben immer auf den relativen Fehler Bedacht genommen werden. Und dieser beträgt bei dem o.a. Beispiel rd. !!

mY+
Ace Piet Auf diesen Beitrag antworten »

@Mythos
> Wenn ich hoch droben im Leuchtturm sitze, ...

Es gibt eine Menge mehr Näherungsformeln z.B. [2] und ich habe mich für den "Fall Leuchtturm" (hier: h = 53) von der Güte [1] überzeugt, nur juckt IMHO nicht die Länge eines Sehstrahles, sondern der sichtbare Bereich "auf Luftmatratze", sprich: Karte.

Um es klar zu machen:

und der Unterschied ist das und die Brauchbarkeit für das Boot und nicht für den Leuchtturmwärter.

Da ich noch ganz scharf auf Mathepreise bin, schlage ich noch halber Leuchtturm in km als Vereinfachung vor.

> die damit berechnete Länge von 18,546665
Was hast Du da gerechnet? - Siehe [1].

> auf den relativen Fehler ...
Bevor die Dinge Überhand nehmen... Du meintest schon irgendeinen Quotienten und nicht die absolute Differenz (bei relativ kleinem h)?

Fazit:
> Usus in der Praxis
und lokal ist die Erde doch eine Scheibe...

Wink -Ace-
______________________

[1]
... (exakter Bogen)
... (Sehstrahl) mm
... (RichtfunkFormel) mm

[2]
mit mm aus "COS-Taylor".
"Faltet" man im Nenner den Leuchtturm weg, entsteht btw. wieder die RichtfunkFormel: *MUHAHA*
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ace Piet
...
> die damit berechnete Länge von 18,546665
Was hast Du da gerechnet? - Siehe [1].

> auf den relativen Fehler ...
Bevor die Dinge Überhand nehmen... Du meintest schon irgendeinen Quotienten und nicht die absolute Differenz (bei relativ kleinem h)?
...


Das Beispiel in dem von dir angesprochenen Thread

Der relative Fehler ist immer ein Quotient, und daher dimensionslos, allenfalls in Prozent anzugeben. Den habe ich berechnet, alles andere wäre Lug und Trug.

mY+
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

NOT:
die sichtweite beträgt "nach hoffentlich einheitlicher sicht" ca. 26 km, was nicht ausreichen dürfte, die gewünschten 282 ha (bei sichtweite in kreisesform), auszuleuchten.

OT1:
die fehlerdiskussion sollte meiner meinung nach nicht ganz unberücksichtigt lassen, dass der (aktuelle) mittlere erdradius = 6308 +/- 11km, was den einfluß der leuchturmhöhe von 53m etwas relativieren sollte, ganz zu schweigen von einem erdradius in nordsüd-richtung von 6330 - 6400 km (+ 53m?).
meine schlauheit beziehe ich aus WIKIPEDIA, und ich gebe dazu bewußt keinen link, weil auch dies wegen DE - EN ein reizthema zu sein scheint: replik, auch die deutsche version ist nicht hinten, wie acepiet unterstellt, und unterscheidet zwischen replik und replc(ation)!

OT2: was mich bewegt und mir eine(n) gewisse(n) part(ition) meines schlafes raubt: wozu blinkt das ganze???

friede sei mit euch und uns allen
werner
Ace Piet Auf diesen Beitrag antworten »

(OT)
Ich werde zum Thema sachlich nix mehr beitragen, zumal es mir aus einer Ecke angeraten wurde, die ich allerhöchstens achte.

-EOD- (4 me) (4 all) *Ende*
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