Ebene senkrecht auf Ebene und enthält Gerade...

01.04.2006, 01:48

bunny2

Ebene senkrecht auf Ebene und enthält Gerade...

Hallo Leute! Wink

Zuerst mal:
Wenn der Thread jetzt doppelt sein sollte, bitte den hier löschen, aber ich find den nicht mehr... unglücklich

Oder vielleicht hab ich ihn auch in meiner geistigen Verwirrtheit gar nicht gepostet.

Auf alle Fälle gehts um die Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} g: \overrightarrow X = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h: \overrightarrow X = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + \mu \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Bestimme eine Normalenform der Ebene,

a) die durch den Ursprung geht und parallel ist zu g und h.

Da hab ich $\begin{eqnarray*} E: 2x_1-x_2-x_3=0 \end{eqnarray*}$ raus, ich hoff, dass das stimmt^^

b) die g enthält und senkrecht steht auf der Ebene von a).

Ja, und da fangen dann die Probleme an, weil wenn ich das Skalarprodukt vom Nomalevektor der Ebene und dem Richtungsvektor von g mache, dann kommt null raus, also stehen die beiden senkrecht aufeinander. Die Ebene und die Gerade sind dann auch echt parallel, weil kein Punkt der Geraden in der Ebene liegt (bei mir zumindest). Und dann hab ich keinen Plan mehr, wie ich weiterrechnen soll, weil ich müsste den Punkt finden, an dem sich der Normalenvektor und die Gerade schneiden, aber da kommt ein Widerspruch raus.

$\begin{eqnarray*} \sigma \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und dann kommt raus:

II: $\begin{eqnarray*} -\mu -\lambda=0 \end{eqnarray*}$
III: $\begin{eqnarray*} -\mu -\lambda=3 \end{eqnarray*}$

und das kann ja auch nicht sein! Allerdins setz ich da voraus, dass der Normalenvektor im Ursprung liegt... Aber wenn ich mit $\begin{eqnarray*} x_1, x_2, x_3 \end{eqnarray*}$ (als Aufpunkt des Normalenvektors) rechne, dann hab ich ja 5 Unbekannte und 3 Gleichungen... Bin total verwirrt, hab den ganzen Tag an der Aufgabe gesessen, aber ich komm nicht drauf unglücklich

DANKE

bunny2

01.04.2006, 03:11

Ben Sisko

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RE: Ebene senkrecht auf Ebene und enthält Gerade...
Hallo bunny,

a ist erstmal richtig Freude

zu b), zum Verständnis: Überleg dir mal, das es unendlich viele Ebenen gibt, die g enthalten. Wenn man eine hernimmt, kann man diese um g drehen und erhält ja wieder eine Ebene, die g enthält.

Nun ist also genau die gesucht, die senkrecht ist zu der Ebenen aus a (Nennen wir sie $\begin{eqnarray*} E_a \end{eqnarray*}$ ).
Wir wollen nun den Normalenvektor der Ebene $\begin{eqnarray*} E_b \end{eqnarray*}$ bestimmen. Wenn zwei Ebenen orthogonal sind, dann sind es ihre Normalenvektoren auch (überlegen bzw. vorstellen!). Daher muss der Normalenvektor von $\begin{eqnarray*} E_b \end{eqnarray*}$ orthogonal sein zum Normalenvektor von $\begin{eqnarray*} E_a \end{eqnarray*}$ . Ausserdem, weil $\begin{eqnarray*} E_b \end{eqnarray*}$ g enthalten soll, muss er orthogonal sein zum Richtungsvektor von g.

Wie findet man nun einen Vektor, der zu zwei vorgegebenen orthogonal sein soll?

Genau, so einfach ist das Augenzwinkern

Gruß vom Ben

01.04.2006, 12:11

bunny2

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Hallo Ben!

Danke erstmal für deine Antwort!
Das hab ich auch schon mal versucht, aber da bring ich auch nichts raus, bzw. 0:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \overrightarrow 0 \end{eqnarray*}$

Das muss ja auch schon so sein, weil die beiden ja schon senkrecht aufeinander stehen.....

Oder ich habs immr noch nicht verstanden unglücklich

bunny2

01.04.2006, 12:52

Tmc

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also nochmal zu b)

die ebene enthält die gerade g..dann sieht es schon mal so aus:

den 2. richtungsvektor wissen wir ja noch nicht..

$\begin{eqnarray*} E1 : \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

was wir wissen ist...das der normalenvektor von E1 multipliziert mit dem normalenvektor von der aufgabe a 0 ergebn muss (skalarprodukt)

also bilden wir nun jetzt den normalenvektor von E1 mit den 3 unbekannten...

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_2 - a_3 \\ a_3 - a_1 \\ a_1 - a_2 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$

so jetzt löst du das ganze auf und setzt für a1, a2 und a3 werte ein , so dass die gleichung dann wahr ist...

d.h. es gibt unendlich viele lösungen...ich hoffen du verstehst warum...wenn nicht -> skizze

01.04.2006, 12:58

bunny2

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Hallo TMC!

Danke für die Antwort!
Nein, ich muss ganz ehrlich sagen, dass ich nicht verstanden hab, warum es unendlich viele Lösungen gibt. Ich hab mir auch ne Skizze gemacht. Wenn der Normalenvektor der Ebene und die Gerade orthogonal sind, dann gibts doch nur eine Lösung. Ich stells mir auch immer so vor: Unten "liegt" ne Ebene und oben ist die Gerade, dann kann ich die gesuchte Ebene so lang um die Gerade drehen, bis diese senkrecht auf der Ebene von a) steht. Und dann gibts bei mir nur eine Lösung.... Irgendwie verzweifel ich grad ein bisschen.... Hilfe

01.04.2006, 13:24

riwe

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das ist auch nur sehr bedingt bis gar nicht richtig!
sei $\begin{eqnarray*} \vec{n} =\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ der normalvektor der gesuchten ebene E2 . dann hast du
wegen g liegt in E2: n1 + n2 + n3 = 0 (I)
wegen E1 senkrecht auf E2: 2n1 - n2 - n3 =0 (II)
(I) + (II) liefert n1 = 0, und damit n2 = 1 und n3 = -1 .
und als punkt von E2 nimmst du den aufpunkt von g P(2/0/3).

mögliche lösung: y - z = 3
werner

01.04.2006, 13:36

bunny2

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Jetzt hab ichs verstanden!!!!

DANKE smile

01.04.2006, 13:56

Ben Sisko

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Zitat:

Original von bunny2
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \overrightarrow 0 \end{eqnarray*}$

Das stimmt aber so nicht. Du schreibst zwar $\begin{eqnarray*} \times \end{eqnarray*}$ für das Kreuzprodukt aber berechnest das Skalarprodukt? Dann würde aber 0 rauskommen, nicht der Nullvektor.
Jedenfalls krieg ich einen Vektor ungleich dem Nullvektor raus.

Gruß vom Ben

01.04.2006, 14:23

Tmc

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bedingt richtig???

also ich entdecke keine fehler..

so gehts be meiner lösung weiter..

$\begin{eqnarray*} 2a_2 - 2a_3 - a_3 + a_1 - a_1 + a_2 = 0 \end{eqnarray*}$

daraus folgt

$\begin{eqnarray*} 3a_2 - 3a_3 = 0 \end{eqnarray*}$

darus schließ ich dass man nur noch a2 und a3 bestimmen muss so dass die gleichung aufgeht...a1 ist in diesem fall egal, d.h. mann kann für a1 einsetzten was man will..

EINE lösungsmöglichkeit:

für a1 = 1
für a2 = 2
für a3 = 2

somit lautet die neue E1:

$\begin{eqnarray*} E1 : \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

diese enthält zunächst mal die g...

so nun überprüfen wir ob der normalenvektor der E1 senkrecht zu dem normalenvektor der aufgabe a ist...

wir bilden zuerst den normalenvektor der E1

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} = \vec{n_1} \end{eqnarray*}$

so nun schauen wir ob n1 * n0 = 0 ergibt..wenn ja dann schneidet die neue E1 die alte Ebene erstmal senkrecht UND sie beinhaltet die gerade g

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0\\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 2 \\ -1\\ -1 \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$

fehler??????????

01.04.2006, 15:05

mYthos

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Zitat:

Original von Tmc
...
d.h. es gibt unendlich viele lösungen...ich hoffen du verstehst warum...wenn nicht -> skizze

Hallo Tmc

Es gibt zwar unendlich viele Lösungen für deinen zweiten Richtungsvektor

.. $\begin{eqnarray*} + s \cdot \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

der Ebene E1, aber alle diese spannen mit dem ersten Richtungsvektor nur eine einzige (eben die eine mögliche) Ebene E1 auf.

Somit ist alles in Ordnung.

mY+

01.04.2006, 15:09

Tmc

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ja, stimmt schon...hab zuerst falsch gedeacht...
was ich eigen meinen sollte war dass man für a1, a2, a3 unendlich viele lösungen finden kann smile

01.04.2006, 17:09

Poff

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Ben und Werner hattens klar skiziert, der Rest war wüste Rechnung
um nichts. Die Lösung lies sich praktisch ohne Rechnung angeben.

EE: X = Aufp._g + r*(Richt.g) + s*(Norm.E)

X = (2;0;3) + r*(1;1;1) + s*(2;-1;-1)

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