Beweis-Dilemma?

25.03.2006, 19:41

papahuhn

Beweis-Dilemma?

Stellt euch folgende Konversation vor:

Zitat:

Person A: Ich beweise Dir folgendes: $\begin{eqnarray*} x² = 0 \Rightarrow x = 0 \end{eqnarray*}$
Person B: Na dann bin ich gespannt.
Person A: Ich führe einen Widerspruchsbeweis. Sei $\begin{eqnarray*} x \neq 0 \end{eqnarray*}$ . Dann teile ich durch $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und erhalte $\begin{eqnarray*} x = 0 \end{eqnarray*}$ . Das widerspricht der Voraussetzung. Also muss $\begin{eqnarray*} x = 0 \end{eqnarray*}$ sein.
Person B: Das akzeptiere ich nicht. Du führst $\begin{eqnarray*} x \neq 0 \end{eqnarray*}$ angeblich zum Widerspruch, bist aber nicht bereit, die Konsequenzen zu tragen. Denn wenn $\begin{eqnarray*} x = 0 \end{eqnarray*}$ ist, wie du sagst, dann darfst du in deinem Beweis gar nicht durch $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ teilen, und das ganze hat sich erledigt.

Wieso ist der Einwand von Person B kein Gegenargument für den Beweis?

25.03.2006, 22:19

therisen

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Zitat:

Wieso ist der Einwand von Person B kein Gegenargument für den Beweis?

A=>B ist äquivalent zu -B=>-A. Man nimmt ja an, dass x ungleich 0 ist, und führt dies zu einem Widerspruch. Es gibt gar keinen Anlass, die "Konsequenzen" zu tragen. Der Fall, dass x=0 ist, wird gar nicht beachtet (bzw. interessiert gar nicht), da man ja obige Äquivalenzumformung der logischen Aussage A=>B vorgenommen hat.

Gruß, therisen

26.03.2006, 12:33

papahuhn

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Zitat:

Original von therisen
A=>B ist äquivalent zu -B=>-A. Man nimmt ja an, dass x ungleich 0 ist, und führt dies zu einem (scheinbaren) Widerspruch.

Der Widerspruch ist aber nicht dein $\begin{eqnarray*} \neg A \end{eqnarray*}$ . Ich hätte die Konversation auch so schreiben können:

Zitat:

Person A: Ich beweise Dir folgendes: $\begin{eqnarray*} x² = 0 \Rightarrow x = 0 \end{eqnarray*}$
Person B: Na dann bin ich gespannt.
Person A: Ich führe einen Widerspruchsbeweis. Sei $\begin{eqnarray*} x \neq 0 \end{eqnarray*}$ . Dann teile ich zweimal durch $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und erhalte $\begin{eqnarray*} 1 = 0 \end{eqnarray*}$ . Das ist ein Widerspruch. Also muss $\begin{eqnarray*} x = 0 \end{eqnarray*}$ sein.
Person B: Das akzeptiere ich nicht. Du führst $\begin{eqnarray*} x \neq 0 \end{eqnarray*}$ angeblich zum Widerspruch, bist aber nicht bereit, die Konsequenzen zu tragen. Denn wenn $\begin{eqnarray*} x = 0 \end{eqnarray*}$ ist, wie du sagst, dann darfst du in deinem Beweis gar nicht zweimal durch $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ teilen, und das ganze hat sich erledigt.

Hier sieht man deutlicher, dass das ein "echter" Widerspruch ist und nicht die negierte Voraussetzung. Der Knackpunkt ist wohl aber dennoch deine Anmerkung, dass man die Konsequenzen nicht tragen muss. Eine wasserdichte Begründung habe ich dafür aber nicht.

26.03.2006, 13:37

Leopold

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Vielleicht liegt es ja daran, daß man nach langer Zeit des Mathematik-Treibens irgendwann einmal "betriebsblind" wird - aber ehrlich gesagt kann ich mich in die Argumentation von Person B überhaupt nicht hineindenken. Ich weiß ja, daß die Argumentation falsch sein muß, und daher weigert sich mein Verstand, da irgendeinen Sinn dahinter zu erkennen.

Es gibt ja nur zwei Möglichkeiten: Entweder ist eine reelle Zahl gleich $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ (erster Fall) - oder sie ist es nicht (zweiter Fall)! Im zweiten (!!!) Fall folgt tatsächlich aus $\begin{eqnarray*} x^2 = 0 \end{eqnarray*}$ die absurde Gleichheit $\begin{eqnarray*} 1 = 0 \end{eqnarray*}$ . Daher kann der zweite Fall nicht eintreten. Folglich muß der erste zutreffen: $\begin{eqnarray*} x = 0 \end{eqnarray*}$ . Niemand behauptet, daß man im ersten Fall durch $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ teilen darf. In der Tat kann man, wenn $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ = 0 ist, für den Fall $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ keinen Widerspruch erzeugen - das wäre ja noch schöner!

26.03.2006, 13:46

therisen

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Was mich auch mal interessieren würde: Ist diese Konversation aus einem dieser Rororo Bücher? Unser Lehrer ist davon auch total begeistert (einfache Mathematik in Pseudo-Diskussionen), aber ich finde das ziemlich blöd.

Gruß, therisen

26.03.2006, 14:10

Frooke

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Für die ganz Dummen wie mich:

$\begin{eqnarray*} x^2=0 \Rightarrow x=\sqrt{0}=0 \end{eqnarray*}$

Ist weniger heikel als teilen Big Laugh

26.03.2006, 14:16

papahuhn

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Nein, das ist aus keinem Buch, das hab ich mir selber ausgedacht. Manchmal ertappe ich mich nämlich dabei, Person B zu sein. Noch ein absurdes Beispiel zu "Konsequenzen tragen":

Zitat:

Person A: Es gibt unendlich viele natürliche Zahlen. Denn angenommen es gibt eine größte natürliche Zahl n. Dann addieren wir eins drauf, und ...

Person B: Nene, zur größten Zahl kann man nichts addieren, denn sonst wäre sie größer.

Wer darf dieses Argument also für sich nutzen? Der Beweisende oder der Widerlegende...

26.03.2006, 15:12

Lazarus

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Der Beweisende, denn der "Einspruch" von B zeigt ja nur, das B den Beweis verstanden hat und somit auch akzeptiert, da er/sie selbst gerade den Beweis untermauert mit einem Beispiel.

Gleiches gilt für die "erste" Person B.
Die Argumentation beruht darauf die erhaltenen Informationen bewusst falsch wahrzunehmen, was natürlich zu einer falschen Schlussfolgerung führt. Das die Person B das zugegebenermaßen geschickt macht machts allerdings nicht besser.

ich schliesse mich therisen an und finde solche Disskusionen ziemlich blöd.

Servus

26.03.2006, 15:58

papahuhn

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Ok, dann hören wir auf damit. Spam

26.03.2006, 16:07

Lazarus

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*gg*
so grob wars doch garnicht gemeint, evtl. findet ja ein anderer unserer noch verbliebenen 9.633 Mitglieder (ohne therisen dich und mich) lust daran sich mit diesen fragestellungen auseinanderzusetzten Augenzwinkern

26.03.2006, 18:40

phi

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Naja, ohne solche Fragen hätte B.Russel gar nicht bemerkt, das seine Definition von "Menge aller Mengen die sich nicht selbst enthalten" eine Antinomie enthielt... Augenzwinkern

mfg, phi

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