unzerlegbar

25.06.2008, 15:26

Douglas

unzerlegbar

ich soll zeigen, dass das Polynom $\begin{eqnarray*} x^4 + 1 \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} [X] \end{eqnarray*}$ unzerlegbar ist.

Wie mache ich das? Nur zu sagen, dass es keine Nullstelle in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ hat reicht doch nicht aus

25.06.2008, 18:14

tmo

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Dass nur eine Zerlegung der Form $\begin{eqnarray*} x^4+1=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d) \end{eqnarray*}$ infrage kommt, sollte klar sein.

Multipliziere nun die rechte Seite aus und führe das ganze durch einen Koeffizientenvergleich zu einem Widerspruch.

27.06.2008, 10:39

Douglas

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RE: unzerlegbar
alles klar, ich habe einen Widerspruch erreicht.

Aber warum kann es wenn nur so eine zerlegung geben?

und wie mache ich das bei anderen Polynomen vom grad 3 Dann mit einer Zerlegung in Grad 2 und Grad 1

27.06.2008, 10:51

system-agent

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Damit ein Linearfaktor in der Zerlegung auftauchen kann, muss man in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ eine Nullstelle $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ des Polynoms haben. Du hast aber schon selbst festgestellt dass es diese nicht gibt.

Ein Polynom vierten Grades kann man [wenn's geht Augenzwinkern

] in ein Produkt aus zwei quadratischen Polynomen zerlegen.

27.06.2008, 10:53

Douglas

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also wenn ich habe $\begin{eqnarray*} t^3 + a t^2 + b t +d \end{eqnarray*}$

dann muss es eine Zerlegung der Form $\begin{eqnarray*} \left( ut^2 + v t + z \right) \cdot \left( f t +g \right) \end{eqnarray*}$ geben?

das ist dann also das allgemeine vorgehen? genauso bei grad 5? zerlegen in kubisch und quadratisch?

27.06.2008, 10:57

Douglas

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dabei müssen u und f gleich 1 sein

27.06.2008, 11:01

system-agent

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Zitat:

Original von Douglas
dabei müssen u und f gleich 1 sein

Ja.

Wenn du ein Polynom dritten Grades hast und wenn es so eine Zerlegung gibt, dann gibts auch eine Nullstelle des Polynoms in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ .
Umgekehrt: Gibts keine Nullstelle wars das mit der Zerlegung.

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