Helix

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30.03.2006, 19:22	Kakac	Auf diesen Beitrag antworten »
Helix Die Helix sei gegeben durch $\begin{eqnarray} \alpha(t) = (acos(t),asin(t),bt) \end{eqnarray}$ Wenn ich nun Krümmung und Torsion berechnen will, muss ich dann erst eine Umparametrisierung finden, so dass die Helix durch die Bogenlänge parametrisiert ist? Oder kann ich damit argumentieren, dass jede Kurve nach ihrer Bogenlänge parametrisiert werden kann, und ich dann auch mit der obigen Parameterdarstellung rechnen kann? Wenn ich mit der obigen Darstellung rechne, erhalte, ich für die Krümmung a und für die Torsion $\begin{eqnarray} \frac{b}{\sqrt{a^2 +b^2}} \end{eqnarray}$ . Wenn ich nun sage, dass die Helix nach der Bogenlänge parametrisiert werden kann, wäre der Nenner =1 und somit die Torsion b. Das das formal nicht ganz einwandfrei ist, ist mir schon klar, nur kommen hier jetzt andere werte raus, als wenn ich eine umparametrisierung vornehme?
30.03.2006, 19:44	phi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Helix Nein, musst du nicht nach der Bogenlänge erst parametrisieren. Dazu später mehr. (-> Frenetsche Formeln..). Mit deiner Krümmung bin ich gar nicht und mit deiner Windung nur fast einverstanden. Wie war dein Rechenweg ? Edit: Windung = [Spatprodukt der ersten drei Ableitungen von alpha(t)] / [ Quadrat des Vektorproduktes der ersten zwei Ableitungen] ? Krümmung= [Betrag des Vektorproduktes der ersten zwei Ableitungen] / [(Betrag der 1. Ableitung)^3] mfg, phi
31.03.2006, 10:52	Kakac	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \alpha'(t) = (-asin(t), acos(t), b) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \alpha''(t) = (-acos(t), -asin(t), 0) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \|\alpha''(t)\| = a \end{eqnarray}$ = Krümmung $\begin{eqnarray} n(t) = (-cos(t), -sin(t), 0) \end{eqnarray}$ = normierter Krümmungsvektor $\begin{eqnarray} b'(t) = \alpha'(t) \times n'(t) = (-bcos(t), b sin(t), 0) \end{eqnarray}$ Torsion = $\begin{eqnarray} \|b'(t)\| = b \end{eqnarray*}$ Wo hab ich denn da denn nen Fehler?
31.03.2006, 11:08	Kakac	Auf diesen Beitrag antworten »
ich glaube ich habe den fehler selber gefunden. ich muss um $\begin{eqnarray} \alpha''(t) \end{eqnarray}$ und somit die Krümmung zu erhalten, den Vektor $\begin{eqnarray} \alpha'(t) \end{eqnarray}$ erst normieren, stimmts?
31.03.2006, 11:38	Kakac	Auf diesen Beitrag antworten »
okay, also wenn ich den tangentenvektor erst normiere, erhalte ich allerding $\begin{eqnarray} \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \end{eqnarray}$ . WIe krieg ich denn die Wurzel weg? Rechenweg quasi wie oben. Edit: LaTeX-Tags korrigiert. Ben
31.03.2006, 11:47	phi	Auf diesen Beitrag antworten »
moin, moin, Du hast die Krümmung nach der Bogenlänge berechnet. Sei s die Bogenlänge und $\begin{eqnarray} ~ \beta(s) ~ \end{eqnarray}$ die Parametrisierung nach der Bogenlänge, dann ist $\begin{eqnarray} \kappa (s) =\|\beta''(s)\| = a ~ \end{eqnarray}$ richtig. Für beliebige Parametrisierungen gilt aber für Krümmung k(t) $\begin{eqnarray} k(t) = \frac{\|\alpha '(t) \times \alpha ''(t)\|}{\|\alpha '(t)\|^3} \end{eqnarray}$ . Auch dein normierter Krümmungsvektor (Hauptnormalenvektor) gilt nur nach der Bogenlänge s: $\begin{eqnarray} n(s) = (-cos(s), -sin(s), 0) \end{eqnarray}$ , und damit hast du den Binormalenvektor b definiert $\begin{eqnarray} b(s) = \beta(s) \times n(s) ~ \end{eqnarray}$ aber bei der Ableitung die Produktregel falsch angewandt; richtig ist $\begin{eqnarray} b'(s)= \beta '(s) \times n(s) + \beta (s) \times n'(s)~ \end{eqnarray}$ . Die Torsion $\begin{eqnarray} ~ \tau (s) ~ \end{eqnarray}$ nach der Bogenlänge s kenne ich nur über das Skalarprodukt definiert: $\begin{eqnarray} \tau (s):= -b'(s) \circ n(s) \end{eqnarray}$ Die Windung w(t) nach einer beliebigen Parametrisierung ist $\begin{eqnarray} w(t) = \frac{\left(\alpha'(t) \times \alpha''(t)\right) \circ \alpha'''(t)} {\left(\alpha'(t) \times \alpha''(t)\right)^2}=\frac{[ \alpha',\alpha'', \alpha''']} {\| \alpha' \times \alpha''\|^2} \end{eqnarray}$ Siehe auch bei Wikipedia mfg, phi
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31.03.2006, 11:51	Kakac	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso, na dann haben wir wohl etwas aneinander vorbei geredet. ich dachte das die Krümmungsformel "Betrag der zweiten Ableitung" generell gilt. das meinte ich mit meinem ersten beitarg ob man noch umparametrisieren muss, oder nicht. das es noch eine allgemeine formel gibt, wusste ich nicht. Vielen Dank
31.03.2006, 12:03	phi	Auf diesen Beitrag antworten »
Anhand der 2. Ableitung mit Vorzeichen, kann man das allgemeine Krümmungsverhalten ablesen: f''(x)>=0 '(nicht-parametr.) bzw. Hf >= 0 --> f konvex. wenn kleiner als 0 --> konkav. mfg, phi
31.03.2006, 13:44	Kakac	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich will ja nicht nerven, aber ich finde meinen fehler einfach nicht! Beispiel Krümmung: $\begin{eqnarray} \alpha'(t) = (-asin(t),acos(t), b) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \alpha''(t) = (-acos(t),-asin(t), 0) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \|\alpha'(t)\| = \sqrt{a^2+b^2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \|\alpha'(t) \times \alpha''(t)\| = \frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\sqrt{a^2b+a^2} \end{eqnarray}$ wenn ich das in die Formel einsetze erhalte ich aber nicht das gewünschte $\begin{eqnarray} \frac{a}{a^2+b^2} \end{eqnarray*}$
31.03.2006, 15:55	phi	Auf diesen Beitrag antworten »
Muss was beim Vektorprodukt oder beim Betrag bilden schiefgelaufen sein, es gilt für die euklidsche Länge des Kreuzprodukts: (beachte: das a^2 muss nochmal quadriert werden....und der Nenner steht in der 3. Potenz..) $\begin{eqnarray} \|\alpha' \times \alpha ''\|=\| \begin{pmatrix} -a \sin t \\ a \cos t \\ b \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -a \cos t \\ -a \sin t \\ 0 \end{pmatrix}\|=\|\begin{pmatrix} ab \sin t \\ -ab \cos t \\ a^2 \end{pmatrix} \|=\sqrt{a^2b^2+a^4} =a\sqrt{a^2+b^2} \end{eqnarray}$ Und damit ist die Krümmung $\begin{eqnarray} k=\frac{\|\alpha '\times \alpha ''\|}{\|\alpha '\|^3}=\frac{a\sqrt{a^2+b^2}}{( \sqrt{a^2+b^2})^3}=\frac{a}{a^2+b^2} \end{eqnarray}$ mfg, phi edit: Vorzeichen bei (ab cos t)
03.04.2006, 11:27	Kakac	Auf diesen Beitrag antworten »
jap, danke. hatte das a^2 nicht quadriert. wie sieht es aus, wenn ich krümmung für einen kreis berechnen will, der nicht nach der bogenlänge parametrisiert ist. dann verwende ich in der Formel das kreuzpordukt, befinde mich aber im R^2. ich kann dann doch einfach die dritte komponente als 0 setzen,oder?
03.04.2006, 12:04	phi	Auf diesen Beitrag antworten »
Geht noch einfacher: das 2-dimensionale Analogon zum Kreuzprodukt ist die Determinante der Matrix mit den ersten zwei Ableitungen als Spaltenvektoren: $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} \dot{x} & \ddot{x} \\ \dot{y} & \ddot{y} \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ Wenn man das in die Krümmungsgleichung einsetzt, kommt k=1/r raus. (konstant, unabh. von t)
04.04.2006, 15:33	Jendrix	Auf diesen Beitrag antworten »
es ist ja egal, ob man eine links- oder rechtsschraube macht, es kommt jeweils die gleiche krümmung raus. warum? also warum ändert sich die krümmung nicht, wenn ich die orientierung ändere? anschaulich ists klar, aber formal haperts
04.04.2006, 15:45	phi	Auf diesen Beitrag antworten »
Das hat einen ganz einfachen Grund: Das Quadrieren beim Bilden der euklidschen Längen (Pythagoras). (-b)^2 = b^2 ; Schaun wir´s mal an: $\begin{eqnarray} \|\alpha' \times \alpha ''\|=\| \begin{pmatrix} -a \sin t \\ a \cos t \\ -b \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -a \cos t \\ -a \sin t \\ 0 \end{pmatrix}\|=\|\begin{pmatrix} -ab \sin t \\ ab \cos t \\ a^2 \end{pmatrix} \|=\sqrt{a^2b^2+a^4} =a\sqrt{a^2+b^2} \end{eqnarray}$ Und damit ist die Krümmung der linksgewundenen Helix: $\begin{eqnarray} k=\frac{\|\alpha '\times \alpha ''\|}{\|\alpha '\|^3}=\frac{a\sqrt{a^2+b^2}}{( \sqrt{a^2+(-b)^2})^3}=\frac{a}{a^2+b^2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \|\alpha' \times \alpha ''\|=\| \begin{pmatrix} -a \sin t \\ a \cos t \\ b \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -a \cos t \\ -a \sin t \\ 0 \end{pmatrix}\|=\|\begin{pmatrix} ab \sin t \\ -ab \cos t \\ a^2 \end{pmatrix} \|=\sqrt{a^2b^2+a^4} =a\sqrt{a^2+b^2} \end{eqnarray}$ Und die Krümmung der rechtswindenden Helix ist: $\begin{eqnarray} k=\frac{\|\alpha '\times \alpha ''\|}{\|\alpha '\|^3}=\frac{a\sqrt{a^2+b^2}}{( \sqrt{a^2+b^2})^3}=\frac{a}{a^2+b^2} \end{eqnarray}$ Bei der Windung ändert sich allerdings das Vorzeichen: $\begin{eqnarray} w(links)=\frac{-b}{a^2+b^2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} w(rechts)=\frac{b}{a^2+b^2} \end{eqnarray}$ mfg, phi
04.04.2006, 15:47	Jendrix	Auf diesen Beitrag antworten »
ah ok. aber wieso gilt das denn allgemein? also wenn man eine kurve hat und die andersrum orientiert, ändert der tangentialvektor sein vorzeichen. aber warum ist die krümmung dann jedesmal gleich?
04.04.2006, 16:07	phi	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Krümmung ist orientierungsunabhängig definiert. Sei $\begin{eqnarray} X:I \rightarrow \mathbb R^n \end{eqnarray}$ die Parameterdarstellung einer glatten Kurve nach seiner Bogenlänge. Dann ist die Krümmung als euklidische Norm (Pythagoras) der Ableitung des Tangentialvektors definiert. $\begin{eqnarray} \kappa (s):=\|\dot{T}(s)\|=\|\ddot{X}(s)\| ~ , ~ s \in I \end{eqnarray}$ Diese Norm kann man ja als eine Art Verallgemeinerung des Betrages betrachten (Statt Doppelstriche schreibt man auch oft nur Betragsstriche). Und durch die Quadrierung fliegt jegliche Orientierung raus. Allgemein kann man es vlt. so verstehen, dass Krümmung genauso orientierungsunabh. ist wie z.B. der Radius eines Kreises oder einer Kugel. r bleibt r, egal von wo aus man den Ball anschaut, und 1/r bleibt 1/r. mfg, phi

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