Spiegelung??

26.06.2008, 23:17

selocan

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Spiegelung??

Gute Nacht Leute
Ich habe Schwierigkeiten diese Aufgabe zu lösen :
Betrachtet wird der euklidische Vektoren R^2 mit dem Standartskalarprodukt
< $\begin{eqnarray*} \vec{x} , \vec{y} \end{eqnarray*}$ >:=x1y1+x2y2
und die lineare Abbildung
A: $\begin{eqnarray*} R^2[\latex]->[latex]R^2[\latex]<br /> [latex]\begin{pmatrix} x1\\ x2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ -> $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a11x1 +a12x2 \\ a21x1 +a22x2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Sei v1=5
v2=4
Bestimme a11 a12 a21 a22 \in R so,dass die lineare Abbildung A eine Spiegelung an der von $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} v1 \\ v2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
erzeugten Gerade beschreibt

also zei Geraden stehen senkrecht, wenn das Skalarprodukt ihrer Richtungsvektoren 0 ergibt ,deshalb habe ich :
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 5 & 4& \\ 4 & -5\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
ich wiess nicht jetzt wie ich weitergehen soll, ich brauche eure Hilfe
gruss selocan

27.06.2008, 08:21

kiste

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RE: Spiegelung??

Zitat:

Original von selocan
Betrachtet wird der euklidische Vektoren R^2 mit dem Standartskalarprodukt

Standard!

Zitat:

Bestimme a11 a12 a21 a22 \in R so,dass die lineare Abbildung A eine Spiegelung an der von $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} v1 \\ v2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das sollst du machen, am besten in dem du die Bilder von den Einheitsvektoren betrachtest.

Zitat:

also zei Geraden stehen senkrecht, wenn das Skalarprodukt ihrer Richtungsvektoren 0 ergibt ,deshalb habe ich :
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 5 & 4& \\ 4 & -5\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
gruss selocan

Welche Geraden stehen senkrecht? Wie kommst du auf diese Werte?
Auf jeden Fall ist die Lösung falsch, den die von (5,4)^t erzeugte Gerade muss ja invariant sein unter der Abbildung A

27.06.2008, 09:06

WebFritzi

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RE: Spiegelung??

Zitat:

Original von selocan
$\begin{eqnarray*} R^2[\latex]->[latex]R^2[\latex]<br /> [latex]\begin{pmatrix} x1\\ x2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das kommt dabei heraus, wenn man sich seinen Beitrag nach dem Schreiben nicht nochmal anschaut...

27.06.2008, 09:19

Nubler

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einfach den projektor P , der auf das orthogonale kompliment zu der an der zu spiegelnden hyperebene projeziert, errechnen. dann liefert $\begin{eqnarray*} \vec x \mapsto (1-2P)\vec x \end{eqnarray*}$ mit 1 als einheitsmatrix den gespiegelten vector

wenn man sich des als skizze malt, sieht man die idee dahinter sofort

27.06.2008, 10:28

selocan

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ich habe jetzt für [latex]\begin{pmatrix} 5 \\ 4 \end{pmatrix}[\latex] eine Skizze
wie soll ich diese Skizze betrachten?

27.06.2008, 11:23

tigerbine

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Die Form wahren
Lehrer

Lehrer

Bitte doch mehr auf die Form achten. Auch der Text ist falsch abgetippt. unglücklich

unglücklich

Ich vermute mal....

Zitat:

Betrachtet wird der euklidische Vektorraum $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ mit dem Standardskalarprodukt
$\begin{eqnarray*} <\vec{x},~ \vec{y}>:=x_1y_1+x_2y_2 \end{eqnarray*}$ .

Ferner die lineare Abbildung
$\begin{eqnarray*} A:~\mathbb R^2 \to \mathbb R^2:~\begin{pmatrix} x_1\\ x_2\end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} a_{11}x_1 +a_{12}x_2 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Sei nun $\begin{eqnarray*} v_1=5,~v_2=4 \end{eqnarray*}$

Bestimme $\begin{eqnarray*} a_{11}, a_{12},~ a_{21},~ a_{22} \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ so,dass die lineare Abbildung A eine Spiegelung an der von $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
erzeugten Gerade beschreibt

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27.06.2008, 11:33

tigerbine

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Die Aufgabe verstehen
Bevor du hier wild ansetzt, musst du ersteinmal verstehen, wie eine Spiegelung funktioniert. Dabei sollte, da wir sie hier mittels einer Linearen Abbildung darstellen, sofort klar sein, dass die Spiegelgerade eine Ursprungsgerade ist. Also zeichne den Vektor:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

eben einmal verlängert in dein 2D kartesisches Koordinatensystem. Nun muss es klingeln, wie A generell auszusehen hat. Bei 2x2 stehen da nur sin und cos drin, ist auch schon klar wo, bleibt nur die Frage, wie die Minuszeichen verteilt werden, damit wir eine Spiegelung und keine Drehung bekommen.

Als letzte offene Frage bleibt, welchen Winkel wir wählen. Dazu betrachtest du erstmal wieder die Skizze und überlegst welchen Winkel die Gerade mit der x-Achse einschließt. Dies ist aber noch nicht ganz der Winkel, der in die Matrix kommt.

27.06.2008, 12:54

selocan

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RE: Die Aufgabe verstehen
$\begin{eqnarray*} [attach]8361[/attach] \end{eqnarray*}$

27.06.2008, 12:56

selocan

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RE: Die Aufgabe verstehen
senkrechte Vektor lautet := (2 -2)
wie geht jetzt weiter??

27.06.2008, 17:58

tigerbine

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RE: Die Aufgabe verstehen
Denke auch noch einmal an die Frage mit dem Winkel. Augenzwinkern

Augenzwinkern

28.06.2008, 12:11

selocan

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RE: Die Aufgabe verstehen
ich habe jetzt als Endergebnis:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 9/41 & 40/41 \\ 40/41 & -9/41 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
könnte das stimmen? Wink

Wink

28.06.2008, 13:39

WebFritzi

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RE: Spiegelung??

Zitat:

Original von WebFritzi

Zitat:

Original von selocan
$\begin{eqnarray*} R^2[\latex]->[latex]R^2[\latex]<br /> [latex]\begin{pmatrix} x1\\ x2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das kommt dabei heraus, wenn man sich seinen Beitrag nach dem Schreiben nicht nochmal anschaut...

Meinst du eigentlich, ich schreibe das einfach so? Die zwei Beiträge danach hast du dir offensichtlich auch nicht nochmal angeschaut. Ich finde das schon etwas ignorant von dir.

28.06.2008, 15:22

tigerbine

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RE: Spiegelung??
Es ist schon etwas mühsam dir zu helfen. Anstelle einer Struktur in der Lösungsfindung werden hier immer Brocken hingeknallt. unglücklich

unglücklich

Die Gerade durch den Ursprung und den Vektor v hat die Gleichung, wie man sich leicht klar macht:

$\begin{eqnarray*} g_v(x)=\frac{4}{5}x \end{eqnarray*}$

Sie schließt mit der x-Achse einen Winkel von

$\begin{eqnarray*} \alpha=\tan^{-1}(\frac{4}{5}) \approx 38,66° \end{eqnarray*}$

ein. In der Matrix müssen wir den doppelten Winkel nehmen.

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} \cos(77,32°) & \sin(77,32°) \\ \sin(77,32°) & -\cos(77,32°)\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Werte sind hier gerundet, zum Wohle der Anschaulichen Darstellung. v ist nun ein Eigenvektor dieser Matrix. Wie lautet der zweite Eigenvektor? (kann ohne Rechnung angegeben werden!). Man betrachtet die schon erwähnte Ursprungsorthogonale.

$\begin{eqnarray*} v^{\perp} = \begin{pmatrix} 4 \\ -5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

20.09.2008, 17:42

VinSander82

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hallo , sagt mal ist die spiegelung an der y-achse

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

muss ich das mit der einheitsmatrix mit $\begin{eqnarray*} \frac{\pi }{2} \end{eqnarray*}$ mltipliziren??

thx

20.09.2008, 17:47

WebFritzi

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Zitat:

Original von VinSander82
hallo , sagt mal ist die spiegelung an der y-achse

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nein. Die Spiegelung an der y-Achse wird durch die Matrix

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

beschrieben.

20.09.2008, 17:57

VinSander82

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hhmm, könntest du mir zeigen wie ich dazu okmme??

da gibt es doch diese 4 spiegelungen

die formel lautet für die 2x2- matrix:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} cos \alpha & -sin \alpha \\ sin \alpha & cos\alpha \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

wann setze ich für was ein ??: $\begin{eqnarray*} \frac{\pi }{2} ;\frac{\pi }{3} ;\frac{\pi }{4} ; \pi \end{eqnarray*}$

20.09.2008, 18:04

Rare676

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Dafür brauchst du nicht diese Werte.

Wenn du einen Punkt an der y-Achse spiegelst erhälst du für die neuen koordinaten:

x'=-x
y'=y

also:

x'=-x+0y
y'=0x+1y

Lies daraus dann einfach die Matrix ab...

20.09.2008, 18:21

VinSander82

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aha ok

und wie wäre es jetz für die anderen spiegelungen

was wäre jetzt z.B.: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

für welche achse wäre jetzt das

20.09.2008, 23:42

Nubler

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winkelhalbierdende quadrant I-III

edit: des wirklich hochschulmathe?

22.09.2008, 03:40

WebFritzi

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@VinSander82: Entschuldige, aber wie wäre es, wenn du mal selber überlegen würdest? Auf welchen Punkt wird denn der Punkt (x,y) durch die Matrix abgebildet? Mal dir ein paar Beispiele auf. Dann wirst du schon sehen, wie die Matrix wirkt.

22.09.2008, 07:39

Dual Space

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Zitat:

Original von Nubler
des wirklich hochschulmathe?

Grenzwertig - also in diesem Falle mMn ja.

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