Hermitesch +regeln

29.03.2006, 14:14

chewy

Hermitesch +regeln

Hi ich kom einfach nicht weiter.

Lerne Numerik und hänge beim Stoer an einer Stelle fest die ich nicht in meinen Schädel kriege.
Zum mitlesen 235 unten.
$\begin{eqnarray*} x \rightarrow y= Px= x-2(w^Hx)w \end{eqnarray*}$

Meiner Meinung nach müsste es
$\begin{eqnarray*} x-2(ww^Hx) \end{eqnarray*}$
sein.
Welche Regeln hat der da benutzt?Oder bin ich zu blind?

$\begin{eqnarray*} P:=I-2ww^H \ mit \ w^Hw=1,w\in C \end{eqnarray*}$

Achja und wieso beschreibt diese Abbildung eine Spiegelung an der Ebene
$\begin{eqnarray*} { z|w^Hz=0 } \end{eqnarray*}$

Hoffe ihr könnt mir helfen

chewy

29.03.2006, 15:00

JochenX

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Hallöle,

nachdem sich da kein Numerikfreund draufstürzt, gebe ich mal meinen Senf ab.
Zum ersten stimme ich dir natürlich ohne Frage zu, wenn man da das einsetzt, was du da stehen hast (P), dann kommt deine Form raus.
Ihnen stimme ich aber auch zu und gebe dir mal den Hinweis, dass (w^H)x ein Skalar ist.....

ich gehe doch zumindest fest davon aus, dass ^H transponieren sein soll.

Das zweite kann ich nicht lesen, was soll der | bedeuten?

29.03.2006, 15:12

chewy

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Ahso. Mitm Skalar wirds mir jetzt klar. Wahrscheinlich sind deswegen auch die Klammern drum. Find ich aber trotzdem sehr verwirrend. danke.

Zum 2.
$\begin{eqnarray*} \{ z|w^Hz=0\} \end{eqnarray*}$

Hab das eben mit den Klammern nicht hinbekommen..

Hmmm jetzt seh ichs glaub ich auch. w und z stehen orthogonal aufeinander und es wird daher an der "w z " Ebene gespiegelt.
Richtig?

29.03.2006, 19:29

Abakus

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RE: Hermitesch +regeln
Hier geht es offenbar um das Orthogonalisierungsverfahren von Householder und Schmidt.

Zitat:

Original von chewy

$\begin{eqnarray*} x \rightarrow y= Px= x-2(w^Hx)w \end{eqnarray*}$

Meiner Meinung nach müsste es
$\begin{eqnarray*} x-2(ww^Hx) \end{eqnarray*}$
sein.
Welche Regeln hat der da benutzt?Oder bin ich zu blind?

$\begin{eqnarray*} P:=I-2ww^H \ mit \ w^Hw=1,w\in C \end{eqnarray*}$

Ist beides dasselbe, weil $\begin{eqnarray*} (ww^H)x = (w^Hx)w \end{eqnarray*}$ . In der ersten Klammer steht dabei eine Matrix (gebildet als "Komplexprodukt von Vektoren"), in der zweiten steht ein Skalarprodukt. Das lässt sich via Komponentendarstellung der beteiligten Vektoren nachrechnen.

Zitat:

Achja und wieso beschreibt diese Abbildung eine Spiegelung an der Ebene
$\begin{eqnarray*} { z|w^Hz=0 } \end{eqnarray*}$

Etwas salopp gesagt: $\begin{eqnarray*} (w^Hx)w \end{eqnarray*}$ liefert dir die Komponente von x in Richtung w (das funktioniert, weil w in der Darstellung als Einheitsvektor gewählt wurde).
Wenn diese Komponente einmal von x abgezogen wird, erhälst du einen Vektor senkrecht zu w. Wenn diese zweimal abgezogen wird, ist die Komponente in umgekehrter Richtung wieder hinzugefügt: d.h. der Vektor wurde gespiegelt.

Grüße Abakus smile

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