Nullstellen berechnen von x^3+7x+6

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Gast Auf diesen Beitrag antworten »
Nullstellen berechnen von x^3+7x+6
Bin ich hier in der richtigen Sparte gelandet? ;-)

Ich soll die Nullstellen, den Hoch und Tief -Punkt, sowie den Wendepunkt berechnen.

Von:




Erstmal zu den Nullstellen ;-)

ich weiß leider nicht welches Verfahren ich da anwenden soll:
es geht z.B. nicht:
p/q Formel, Substitution, Potenzen ausklammern sowie die Faktoren gleich 0 setzen.

Kann mir jemand die Nullstellen mit Rechnung verdeutlichen.

Bis denne
Euer Gastli
Philipp-ER Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, hier ist wohl Raten angesagt. Man sieht unmittelbar, dass 1 eine Nullstelle ist. Polynomdivision durch (x-1) liefert die weiteren Nullstellen.
gast Auf diesen Beitrag antworten »

Ja aber wie mache ich das mit der polynomdivison?

Frage da so nach weil wir bald eine Klausur schreiben.
und das mit dem Raten hatten wir noch nicht so gehabt :-)

War ja auch keine HA, er hat nur gesagt wir sollen uns dass schonmal für die Klausur anschauen.

Kannst du mir das mal ausrechen, oder jemand anders?


Hoffe auf eure hilfe
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

siehe meinen Beitrag im Thread
"Ableitung von einer gebr. rationalen Funktion"
Gast Auf diesen Beitrag antworten »

Hae mir den letzten beitrag genaustens durchgelesen.
Leider auch nicht auf das Ergebnis gekommen.

Die lösung von meiner aufgabe habe ich ja, aber die Rechnung fehlt eben.

Kann mir jemand dasgenau für diese Aufgabe erstellen?

Bitte
Gast Auf diesen Beitrag antworten »

Habe es probiert,

aber vertehe das mit dem Abspalten nicht.
Wie soll man das probieren?
 
 
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Kannst ja auch einfach weiterraten. Big Laugh
Damit habe ich auf Anhieb ne zweite Nullstelle gefunden!

Kannst aber am Anfang auch einfach substituieren und dann mit cardanischen Formeln weiterlösen. Is aber ziemlich umständlich.
Irrlicht Auf diesen Beitrag antworten »

TIP: Wenn ihr ein normiertes Polynom mit Koeffizienten in Z habt, dann muesst ihr nicht viel raten, weil man als "erratbare" Nullstellen nur die Teiler des Absolutgliedes prüfen muss (das ist stumpfes Ausrechnen). Alle Nullstellen, die nicht ganzzahlig und Teiler des Absolutgliedes sind, sind irrational.

Ich rechne es hier am Beispiel mal vor, wie man auf sowas kommt:
Nehmen wir eine Nullstelle a des Polynoms , dann gilt
.
Die 6 auf die andere Seite gebracht und a ausgeklammert, ergibt sich
,
also ist die Nullstelle a ein Teiler der 6 (also ).

Ich habe das in der Schule nie gelernt und wie ich meinen Erstsemestlern das in der Übung sagte, da staunten sie alle und fluchten, dass man ihnen das nicht schon in der Schule gesagt hat. Darum poste ich es mal hier. Man könnte sogar einen ganzen Workshop Nullstellenfindung aufmachen, sofern es den nicht schon gibt.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Und wozu muß das Polynom normiert sein? Einen Grund dafür sehe ich nicht. (Im übrigen gibt es außer ganzen und irrationalen Zahlen auch noch rationale, nicht ganze Zahlen.)
Irrlicht Auf diesen Beitrag antworten »

Das Polynom muss normiert sein, damit dieser Satz gilt, da z.B. 2X - 1 ein Gegenbeispiel zum Satz wäre.

Der Satz lautet allgemein:
Sei f ein normiertes Polynom mit Koeffizienten in Z und a eine reelle Nullstelle von f. Dann gilt:
1. Ist a rational, dann ist a bereits ganzzahlig (hierfür braucht man die Normiertheit).
2. Ist a ganzzahlig, dann ist a ein Teiler des Absolutgliedes von f.

Aus diesem Satz folgt also, dass ein normiertes Polynom mit Koeffizienten in Z nur ganzzahlige oder irrationale reelle Nullstellen hat.

Allgemeiner gilt der Satz für einen beliebigen euklidischen Ring und seinen Quotientenkörper.

Host mi? Augenzwinkern
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Aber wenn man jetzt die Form



hat, dann rät man doch wieder nur die Teiler von 6. Sicher ist das einfacher, aber es ist kein vollständiger mathematischer Rechenweg oder seh ich das jetzt falsch?? Und was ist, wenn du z.B. an der Stelle der 6 eine 4096 oder ein noch größere Zahl zu stehen hast? Da gibts genug Teiler, dass man da ne Stunde oder länger rät.
Irrlicht Auf diesen Beitrag antworten »

@MSS
Natürlich musst du noch die Teiler durchraten und du hast Recht, bei grossen Absolutgliedern kann das lang dauern. Aber der Satz bringt erhebliche Zeiteinsparung, wenn man z.B. bei Absolutglied 13 nicht die Zahlen von -12 bis 12 ausprobieren muss, sondern weiss, dass man nur 4 Kandidaten hat. Unter Zeitdruck kann sich das ausszahlen.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

@ Irrlicht
Aber für 2., worum es uns doch geht, braucht man die Normiertheit nicht.

@ MSS
Deine Frage zeigt die Künstlichkeit dieser ganzen Nullstellenbestimmerei. Natürlich sorgt der Lehrer dafür, daß das konstante Glied nicht allzu viele Teiler hat! (Im übrigen ist gerade dein Beispiel 4096 nicht besonders günstig gewählt, denn als 2er-Potenz hat 4096 noch relativ wenige Teiler.)
Irrlicht Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, da hast du natürlich Recht. Und Teil 2 ist auch schon hilfreich so wie er da steht, nicht? Und in Kombination mit Teil 1 ist er noch ergiebiger.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Irrlicht
@MSS
Natürlich musst du noch die Teiler durchraten und du hast Recht, bei grossen Absolutgliedern kann das lang dauern. Aber der Satz bringt erhebliche Zeiteinsparung, wenn man z.B. bei Absolutglied 13 nicht die Zahlen von -12 bis 12 ausprobieren muss, sondern weiss, dass man nur 4 Kandidaten hat. Unter Zeitdruck kann sich das ausszahlen.


@Irrlicht
Aber bei 13 hat man keine ganzzahlige Nullstelle bei dieser Gleichung. Allerdings hat der Graph eine Nullstelle (muss er ja). Die ist ja nach deinem Verfahren wohl irrational. Wie kriege ich die heraus?? Nur durch Substitution und cardanische Formeln (sehr umständlich und langwierig) oder gibts da noch nen anderen Weg??

@Leopold
Warum hat 4096 wenig Teiler? Ich habe es eigentlich gewählt, da es eine 2er-Potenz ist. Es hat zwar wenig Primfaktoren (nur einen), aber Teiler doch eher viele oder nicht? Hätte ich eine ungerade Zahl gewählt, so hätte es ja z.B. sein können, dass ich eine Primzahl erwische.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn p eine Primzahl ist (z.B. p=2), dann hat p^n genau n+1 Teiler, nämlich 1,p,p²,p³,...,p^n.

Wenn du eine Zahl mit vielen Teilern willst, mußt du viele verschiedene Primzahlen hineinbringen, z.B.
2³·3²·5² hat (3+1)·(2+1)·(2+1)=36 Teiler
Irrlicht Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathespezialschüler
Aber bei 13 hat man keine ganzzahlige Nullstelle bei dieser Gleichung. Allerdings hat der Graph eine Nullstelle (muss er ja). Die ist ja nach deinem Verfahren wohl irrational. Wie kriege ich die heraus?? Nur durch Substitution und cardanische Formeln (sehr umständlich und langwierig) oder gibts da noch nen anderen Weg??


Also wir haben gerade das Polynom jetzt, oder? Hier hast du schon festgestellt, dass dieses Polynom keine rationalen Nullstellen hat. Die Nullstellenfindung wird dann meistens schwierig. Da hilft dann oft nur noch eine Näherungslösung (numerisch oder graphisch).

Mit Cardanos Formel ergibt sich die reelle Lösung
mit , ungefähr -3,306.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Was heißt denn hier numerisch?
Irrlicht Auf diesen Beitrag antworten »

Mit "numerisch" meine ich, dass man die Nullstellen mittels Computer naeherungsweise bestimmt.
Nacks Auf diesen Beitrag antworten »

Haben in der Schule gerade Polynomfunktionen auch mit Nullstellen und so. Habe die Aufgabe mal durchgerechnet und durch probieren die 1. Nullstelle x=1 bekommen und dann durch Polynomdivision weitergerechnet dabei dann x^2+x-6 erhalten und dies dan Stur mit der Lösungsformel ausgerechnet und dadurch x=2 und x=-3 erhalten. Sommit habe ich x1=-1 ; x2=2 ; x3=-3 ; Alle Nullstellen einwertig. Stimmt das? Schreibe nämlich auch bald Schulaufgabe und dies würde mich sehr Interessieren ob ich hier richtig liege.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das stimmt so! Haste richtig gerechnet!
Eisflamme Auf diesen Beitrag antworten »

Für die Findung von Nullstellen, ohne bereits eine zu kennen, benötigt man ein Annäherungsverfahren, da wird oft das Newton-Näherungsverfahren angewandt.
Das eignet sich aber eher für den PC und bei Arbeiten sind Nullstellen normalerweise so gebaut, dass man eine durch Ausprobieren sehen kann.
Sonst:
http://marvin.sn.schule.de/~tzl/softw/newton/newton.htm

MfG Eisflamme
s.o. Auf diesen Beitrag antworten »

Das Programm ist zum Sehen, wie das arbeitet, vielleicht ganz gut.
John Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nullstellen berechnen von x^3+7x+6
Zitat:
Original von Gast
Bin ich hier in der richtigen Sparte gelandet? ;-)

Ich soll die Nullstellen, den Hoch und Tief -Punkt, sowie den Wendepunkt berechnen.

Von:




Erstmal zu den Nullstellen ;-)

ich weiß leider nicht welches Verfahren ich da anwenden soll:
es geht z.B. nicht:
p/q Formel, Substitution, Potenzen ausklammern sowie die Faktoren gleich 0 setzen.

Kann mir jemand die Nullstellen mit Rechnung verdeutlichen.

Bis denne
Euer Gastli



mach die polynomdivision und fertig. Wo is das Prob? TP und Hp machse mit 1. und 2.Ableitung und Wendepunjkt mit der 2.
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nullstellen berechnen von x^3+7x+6
Zitat:
Original von John
Wo is das Prob?


Das Problem wird wohl gewesen sein, dass er nicht wusste, wodurch er teilen soll. Aber da der Thread schon älter ist, denke ich, dass da Problem schon gelöst ist.

Gruß vom Ben
reelser Auf diesen Beitrag antworten »

also f(x)=x³-7x+6
da sieht man das 1 ne nullstelle ist also macht man die polynomdivison durch (x-1)
(x³+0x²-7x+6) : (x-1)=x²+x-6
-(x³-1x²)
x²-7x
-(x²-1x)
-6x+6
x1=1
f(x)=x²+x-6
Hier sieht man das 2 die nächste nullstelle ist
also:
(x²+x-6) : (x-2)=x+3
-(x²-2x)
3x-6
x2=2
x3=-3
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