grenzwerte berechnen

27.03.2006, 03:31

Claudio

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grenzwerte berechnen

Nabend. Grenzwerte muss ich berechnen. Aber wie.....
1.) $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{1-cos x}{x^2} \end{eqnarray*}$
2.) $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{ 1-cos x^2}}{1-cos x} \end{eqnarray*}$
3.) $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to a} \frac{sin x- sin a}{x-a} \end{eqnarray*}$
4.) $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to a}\frac{\sqrt{x} -\sqrt{a} +\sqrt{x-a} }{\sqrt{x^2-a^2} } \end{eqnarray*}$
5.) $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 8}\frac{\sqrt{9+2x}-5 }{\sqrt[3]{x}-2 } \end{eqnarray*}$ ^
6.) $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty }(\frac{n^2+1}{n^2})^{n^2+n} \end{eqnarray*}$
7.) $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty ~ \frac{k^2}{2^k} \end{eqnarray*}$
Mit denen kommen ich nicht weiter.

27.03.2006, 04:01

JochenX

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soso, du kommst nicht weiter, hast gar keine Ideen etc.?
und das bei gleich 7 (und vermutlich allen deinen) Aufgaben?
so ganz recht glauben kann ich das nicht :-\

schon mal den Satz des Herrn de l'Hôspital versucht? der sollte doch bei einigen funktionieren.
das gewillte Auge sieht bei 3) auch einen Differentialquotienten und somit eine Ableitung.

6) ist ja glücklicherweise x-unabhängig

27.03.2006, 10:00

carmen

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mich würde da ein Lösungsansatz auch sehr interessieren. Ich habe keinen Plan wie man die Grenzwerte berechnet und verstehe auch keine gut gemeinten Nachhilfeerklärungsversuche von Mitschülern. Kennt jemand eine Internetadresse auf der einem das Schritt für Schritt erklärt wird?

27.03.2006, 10:06

klarsoweit

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Schritt für Schritt erklären können wir hier schon. Die Frage ist aber, welche Vorkenntnisse du hast bzw. haben müßtest. Also:
1. Kennst du die Regel von l'Hospital?
2. kennst du die Definition der Ableitung über den Differenzenquotienten, und wenn ja welche?
3. bei Reihen braucht man Kenntnisse von Konvergenzkriterien z.B. Quotientenkriterium.

27.03.2006, 10:14

mercany

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Als Einführung vielleicht auch mal das hier: http://www.mathematik.net/grenzw-fkt/0-inhalt-2.htm

@klarsoweit
Wenn er Reihenuntersuchung macht, müsste er doch eigentlich die von dir genannten "Grundlagen" beherrschen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß, mercany

27.03.2006, 12:24

Claudio

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ok, ich hab bei
1.) 1/2
2.) \sqrt{2}
3.) cos a

zu 6.):
Da ist es wirklich passiert. Aufgrund der benutzung des Formeleditors geht anstelle eines "n" nun ein "x" gegen \infty. Nur das bringt mich jetzt auch nicht weiter.

Kann man z.b. 1.) auch ohne l'Hôspital?

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27.03.2006, 13:44

klarsoweit

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Die Ergebnisse stimmen.
Bei der 1. Aufgabe könnte man auch x²=z substituieren und dann über Differenzenquotienten und Ableitungen gehen.

Wenn bei 6 n gegen unendlich geht, würde ich so umformen:
$\begin{eqnarray*} (\frac{n^2+1}{n^2})^{n^2+n} = (1 + \frac{1}{n^2})^{n^2} \cdot (1 + \frac{1}{n^2})^n \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = (1 + \frac{1}{n^2})^{n^2} \cdot exp(\frac{1}{n} \cdot ln((1 + \frac{1}{n^2})^{n^2})) \end{eqnarray*}$

27.03.2006, 14:23

PG

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mal eine Zwischenfrage:
Ist das Ergebnis zur 1 wirklich 1/2?? Ich habe da 0 als Grenzwert...

27.03.2006, 14:25

Dual Space

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Zitat:

Original von PG
mal eine Zwischenfrage:
Ist das Ergebnis zur 1 wirklich 1/2?? Ich habe da 0 als Grenzwert...

1/2 sollte aber stimmen Augenzwinkern

Augenzwinkern

27.03.2006, 14:25

klarsoweit

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1/2 ist richtig. Augenzwinkern

Augenzwinkern

27.03.2006, 14:29

JochenX

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zwei Mal Satz des Herrn de l'Hôspital:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}~\frac{1-\cos(x)}{x^2}=\lim_{x \to 0}~\frac{\sin(x)}{2x}=\lim_{x \to 0}~\frac{\cos(x)}{2}=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

27.03.2006, 14:57

Bjoern1982

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@ klarsoweit

Kann man bei der 6 nicht schon an der Stelle sagen, das der Grenzwert 1 ist?

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} (1+ \frac{1}{n^2})^{n^2+n} \end{eqnarray*}$ =1

Gruß Björn

27.03.2006, 15:11

klarsoweit

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Nein. Denn der Grenzwert ist nicht 1. Augenzwinkern

Augenzwinkern

27.03.2006, 15:15

Bjoern1982

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Kannst du mir das bitte erklären?

Ich dachte 1 hoch unendlich ist 1 !?

Gruß Björn

27.03.2006, 15:24

klarsoweit

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Achtung! Du machst einen beliebten Fehler. "Unendlich" ist keine Zahl, mit der man rechnen kann. Man kann daher z.B. auch nicht sagen: Unendlich dividiert durch Unendlich = 1. Das geht eben nicht. Genauso wenig geht das bei dem allseite bekannten Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} (1+ \frac{1}{n})^n \end{eqnarray*}$ . Wobei: was du machst ist sogar noch einen Tick schlimmer. Du rechnest erst den Grenzwert von $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} 1+ \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ . Der ist zwar 1, aber dann sagst du: 1^n = 1. Also ist der Grenzwert 1. So geht es nicht. Du kannst nicht von Teilen eines Ausdrucks den Grenzwert bilden und bei anderen Teilen so tun, als wäre das n konstant.

28.03.2006, 00:18

carmen

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Zitat:

Original von klarsoweit
Schritt für Schritt erklären können wir hier schon. Die Frage ist aber, welche Vorkenntnisse du hast bzw. haben müßtest. Also:
1. Kennst du die Regel von l'Hospital?
2. kennst du die Definition der Ableitung über den Differenzenquotienten, und wenn ja welche?
3. bei Reihen braucht man Kenntnisse von Konvergenzkriterien z.B. Quotientenkriterium.

1. nein, noch nie gehört bzw gelesen
2. was ist ein Differenzquotient? Nein, auch noch nie gehört :-(
3.du ahnst es schon, auch hier keinerlei Vorkenntnisse.........

aber ich googel mal nach der Krankenhausregel Augenzwinkern

Augenzwinkern

28.03.2006, 01:05

JochenX

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Irgendwie müsst ihr ja bislang Grenzwerte berechnet haben.
Insbesondere kriegt man solche Aufgaben auch nicht ohne IRGENDWELCHE Vorkenntnisse.

Also tu bitte nicht so, als wenn ihr gar nix gar nie gar nichtigerweise angesprochen hättet.
Oder warst du einfach nicht in der Vorlesung? Augenzwinkern

Augenzwinkern

29.03.2006, 14:45

carmen

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ich bin schülerin und habe Mathe im Grundkurs, genauer ist Mathe leider mein aufgestufter Grundkurs. Bisher habe ich die Grenzwertberechnung am Ende einer Kurvendiskussion immer weggelassen, da ich nicht wusste wie das funktioniert.

29.03.2006, 14:55

JochenX

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nichtsdestotrotz solltet ihr irgendwelche Verfahren (wie z.B. den Satz von Herrn de l'Hôspital) besprochen haben, schau mal nach.

Btw. ich finde das ganze für einen Grundkurs (gerade mit den Reihen) für relativ hohes Niveau.....

29.03.2006, 15:02

klarsoweit

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Zitat:

Original von carmen
2. was ist ein Differenzquotient? Nein, auch noch nie gehört :-(

Also zumindest das sollte bekannt sein:

Sei f auf einer Umgebung von x0 definiert. Die Funktion heißt differenzierbar an der Stelle x0,
genau dann, wenn der Grenzwert $\begin{eqnarray*} f'(x_0) := \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} \end{eqnarray*}$ existiert.

Der Term hinter dem Limes heißt Differenzenquotient.

Aber wie LOED schon sagte: Für einen Mathe-GK sind die Aufgaben auf sehr hohem Niveau. Gab es irgendwelche Beispiele im Unterricht?

PS: bist du jetzt Claudio oder jemand anders?

29.03.2006, 15:12

JochenX

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Zitat:

PS: bist du jetzt Claudio oder jemand anders?

IP-Test: Nein
(offtopic: du kannst das auch klarsoweit, pns checken)

das erklärt natürlich einiges, da postet jemand Aufgaben, um kleine GKlerinnen zu verwirren und sagt dann selbst nichts mehr.

Vorschlag an Claudia: mache einen eigenen Thread mit Grenzwerten, die für euer Schulniveau von Bedeutung sind.
Wir bringen dir das schon bei, aber mit diesen Aufgaben ist's wohl nicht so sinnvoll.

30.03.2006, 00:16

carmen

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ich heiß zwar nicht gerade Claudia, aber vielen dank für den Tipp! Ich suche eine Aufgabe heraus und vielleicht könnt ihr mir dann ein paar Tipps geben.....

übrigens von Herrn Hospital habe ich wirklich noch nie etwas gehört. Das mit dem Differenzquotienten kann ich jetzt aber wieder irgendwie nachvollziehen. Also gesehen habe ich sowas schon, aber die Bezeichnung für das Gesehene war mir nicht geläufig. Vielen Dank!

10.04.2006, 18:13

psibender

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RE: grenzwerte berechnen
Hallo

ich rechne grad die Aufgaben durch und hab Probleme mit Nr.2. Wie geh ich denn bei der Aufgabe am geschicktesten vor?

Zuerst wollte ich mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{1+cos x^2} \end{eqnarray*}$ erweitern und kam dann auf
$\begin{eqnarray*} \frac{1-cos x^2}{(1-cos x) \sqrt{1+cos x^2}} \end{eqnarray*}$ ich seh da aber nicht, wie ich auf $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ kommen soll (weder x->0, noch Abschätzung)

Außerdem hab ich den Term Abgeleitet, mit dem Ergebnis kann ich aber auch nichts anfangen.

10.04.2006, 19:18

klarsoweit

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RE: grenzwerte berechnen
Erweitere mit 1 + cos(x). Woher kommt die Wurzel(2) ? verwirrt

verwirrt

PS: Könnte sein, daß der Grenzwert nicht existiert.

10.04.2006, 19:28

psibender

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RE: grenzwerte berechnen
steht weiter vorne in ner Antwort

10.04.2006, 19:31

klarsoweit

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RE: grenzwerte berechnen
Na ja, das hat Claudio behauptet. Ob's stimmt, ist eine andere Frage. Augenzwinkern

Augenzwinkern

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