rekursive Folgen

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28.03.2006, 18:37	kingskid	Auf diesen Beitrag antworten »
rekursive Folgen hi @all!! wie geht man am besten an rekursiv definierte Folgen ran?? ich soll zeigen, dass die durch $\begin{eqnarray} a_0 = 1 \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} a_{n+1} = \frac{6(1+a_n)}{7+a_n} \end{eqnarray}$ definierte Zahlenfolge monoton und beschränkt ist, außerdem würd ich gern den Grenzwert bestimmen, hab aber kein plan wie man das macht...
28.03.2006, 18:47	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Bestimme erstmal die möglichen Kandidaten für den Grenzwert $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ , und zwar damit. Dieses $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ beweist du dann gleich als Schranke (ich verrate schon mal: als obere Schranke). Die Monotonie beweist du dann am Schluss. Diese Reihenfolge mag dir jetzt vielleicht noch nicht einleuchtend sein - am Schluss wirst du sehen, dass es so passt.
28.03.2006, 19:09	Sunwater	Auf diesen Beitrag antworten »
normalerweise macht sich ja Monotonie und Beschränktheit bei rekursiven Folgen immer gut über vollständige Induktion, aber das scheint hier nicht zu klappen oder? vielleicht gibts ja nen Trick: sei also $\begin{eqnarray} a_n < 3 \end{eqnarray}$ so folgt: $\begin{eqnarray} a_{n+1} = \frac{6(1 + a_n}{7 + a_n} < \frac{6(1+3)}{7+a_n} = \frac{24}{7 + a_n} \end{eqnarray}$ aber ab da geht's nicht weiter, weil wenn ich das zweite a_n abschätze bin ich bei $\begin{eqnarray} \frac{24}{7} \end{eqnarray}$ was ja größer drei ist... wie geht's also weiter? oder geht es in diesem Fall gar nicht per Induktion?
28.03.2006, 19:13	papahuhn	Auf diesen Beitrag antworten »
Für Beschränktheit durch 2 braucht man keine Induktion. Für Monotonie braucht man auch keine, wenn man weiß dass die Folge ebenfalls durch 0 bzw. 1 beschränkt ist.
28.03.2006, 19:22	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie machst du das ohne Induktion? (Manche Induktion ist vielleicht nicht als solche zu erkennen, weil sie so kurz ist...)
28.03.2006, 19:44	kingskid	Auf diesen Beitrag antworten »
danke für eure tipps... hab das mal versucht mit $\begin{eqnarray} a_{n+1}=g(a_n) \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} \lim_{a_n \to \infty} {\frac{6+6a_n}{7+a_n} }= \lim_{a_n \to \infty} {\frac{\frac{6}{a_n}+6}{\frac{7}{a_n}+1} } = 6 \end{eqnarray}$ bin ich so auf dem richtigen weg...?? aber wie find ich noch mehr "mögliche Kandidaten" für a raus?? und ich glaub mein a=6 ist kein fixpunkt, oder??
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28.03.2006, 19:49	papahuhn	Auf diesen Beitrag antworten »
Upsala, die Induktion bei der Beschränktheit hab ich doch glatt nicht erkannt, aber es ist eine. Sorry. Die Monotonie braucht wirklich keine, was du nach deinem Tipp aber eh selbst wissen wirst.
28.03.2006, 19:52	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
@kingskid Da hast du aber was gründlich missverstanden. Richtig ist es so.
28.03.2006, 20:10	Sunwater	Auf diesen Beitrag antworten »
g - jetzt weiß ich ja, dass es per Induktion geht, aber wie komme ich weiter? ( siehe mein thread oben ) ich meine, darf ich davon aussgehen, dass a_n > 1 ist? - weil dann wäre es einfach... - aber das wäre ja schon monotonie und die müsste ich ja erst noch zeigen...
28.03.2006, 20:28	kingskid	Auf diesen Beitrag antworten »
aha, danke für den link samt erklärung... kann man diese aufgabe nicht auch ohne fixpunktgleichung lösen?? hab von der noch nie was gehört... und wie gehts dann weiter, check das noch nicht, wie ich jetzt monotonie und beschränktheit zeigen kann...

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