Tschebitschef Ungleichung

29.03.2006, 14:18

Simonko

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Tschebitschef Ungleichung

Kann mir jemand erklären wozu die tschbitschef ungleichung da ist.
wir haben damit solche aufgaben gelöst.

eine firma stellt stahlkugeln her, der erwartungswert des kugeldurchmessers beträgt 8,5 mm, die standartabweichung 0,002mm. welche abweichung vom erwartungswert, muss die firma zulassen, wenn der ausschuss höchstens 5 % betragen soll.

wirft man 100 mal eine münze so kann man 50 mal W ertwarten. wie groß ist die wahrscheinlichkeit dass das ergebnis nach oben bzw nach unten um höchstens 10 vom erwartungswert abweicht?

weiss nicht wie ich die aufgaben lösen soll.. vielleicht kann mir jemand helfen

29.03.2006, 14:24

bil

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hi...
das könnte helfen
http://de.wikipedia.org/wiki/Tschebyschow-Ungleichung

zumindestens weisst du dann schonmal wie herr tschebyschow geschrieben wird Augenzwinkern

Augenzwinkern

...

gruss bil

29.03.2006, 14:32

therisen

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Hallo Simonko,

die Anwendungen siehst du doch in den Aufgaben Augenzwinkern

Augenzwinkern

Man überlegt zunächst, mit welcher Variante der Tschebyschow Ungleichung, also die mit den rel. Häufigkeiten oder die mit den absoluten Häufigkeiten, günstiger ist.

Dann schreibt man erstmal die Ungleichung hin:

$\begin{eqnarray*} P(|X-\mu|\geq \epsilon) \leq \frac{\operatorname{Var}(X)}{\epsilon^2} \end{eqnarray*}$

Nun überlegt man, ob man die Ungleichung für den konkreten Fall noch umformen muss (Richtungen der Ungleichheitszeichen)

Geht man von einer Binomialverteilung aus, so kannst du die Varianz über folgende Gleichung berechnen: $\begin{eqnarray*} \sigma(X) = \sqrt{\operatorname{Var}(X)} \end{eqnarray*}$

Probier's mal und poste deine Schritte.

Gruß, therisen

29.03.2006, 14:35

bil

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Zitat:

Original von therisen
Geht man von einer Binomialverteilung aus, so kannst du die Varianz über folgende Gleichung berechnen:
$\begin{eqnarray*} \sigma(X) = \sqrt{\operatorname{Var}(X)} \end{eqnarray*}$

ich glaub hier meinst du

$\begin{eqnarray*} \sigma=\sqrt{np(1-p)} \end{eqnarray*}$

weil was du geschrieben hast gilt soweit ich weiss immer Augenzwinkern

Augenzwinkern

gruss bil

29.03.2006, 15:22

Simonko

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ist sigma die standartabweichung und sigma^2 die varianz?

29.03.2006, 15:28

AD

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$\begin{eqnarray*} \sigma^2 \end{eqnarray*}$ ist die Varianz, ja.
Aber $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ ist nicht die Standartabweichung, sondern die Standardabweichung !!!

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29.03.2006, 15:33

Simonko

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keine ahnung wie ich da jetzt die werte einsetzten muss.

29.03.2006, 19:35

simonko_

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kann mir bitte jemand helfen? ich werd morgen geprüft über diese sinnlose ungleichung

29.03.2006, 19:47

therisen

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Ein bisschen Eigeninitiative könntest du schon auch zeigen - du musst ja nun noch die fehlenden Werte, die du für die Ungleichung brauchst, bestimmen.

$\begin{eqnarray*} P(|X-8,5|\geq \epsilon) \leq \frac{\operatorname{Var}(X)}{\epsilon^2} \leq 5% \end{eqnarray*}$

Gesucht ist $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ . Du musst also nur noch die Varianz berechnen (s.o.) und der Rest ist dann einfach (nach Epsilon auflösen (die rechte Seite)).

Gruß, therisen

29.03.2006, 19:56

simonko_

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0,002^2 oder?

aber ich mein da gibts jetzt 2 gleichheitszeichen wie soll man sowas lösen?

29.03.2006, 19:57

therisen

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Ja. Den linken Teil kannst du dir wegdenken Augenzwinkern

Augenzwinkern

29.03.2006, 20:11

simonko_

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aso ok die hab ich jezt verstanden. und bei der zweiten ist die varianz

n*p*q=100*0.5*0.5=25
epsilon ist 10

dann einfach 25/10 und das ist die wahrscheinlichkeit?

29.03.2006, 20:15

therisen

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Ich verstehe deine Schlussfolgerung nicht, aber ich glaube sie ist falsch. Du musst die Ungleichung erst umschreiben:

$\begin{eqnarray*} 1- \frac{\operatorname{Var}(X)}{\epsilon^2} \leq P(|X-\mu|< \epsilon) \end{eqnarray*}$

Jetzt einsetzen.

Gruß, therisen

29.03.2006, 20:29

simonko_

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dann steht l

1-25/10 < ?

man das zeug ist so unlogisch

29.03.2006, 20:37

simonko_

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P(....)>=1/(4*n*a^2)

hab grad im heft gesehen dass es diese formel auch noch gibt. woher die kommt keine ahnung.. mit dieser muss man diese aufgabe lösen

29.03.2006, 20:42

AD

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Das einzige, was hier unlogisch ist, ist dein Vorgehen. Ruhig vorgehen heißt erstmal, die Angaben der Aufgabe richtig einzuordnen:

1) Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ = Kugeldurchmesser
2) Standardabweichung $\begin{eqnarray*} \sigma=\sqrt{\operatorname{Var}(X)} = 0.002~\mathrm{mm} \end{eqnarray*}$

Den Rest der Angaben brauchen wir nicht.

Jetzt Tschebyscheff (eine weitere Schreibweise Augenzwinkern

Augenzwinkern

), wie von therisen richtig angeführt:

$\begin{eqnarray*} P(|X-\mu|\geq \varepsilon) \leq \frac{\operatorname{Var}(X)}{\varepsilon^2} \end{eqnarray*}$

Links steht jetzt direkt die Ausschusswahrscheinlichkeit bei zugelassener Maximalabweichung $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ vom Erwartungswert $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ des Kugeldurchmessers. Und damit diese kleiner oder gleich 5% = 0.05 wird, ist es hinreichend (nicht notwendig!), dass die rechte Seite $\begin{eqnarray*} \frac{\operatorname{Var}(X)}{\varepsilon^2} \end{eqnarray*}$ kleiner oder gleich 0.05 ist!

Aufzulösen ist also einfach die Ungleichung $\begin{eqnarray*} \frac{\operatorname{Var}(X)}{\varepsilon^2}\leq 0.05 \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ .

P.S.: Und den ganzen Quark mit der Binomialverteilung vergiss mal, der hat hier bei der Aufgabe absolut nichts zu suchen!

30.03.2006, 16:23

simonko_

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die hab ich ja lengst schon gelöst ich red von der zweiten aufgabe...

30.03.2006, 17:34

AD

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Nach therisens Beitrag war ich eben der Meinung, dass du das noch nicht kapiert hast. Dass du in deinem Stakkato-Stil vorher mal kurz angedeutet hast, dass du zur zweiten Aufgabe übergehst, war mir entgangen. Inhaltlich war das deinen Beiträge danach leider auch nicht zu entnehmen.

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