Workshop zu Stammfunktionen/Ableitungen von e-Funktionen?

25.03.2006, 13:39

aski

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Workshop zu Stammfunktionen/Ableitungen von e-Funktionen?

Hi Leute,

ich bin grad am lernen für mein Abi...ich nehm MAthe eh nicht auf der Uni^^
Aber ich muss es dennoch können Augenzwinkern

Augenzwinkern

Jedenfalls hab ich viel iM Forum durchforstet und einiges steht zerstreut, vor allem aber, sind dort immernur leichte Aufgaben oder total schwere jedenfalls für mich.

Daher woltle ich fragen ob nicht jemand es schaffen würde einen Workshop zu machen, wie ich (mit Beispielen und nicht nur Formeln) welche FUnktion wie ableite.
Jeder kennt Produkt und Quotientenregel oder Kettenregel in seiner Form hier. Ich auch. Aber wenn ich ne Funktion sehe wie: $\begin{eqnarray*} x²*e^{x3} \end{eqnarray*}$

weiss ich z.b. nicht mehr wenn ich ableiten soll:

Erst die Produktregel wegen dem *

oder $\begin{eqnarray*} e^{x3} \end{eqnarray*}$ zuerst wegen der inneren mal der äußeren?

Bei der Bildung der Stammfunktion ist bei mir auch Ende. ICh kenne die Regel hab aber ein Problem bei der ANwendung. Und durch üben krieg ich das nicht gebacken. Ableitungen /Stammfunktionen von e-Fkt. sind das einzige in der Mathematik was mir bsiher Probs geamcht hat. und daher brauch ich das dringend, weilsn Schlüsselwissen ist.

In Mathebüchern werden immer SEHR simple Beispiele und dann die Regeln aufgeführt und die AUfgaben zum Üben sind ca. 20mal so schwer finde ich. Daher kA fänd ich ne allgemein VOrgehensweise die alles genau beschreibt hilfreich, denn es gibt hier 200 Threads zum Thema, wie bilde ich hiervon die Stammfunktion. Und ich bin nicht so der Mathecrack, als dass ich das machen könnte und auch alles verstehe :/, aber es würde mir und sicher einigen anderen helfen. Ich bin nicht faul nur ich seh die Ableitung vor lauter Zahlen manchmal nich...

MfG aski

25.03.2006, 13:47

Lazarus

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meinst du mit $\begin{eqnarray*} e^{x3} \end{eqnarray*}$ eher $\begin{eqnarray*} e^{x^3} \end{eqnarray*}$ oder doch $\begin{eqnarray*} e^{3\cdot x} \end{eqnarray*}$ ?

wie dem auch sei, wenn du die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \cdot e^{3x} \end{eqnarray*}$ hast siehst du als erstes das produkt von zwei variablen faktoren.

also musst du die produktregel anwenden. dass dabei eine der beiden teilfunktionen in sich nochmal verkettet ist spielt keine rolle, bzw wird erst später bearbeitet.

Das wichtige ist, zu erkennen welche die "Hauptverknüpfung" in der funktion ist.

Edit: Wie man die Funktion integriert ist ne andere Geschichte, da kann man nicht allgemein sagen "das ist ein produkt als partiell" meist führen dabei auch mehrere wege zum ziel...

25.03.2006, 13:51

aski

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ich meine e^x^3 aber konnte das gerade nicht darstellen irgendwie..
das heißt also mein abi is verloren ja..?=/

z.b. ln(x²)+ln(1/x)-ln(2x)

davon die ableitung.

Ich weiss dass von lnx die ableitung 1/x ist.
So am Ende mit meinem Latein.

ich weiss auch dass ich durch das logarythmengesetz die 2 vom x² vors ln ziehen kann ...daher würde ich jetzt sagen:

f'(x)= 2/x+1/x^-1-1/2x

sry aber formeleditor geht in der editfunktion nicht mehr..und die ableitung ist sowieso falsch...ich kenn die formeln und gesetze aber helfen tut mir das auch nich...

25.03.2006, 13:56

Lazarus

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Verloren würde ich nicht sagen, allerdings hilft denk ich nur die Übung dabei ein Gespür zu entwickeln dafür.

Wenn du willst kann ich dir paar Aufgaben zusammenschreiben die du dann lösen darfst. Ist ja kein Zeitaufwand, es geht schliesslich nur um das erkennen der Regeln.

Achja, das mit der Integration dieser Funktion vergessen wir mal lieber schnell wieder, denn es wird wohl schwer werden eine Analytisch angebbare geschlossene Form zu finden.

Servus

25.03.2006, 13:58

aski

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ja danke das wäre recht nett...und ist die ableitung in meinem beitrag obenr ichtig? also die mit ln..

25.03.2006, 14:13

Lazarus

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nein, das ist falsch.

Aber der Fehler liegt nicht im erkennen der Regeln sondern in der Anwendung.

$\begin{eqnarray*} f(x)=\ln(x^2)+\ln(\frac{1}{x})-\ln(2x) \end{eqnarray*}$

Ich nehm das mal als Musteraufgabe um dir den Lösungsweg aufzuzeigen.

Als erstes erkenne ich das es sich um eine Summe und eine Differenz handelt.
Nach der Summenregel darf ich jeden Summanden einzeln ableiten, somit kann ich nun jeden ln einzeln betrachten.

Nun kommt die kettenregel zum tragen, denn ln(x) ist eine verkettete funktion. die ableitung ist 1/x, das ist richtig. allerdings muss man die innter funktion (hier nur x) nachdifferenzieren. da x abgeleitet 1 ergibt ist das hier aber kein problem.
nehmen wir nun den ln(x^2) der in der funktion vorkommt.

stures vorgehen nach der kettenregel:
[ln(x^2)]'= 1/(x^2) * 2x <- Nachdifferenziert.

das vorgehen ist also, ich schreib das was innerhalb der verkettung ist, einfach ab und setz es ein, dann multiplizier ich hinten noch die ableitung von der inneren teilfunktion.

im ganzen ergibt also ln(x^2) abgeleitet 1/(x^2)*2x = 2/x

das haste auch richtig gemacht gehabt. aber danach fängts an:

ln(1/x) abgeleitet gibt erstmal 1/(1/x)*[1/x]' und [1/x]'=-1/x^2
beim letzten das gleiche
ln(2x)=1/2x*[2x]'=1/x

Ich werd im laufe des Tages paar Aufgaben machen und dranhängen, an denen du dich dann auslassen kannst Augenzwinkern

Augenzwinkern

servus

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25.03.2006, 15:17

Lazarus

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Aufgabensammlung:
$\begin{eqnarray*} a(x)&=&e^{(x-1)^3} \\\\b(x)&=&a^{\frac{2x-4}{36x}} \\\\c(x)&=&\frac{\ln{3x-5}}{(x-1)^2}\\\\ d(x)&=&e^{a \cdot \ln{5*a}} \\\\f_t(x)&=&\ln{(2-t \cdot e^{-x})} \\\\g(x)&=& \frac {\sqrt{1+x^2}}{e^{\frac{1}{2x}}} \\\\ h(x)&=&x^e \\\\i(x)&=&\sin{\ln{x}} \\\\j(x)&=&\frac{e^x-e^{-x}}{1-e^{-x}} \end{eqnarray*}$

Alles bitte nach x ableiten und achtung, da sind ein paar Fallen eingebaut Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zugegebener Maßen sind das alle relativ lange Aufgaben, aber da wirst du dich schon durchbeissen können oder ?

25.03.2006, 20:35

phi

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Falls man sich wundert warum für (ln(2x))' = 1/2x*[2x]' = 1/x das gleiche herauskommt wie bei (ln(x))'=1/x, hilft das Logarithmusgesetz weiter:

ln(2x)=ln(2) + ln(x) , und da ln(2) nur eine Konstante ist, ist deren Ableitung 0. Also ist

(ln(2x))' = 0 + 1/x

mfg, phi

25.03.2006, 20:42

mercany

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@Lazarus

Irgendwie kommen mir die Aufgaben sehr bekannt vor. smile

smile

Zu $\begin{eqnarray*} g(x) \end{eqnarray*}$ , wünsche ich viel Spaß. Vorallem beim zusammenfassen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß, mercany

25.03.2006, 22:20

Lazarus

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das glaub ich, jan, dass du die Aufgaben kennst.. habs sie passenderweise wieder ausgegraben Big Laugh

Big Laugh

26.03.2006, 18:54

aski

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dankeschönw erde mich nächste Woche an die arbeit machen sobald meine WL klausur vorbei ist:> lasst den thread bitte nicht untergehen Augenzwinkern

Augenzwinkern

26.03.2006, 18:59

Lazarus

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Untergehn wird der Thread aller Wahrscheinlichkeit nach in der Menge der Neuen Beiträge, aber dafür gibts ja die Suchfunktion.
wenn du nach dem Threadtitel oder deinen eigenen Beiträgen suchst, sollte er sich schnell wieder finden lassen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wenn du willst kann ich mir auch noch paar Aufgaben ausdenken und die hier dranhängen...

servus

30.03.2006, 20:57

aski

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SO hab die AUfgaben jetzt auf dem Papier alle durch. Abgeleitet hab ich sie nun alle. Nach produkt quotienten und kettenregel und log Gesetzen ..ja mhm
Es haben sich da noch 2 andere fragen aufgetan :> ich werde morgen die Ergebnisse von mir posten, indem ich diesen Post editiere wenn das geht:> Jetzt hab ich ersmal noch was zu tun Big Laugh

Big Laugh

achja und meine WIrtschaftsklausur war fett;D

SO bis morgen leutz ihr seid sicher schon gespannt auf meine kranken Lösungen:>

31.03.2006, 12:08

phi

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Wenn ein ganzer Tag dazwischen liegt, brauchst du deine Ergebnisse nicht unbedingt dranzueditieren. Jetzt kannst du ja eh deine Lösungen als ein Paket posten. Augenzwinkern

Augenzwinkern

mfg , phi

31.03.2006, 16:05

aski

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a(x) = $\begin{eqnarray*} e^{(x-1)^3} \cdot \frac{1}{3} \cdot (x-1)^3 \end{eqnarray*}$

b(x) = $\begin{eqnarray*} a^{\frac{2x-4}{36x}-1} \cdot (\frac{-1}{9x^2}) \end{eqnarray*}$

c(x) = $\begin{eqnarray*} \frac{\frac{3}{x} \cdot (x-1)^2 - (ln3x-5) \cdot 2x-2}{((x-1)^2)^2} \end{eqnarray*}$

d(x) = $\begin{eqnarray*} e^{a^2\cdot ln5} \cdot 2aln5+a² \end{eqnarray*}$

ft(x) = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2-t \cdot e^{-x}} \cdot t\cdot e^{-x} \end{eqnarray*}$

g(x) = $\begin{eqnarray*} \frac{0,5 \cdot (x²+1)^{-0,5} \cdot 2x \cdot e^{\frac{1}{2}x} - (1+x²)^{0,5} \cdot \frac{1}{2}e^{\frac{1}{2}x}}{(e^{\frac{1}{2}x})²} \end{eqnarray*}$

h(x) = sorry war überfordert hab das glaub ich nur einmal irgendwo gesehen da gabs abern trick bei wegen dem hoch e...mit ln eventuell irgendwie?

i(x) = $\begin{eqnarray*} \cos(x) \cdot lnx + \sin(x) \cdot \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

j(x) = $\begin{eqnarray*} \frac{(e^x+e^{-x})\cdot(1-e^{-x})-(e^x-e^{-x}) \cdot e^{-x}}{(1-e^{-x})^2} \end{eqnarray*}$

Bitte zerreisst mich nich ;> ..hab echt versucht es gut zu machen ;o

01.04.2006, 11:14

phi

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Zitat:

Original von mercany
Zu $\begin{eqnarray*} g(x) \end{eqnarray*}$ , wünsche ich viel Spaß. Vorallem beim zusammenfassen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Viel spassiger ist das zusammenfassen bei j'(x) !
@ aski : du hast j'(x) richtig, wirst aber angenehm überrascht sein, wenn du´s noch ein wenig aufräumst...

Vorab: Bei allen Ableitungen musst du a'(x)... und nicht die Funktion a(x) selbst schreiben. Augenzwinkern

Augenzwinkern

a'(x) hast du fast richtig, aber bei der inneren Ableitung von (x-1)^3 kannst du auch wieder die Kettenregel anwenden, wobei davon die innere Ableitung (von x) einfach 1 ist.

Bei b'(x) fehlt noch ein ln a.

c'(x) ist falsch

Bei d'(x) bist du in die Falle getappt! Wo ist dort ein x?
Aber die Ableitung nach a ist leider auch falsch..

ft'(x) ist richtig! smile

smile

g'(x) musst du noch zusammenfassen, was ist z.B. 0.5 *2x ?

h'(x): Was ist die Ableitung von x^n , für beliebiges reelles n !=0 ?

i'(x): der erste Term ist fast richtig....

j'(x): Richtig, aber noch zusammenfassen... Big Laugh

Big Laugh

mfg, phi

01.04.2006, 18:39

aski

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alsoo:

a'(x) das war ja nur noch nen *1 die inenre ableitung hab ich dann nicht mehr dran geschrieben aber hier aufm blatt steht es so..also war die erste schon richtig ;D

b'(x) wo kommt da bitte das ln a her? das wird doch nach kettenregel gelöst so wäre $\begin{eqnarray*} u = a^x u'=a^{x-1} v = \frac{2x-4}{36x} v' = \frac{2*36x-(2x-4)*36}{36x^2} \end{eqnarray*}$ sehe da keinen ansatz fürn ln...

c'(x) = das kann nicht falsch sein sry ich verstehs nicht
erst mach ich quotientenregel mit dem zähler und dem nenner...und ln3x und (x-1)^2 mache ich nach kettenregel ...ich bitte um den weg zur lösung weil das glaube ich erst wenn ichs sehe Augenzwinkern

Augenzwinkern

d'(x) = wieso ist die ableitung nach a auch falsch? a*ln5*a ist a^2*ln5 das ganze nach produktregel ..dry aber ein das ist falsch hilft mir nicht wenn ich der überzeugung bin ich gehe richtig vor..ich brauche dann ein egegenbeisiel und ne begründung :/

h'(x) = $\begin{eqnarray*} ex^{e-1} \end{eqnarray*}$ ?

i'(x) = $\begin{eqnarray*} cos ln x + \frac{sin}{x} \end{eqnarray*}$ ? ansonsten überfragt..nach welcher regel geh ich da denn vor? ist doch produktregel wegen dem mal zwischen sin und ln oder nich?

j(x) = oh gott ich kanns nich $\begin{eqnarray*} e^x * (-e^{-x}) \end{eqnarray*}$ ist das -2e ??? Potenzgesetz weil x* (-x) wird docha ddiert beim multiplizieren also die exponenten also 0? -2e^0??? also 1??? ...lacht mich nich aus:/

und mir fällt grad auf wenn h'(x) stimmt dann stimmt mein u bei b'x nich..und wenn h'x nicht stimmt wäre h' = $\begin{eqnarray*} x^{e-1} \end{eqnarray*}$ ..ich dreh durch^^

02.04.2006, 10:26

phi

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moin,

bei a'(x) hast du nicht genau gelesen: Der innere Term der Funktion a(x) ist (x-1)^3 , und dessen Ableitung hast du falsch. Du kannst die Klammer ableiten entweder indem du sie ausschreibst (umständlich), oder indem du nochmal die Kettenregel anwendest, mit x als innerer Term, und (...)^3 als äußeren, also 1-mal 3(...)^2.

Zitat:

Original von phi

a'(x) hast du fast richtig, aber bei der inneren Ableitung von (x-1)^3 kannst du auch wieder die Kettenregel anwenden, wobei davon die innere Ableitung (von x) einfach 1 ist.

zu b'(x): Expotentialfunktionen leitet man ganz anders ab als Potenzfunktionen. (x steht in der Potenz) siehe bei Ableitungstabelle

Für $\begin{eqnarray*} ~ (a>0,a\neq 1)~ \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} ~ (a^x)'=a^x \ln a ~ \end{eqnarray*}$

Noch ein kleiner Tip zu b'(x): Wenn du den Bruch in zwei Summanden splittest, kannst du dir die Quotientenregel sparen....

$\begin{eqnarray*} h'(x) = ex^{e-1} \end{eqnarray*}$ ist richtig ! smile

smile

Bei $\begin{eqnarray*} i(x)&=&\sin{\ln{x}} \end{eqnarray*}$

kann kein "mal" stehen, da der Sinus sonst kein Argument hätte. Es ist also verschachtelt=verkettet. Also

$\begin{eqnarray*} i(x)&=&\sin( \ln{x}) \end{eqnarray*}$

Bei j'(x) gilt unter anderem:

$\begin{eqnarray*} e^x\cdot(-e^{-x}) =\frac{e^x}{-e^{-x}} =-1 \end{eqnarray*}$

Jetzt hast du erstmal was zum Verdauen, rest später.

mfg, phi

03.04.2006, 12:51

phi

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Zitat:

Original von aski
..dry aber ein das ist falsch hilft mir nicht wenn ich der überzeugung bin ich gehe richtig vor..

Hi,

Wenn du öfter online gehst, können wir das auch Punkt für Punkt durchdiskutieren.

Bei d(x) z.B bedeutet a*ln5*a= a ln(5a), also Produkt und Kettenregel.

Bei c'(x) poste mal deinen ganzen Lösungsweg, dann sehen wir wo´s hängt.

(PS: Ich prüfe wegen der Fehleranfälligkeit bei verketteten Ableitungen auch alles mit einem Matheprogramm...kann also nix schiefgehen)

mfg, phi

04.04.2006, 17:50

aski

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Werde dich am Donnerstag dafür kontaktieren im Moment möchte ich mir nochmal Extremwertaufgaben angucken und wie die FOrmel ist fürs ziehen ohne zurücklegen^^

08.04.2006, 10:49

Lazarus

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Da du um neue Aufgaben gebeten hast:

Bitte Ableiten:

$\begin{eqnarray*} f(x)=e^{\sqrt{\sin{\frac{1}{x}}}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(x)=\ln\left(\frac{e^x}{\sin{x}}\right)+x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h(x)=\frac{e^{x}+2}{e^x-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} j(x)=e^{\cos{x}} \end{eqnarray*}$

Und weng Integration:

$\begin{eqnarray*} f(x)=x\cdot e^{2x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(x)=\sin(2x)\cdot e^{2x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h(x)=\frac{e^{x}+2}{e^x-1} \end{eqnarray*}$

Viel Vergnügen !

09.04.2006, 10:07

aski

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juhu gleich morgen wirds gemacht :> momentan sind normalverteilung extremwertaufgaben dranno ;D

10.04.2006, 15:13

aski

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mhm ich merke gerade ich kann nicht integrieren.
Mir sagen zwar partielle Integration und lineare substitution was...aber das nutzt man doch nur bei Integralen? in meinem buch ist natürlich wiedermal kein beispiel...ich glaub ich brauche die regeln..:?=/ hat die jamndn parat im forum gibts die regeln nich und ich weiss grad nix..
ich weiss nur innere ableitung und die dann durch 1 vor die eigentliche funktion und das mal die äußere ableitung...stimmt das?

also 1/m*F(mx+n)

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