Tschebischow-Aufgabe

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Abi06 Auf diesen Beitrag antworten »
Tschebischow-Aufgabe
Hallo zusammen,

ich schreibe am Montag Mathe LK Abi und bin fleißig am Lernen. Das einzige wo ich noch nicht so ganz fit bin, ist die Ungleichung von Tschebischow.
Ich hab mich hier schon im Forum ein bißchen darüber schlau gelesen, aber bin noch nicht so ganz sicher im Umgang damit und würde mich freuen wenn ihr mir ein bißchen helfen könntet.

Folgende Aufgabe aus einer Klausur von vor einem Jahr (die ich leider nicht richtig gelöst hatte damals):


Bei einer Umfrage unter 2000 represäntativ ausgewählten Personen geben 11% an, ihre Stimme bei der nächsten Wahl der Partei A geben zu wollen.
a) In welchem Intervall liegt der tatsächliche Stimmenanteil, wenn die Wahrscheinlichkeit hierfür mindestens 90% betragen soll?
b) Wie groß ist unter den oben genannten Bedingungen die Wahrscheinlichkeit, dass das tatsächlice Wahlergebnis um maximal 1% vom vorhergesagten Stimmenanteil abweicht?
c) Wie sind die Unabhängigkeitsannahmen in diesem Beispiel zu interpretieren.



Zur a) habe ich mir jetzt folgendes überlegt:
n=2000, p=0,11 und q=0,82

Als Tschebischow-Ungleichung habe ich folgende Formel verwendet (haben wir so gelernt damals):


(Zwischenfrage: Ist die Formel hier richtig ausgewählt? Und gilt sie nur bei Binomialverteilung?)

Jetzt setze ich auf jeden Fall den rechten Teil gleich 0,9 und setze n, p und q ein. Dann erhalte ich für Epsilon den Wert 0,02.

Bis hierhin alles richtig?

Und liegt dann der tatsächliche Stimmenanteil im Bereich 219,98<z<200,02 ?


Danke schonmal für eure Antworten smile
Teutone Auf diesen Beitrag antworten »

Also wir haben das alles leider nur sehr flüchtig behandelt, aber deine Formel ist für mich eher unter dem "Gesetz der großen Zahlen" bekannt, also die Ungleichung von Tschebyscheff auf das Stichprobenmittel angewandt. Obwohl man hier auch noch abschätzen könnte.

Das was du suchst, ist wohl eher die Ungleichung:
Abi06 Auf diesen Beitrag antworten »

Ist das nicht die selbe Formel mal n?

Kommt man denn mit dieser Formel auf ein anderes Ergebnis?
Ist mein Ergebnis richtig oder falsch?

Plz help smile
Teutone Auf diesen Beitrag antworten »

hmm, ok ich muss mich korrigieren. Du kannst deine Formel problemlos verwenden und ist auch richtig. Dein Intervall kann aber nicht stimmen, da es ja symmetrisch um den Erwartungswert sein muss.
Mit meiner 2. Gleichung erhält man übrigens logischerweise das gleiche Ergebnis, nur eben den absoluten Wert der Abweichung für .

edit: nochmal zum Verständnis (für mich selber):
Aus meiner ursprünglichen Ungleichung von Tschebyscheff folgt mit
Und daraus kommt man dann zu deiner Formel, wo man noch oben genannte Abschätzung machen kann und zum Gesetz der großen Zahlen kommt.
Abi06 Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, Tatsache. Da fehlen mir ja wirklich 20 im Erwartungswert.^^
Also das Intervall ist dann 219,8<z<220,02.

Danke auf jeden Fall erstmal. smile

Wie sieht das jetzt in Aufgabe b) aus?
Muss ich da mit einem anderen Epsilon rechen? (1% vom Erwartungswert=> Epsilon = 2,2 ?)

Dann müsste die Formel ja



lauten.

Wenn ich dann in die rechte Seite einsetze:



Die Wahrscheinlichkeit dass das Ergebnis um maximal 1% abweicht liegt also bei nahezu 100%.
Kann das stimmen?

Und was hat die c) zu bedeuten, aus der Frage werde ich überhaupt nicht schlau...
Abi06 Auf diesen Beitrag antworten »

Wäre echt super wenn ihr mir heute noch helfen könntet, da ich morgen schon Abi schreib! *panic*
 
 
Teutone Auf diesen Beitrag antworten »

Naja sollte mich wundern, wenn sowas komliziertes wie Tschebyscheff im Abi dran kommt. Aus welchem Bundesland kommst du denn?

Zitat:
OOh, Tatsache. Da fehlen mir ja wirklich 20 im Erwartungswert.^^
Also das Intervall ist dann 219,8<z<220,02.


Nein, da hast du was verdreht. Du bekommst mit "deiner Formel" die relative Abweichung, also

Wenn du dies als absolute Wählerzahlen ausdrücken willst, dann muss eben alles mit multipliziert werden. Vergleiche dazu auch "meine Formel".

Da kommt als Intervall dann raus:

Bei b) gilt dann einfach also nichts mit deiner
Abi06 Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, dann hab ich das wohl die ganze Zeit falsch verstanden:

Ich dachte immer Epsilon ist der Wert der absoluten Abweichung, nicht der relativen und müsste vom Erwartungswert abgezogen bzw. dazu hinzugezählt werden.

Also wird Epsilon immer vom Prozentwert abgezogen oder hinzuaddiert?

Gut gut, das ist ja schonmal ne wichtige Erkenntnis. smile
Danke für die Berichtigung!

Gut möglich, dass Tschebischow im Abi bei uns dran kommt, da
1. in der entsprechenden Klausur 12/2 die obige Aufgabe vorkam und
2. mein Lehrer meinte, er würde uns den Zettel mit den Ungleichungen im Abi geben "falls" es drankäme.

Und so wie ich meinen Lehrer einschätze, kommt es ziemlich sicher dran. :/

Bin aus Hessen, hier gibts Zentralabi leider erst ab nächstem Jahr...


Dann hätte ich noch 2 letzte Fragen, hoffe jemand kann die heute noch schnell beantworten (morgen wär zu spät ^^ ):

1. Was hat es mit der c) auf sich?
2. Welche Bedeutung hat die Standardabweichung Sigma genau? Ich hab das noch nie so ganz verstanden, ich weiß zwar wie man sie berechnet, aber was der Wert dann genau beschreibt, verstehe ich nicht. Kann das mal jemand an nem Beispiel veranschaulichen oder so?

Wäre super!
Danke im Voraus!
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

in Bayern kommt Tschebyschow so gut wie jedes Jahr im Abitur dran. Lies dir doch mal den Wikipedia-Artikel durch, der ist sehr gut verständlich wie ich finde: http://de.wikipedia.org/wiki/Standardabw...nkungsbreite.29


c) Wie sind die Unabhängigkeitsannahmen in diesem Beispiel zu interpretieren.

Einerseits bedeuten diese Annahmen, dass man die Binomialverteilung anwenden darf (Bernoulli-Kette). Außerdem wird davon ausgegangen, dass eben jeder Wähler unabhängig von der Meinung der Vorredner (Wähler) seine Stimme abgibt (geheime Wahlen). Da kann man wohl viel reininterpretieren, benutze einfach deinen gesunden Menschenverstand Augenzwinkern

EDIT: Man geht auch davon aus, dass man eine rein zufällig gewählte (repräsentative) Gruppe von 2000 Menschen befragt hat. Fragt man nämlich z.B. 2000 Beamte, wen sie wohl wählen würden bei der nächsten Bundestagswahl, wäre dieses Ergebnis nicht aussagekräftig.

Gruß, therisen
Abi06 Auf diesen Beitrag antworten »

Also ist (für Laien ausgedrückt Augenzwinkern ) die Standardabweichung die Abweichung +- vom Erwartungswert und das Epsilon die Abweichung +- von der Wahrscheinlichkeit?

So hab ich das zumindest jetzt verstanden aufgrund des Wiki-Artikels.


Und vielen Dank für die Lösung zur c) !
Erscheint mir einleuchtend. smile
Teutone Auf diesen Beitrag antworten »

Jepp, sozusagen. Kannst auch nochmal mit meiner zuerst erwähnten "normalen" Ungleichung von Tschebyscheff vergleichen.

edit: Und, wie liefs, bzw. haste Tschebyscheff hingekriegt? Augenzwinkern
Abi06 Auf diesen Beitrag antworten »

Tschebischeff selbst kam zwar nicht dran, aber die Aufgabe hat mir trotzdem geholfen bei einer anderen Aufgabe, wo es um die Abweichung vom Erwartungswert ging.

Big Thx!


Schade dass ich das Matheboard nicht schon ein paar Jährchen früher entdeckt habe, hätte mir sicher viel weitergeholfen in der Schule. Augenzwinkern
Teutone Auf diesen Beitrag antworten »

Oh oh, ich hoffe mal da geht nix schief! Mit Tschebyscheff bekommt man da nämlich eher grobe Schätzung. Wenn Erwartungswert und Standardabweichung gegeben sind, dann funktioniert das Erstellen eines Intervalls um den Erwartungswert doch besser mit der exakten Binomialverteilung, oder mit der immernoch besseren Approximation durch die Normalverteilung...

Tja, das kommt davon, wenn man jetzt so auf Tschebyscheff eingeschossen war Big Laugh
Abi06 Auf diesen Beitrag antworten »

Nene, das hab ich schon hinbekommen.
Da lagen auch weniger meine Probleme, das einzige wo es bei mir noch gehakt hatte bei Stochastik war halt Tschebischow und das Verständnis von Epsilon und der Standardabweichung.

Aber die Aufgabe hab ich schon mit Binomialverteilung gelöst, meinte nur dass ich die ohne eure Hilfe wahrscheinlich gar nicht bzw. falsch verstanden hätte, da es eben um Abweichung vom Erwartungswert um einen best. Prozentsatz ging. Augenzwinkern
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