Urbilder einer Abbildung

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kingskid Auf diesen Beitrag antworten »
Urbilder einer Abbildung
guten abend... Augenzwinkern

hab ne frage zur folgender aufgabe:
Auf den Raum werde ein Endomorphismus definiert durch





Man soll nun die Urbilder von



unter bestimmen und sagen ob ein Ismorphismus ist.

hab zuerst mal die Abbildungsmatrix bestimmt und versucht die inverse Matrix zu bilden, dann müsste ich doch die Umkehrabbildung bekommen, oder??

hab für

und für

kann das sein? das sind alles so krumme zahlen unglücklich

und die abbildung ist ein isomorphismus, wenn sie injektiv und surjektiv ist, oder??
muss ich das über Kern und Bild rausfinden??
also wenn Kern = 0 injektiv, und wenn dim(bild) = dim(Zielraum) surjektiv ???
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
und die abbildung ist ein isomorphismus, wenn sie injektiv und surjektiv ist, oder??


Richtig. Beides folgt aber aus der invertierbarkeit der darstellenden Matrix.

Zitat:
hab zuerst mal die Abbildungsmatrix bestimmt und versucht die inverse Matrix zu bilden, dann müsste ich doch die Umkehrabbildung bekommen, oder??


Ja so ist es.


Zitat:
muss ich das über Kern und Bild rausfinden??


Wie gesagt sobald die Matrix invertierbar ist beschreibt sie automatisch einen Isomorphismus.

Zitat:
kann das sein? das sind alles so krumme zahlen


Man kann zeigen das bei einer Invertierbaren Matrix deren Einträge aus sind die Einträge der inversen in liegen müssen. Mit Glück sind sie wieder ganzzahlig, meistens jedoch nicht. Du kannst sehr leicht überprüfen ob Deine Inverse richtig ist in dem Du einfach mal berechnest.
kingskid Auf diesen Beitrag antworten »

dankeschön für deine erklärungen!!smile
haut fast hin mit A * A^(-1) = E...., aber leider nur fast-.

du schreibst, dass bei einer Invertierbaren Matrix deren Einträge aus Z sind die Einträge der inversen in Q liegen müssen, warum ist das so???
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Die invertierbaren nxn-Matrizen über einem Körper (!!!) bilden bzgl. Multiplikation eine Gruppe, oft genannt. Da jede ganze auch eine rationale Zahl ist, liegt deine Matrix in , und somit auch in .

Aus folgt jedoch nur dann das stärkere , falls ist.
kingskid Auf diesen Beitrag antworten »

hi !! danke für deine erklärungen...
gibt es auch matrizen die nicht über einem körper liegen??
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
gibt es auch matrizen die nicht über einem körper liegen??


Klar Matrizen deren Einträge Matrizen sind, da die Matrizen selber keinen Körper bilden (etwa ist die Nullteilerfreiheit verletzt). Du kannst sonstwas als Eintrag in eine Matrix schreiben, die Frage ist halt in wie fern es Sinn ergibt. Meistens betrachtet man wohl Matrizen über Körpern (zumindest Lina I und II).
 
 
mercany Auf diesen Beitrag antworten »

Verschoben
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Arthur Dent
Aus folgt jedoch nur dann das stärkere , falls ist.

Kann man verallgemeiner übrigens:
ist A eine Matrix über einem Ring R (da muss ja nicht immer ein Körper sein).
A invertierbar <=> det(A) invertierbar in R

Spezialfall von AD angesprochen: in Z sind nur 1 und -1 invertierbar
weiterer Spezialfall für JEDEN KÖRPER: alles außer 0 ist invertierbar
Ace Piet Auf diesen Beitrag antworten »

> matrizen die nicht über einem körper liegen
In eine -Schablone kann ich viel eintragen...

Dir ist bekannt, daß "Linearität" von Abbildungen die Konsequenz der Fortsetzung einer Trägermenge (zB. Basis) auf eine Gesamtmenge V ist. - Insofern kann man schlicht lineare Abb. über Strukturen V betrachten, deren "Zahlen"-Grundlage etwa nur ein Ring +1 ist.

Nehme .

, d.h. 1 Vektor kann lin. abhängig sein, unmachbar in -VR.

Wie sieht es mit der "Dimension" in V aus?
Die lin. Hüllen erzeugen V. - Nicht jedoch .

Ist also eine DiagonalMatrix , sprich invertierbar?

usw.

Wink
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ace Piet
Dir ist bekannt, daß "Linearität" von Abbildungen die Konsequenz der Fortsetzung einer Trägermenge (zB. Basis) auf eine Gesamtmenge V ist.

Das verstehe ich jetzt nicht. Kannst du das mal ausführen?
Willst du sagen, dass wenn man die Trägermenge (der Abb.??) irgendwie auf die Gesamtmenge fortsetzt, man eine Klasse von linearen Abbildungen erhält? Nee, oder?
Ace Piet Auf diesen Beitrag antworten »

@DualSpace
> Dir ist bekannt, daß "Linearität" von Abbildungen die
> Konsequenz der Fortsetzung einer Trägermenge (zB.
> Basis) auf eine Gesamtmenge V ist.
Ja. - Anders: Wie kommt die Linearität in die VR-Abbildungen?

Nehmen wir einen Träger für einen Vektorraum V, zB.: mit kanonischer Basis , dann hat man eine (endl.) Abb.

Und für ein bel. setze ich die Abb. auf V per

fort.

ist per Konstruktion V-linear und Fortsetzung von wg. .

Damit dürfte meine Behauptung (oben) erklärt sein.

Wink
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Ace: Langsam verstehe ich worauf du hinaus willst. Im Prinzip dreht sich dein Ansatz doch um Hahn-Banachs Fortsetzungsprinzip. Richtig? Wenn ja hab ich es verstanden und danke dir.
Falls nicht muss ich die Beiträge noch mal lesen und sehen wo mich das dann hinführt. Augenzwinkern
Ace Piet Auf diesen Beitrag antworten »

> Hahn-Banachs Fortsetzungsprinzip
Du denkst zu kompliziert (oder ich erkläre zu schlecht).. ;-)

Erinnere Dich an die ersten Stunden Deiner LA-Ausbildung, Aussagen, wie:
(1) Bilder einer Basis bestimmen die lin. Abb. (+ umgek.)
(2) Bilder der Basis sind die Spalten der entspr. Matrix
(usw.)

Kopie von oben...


In dieser letzten Matrix finden sich die als Spalten wieder. - D.h. es gibt keine lin.Abb., ohne daß im zugrundeliegenden VR nicht ein Basiswechsel stattgefunden hat (+ umgekehrt).

---snip

Wenn man also bei den "Zahlen" einer VR-Struktur nicht Körper, sprich: Nullteilerfreiheit verlangt, sondern sich mit "Ring +1" zufrieden gibt und dort Aussagen über "lin. Abb. / Matrizen" macht, denkt man eigentlich über das lin. Verhalten der dortigen Vektoren nach.

Daher das Beispiel: im ... Wenn ein Vektor schon lin. abhängig sein kann, dann übersetzt sich das auf Dim, Rang, Kern, Lös(A,b), Eigen-Problematiken. Kurz: Was im VR "lin. unabhängig" ist, hängt maßgeblich von den operierenden "Zahlen" (hier: ) ab.

P.S.: Glückwunsch zum 1000-ten. Und das als Antwort auf meine (übliche) Stümperei.
Wink
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt ist der Groschen gefallen! Danke dir für die ausführliche Erklärung! Freude
itw Auf diesen Beitrag antworten »
Frage
Hallo,

ich wurde gern wissen ob diese Antwort die Aufgabe:



-Bestimmen Sie (mit Erläuterung) die folgende Mengen:

Urbild f-1(]0, [), wobei f: IR--> IR, f(x)= x^2 - 2x

richtig beantwortet.

A: Das Urbild gibt die Werte der IW von f(x), so dass alle 0< x < 2 ausgeschlossen werden.

also die Abbbildung f ist nur für die Intervalle ]- , 0[ und ]2, [ definiert.

Ist dann die Aufagbe vollständig gelöst?
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