faktorielle Ringe

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Fletcher Auf diesen Beitrag antworten »
faktorielle Ringe
Schönen guten Morgen an Alle,

ich habe hier folgende Aufgabe vor mir liegen und komme nicht weiter:

1) Zeigen Sie, dass der Ring

nicht faktoriell ist. (Hinweis: Betrachte die Zerlegung von 32)
2) Zeigen Sie allgemein: nicht faktoriell ist.

Nach einem Satz im Skript, ist ein Ring genau dann faktoriell, wenn für alle irreduzibel folgt, dass dieses Element auch prim ist.

Meine Idee besteht also darin ein Element zu finden, welches irreduzibel aber nicht prim ist. Leider weiß ich aber nicht wie man da jetzt am schlausten vorgeht und mit dem Hinweis kann ich auch nicht sehr viel anfangen. Klar ist aber was bringt mir das hier?

Vielen Dank für euere Mithilfe schon mal im Voraus!

schönen gruß
fletcher
therisen Auf diesen Beitrag antworten »



In einem faktoriellen Ring ist die Zerlegung (in irreduzible Elemente) eindeutig (bis auf Assoziiertheit). Zeige, dass dies nicht der Fall ist.
Fletcher Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

aber welches element ist denn überhaupt irreduzibel in diesem Ring? wie find ich da eines womit ich das Gegenteil zeigen kann, also das die Zerlegung nicht eindeutig ist?

Und was hat das ganze mit diesen 2-Potenzen auf sich??

Gruß
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Hast du dir meinen Beitrag überhaupt durchgelesen (insbesondere die Gleichung)? Der Hinweis hat schon seinen Grund.
Fletcher Auf diesen Beitrag antworten »

ja klar lese ich mir deinen Beitrag durch, aber verstehen muss ich es nicht!

Wenn ich das richtige sehe, ist die 2 ein irreduzibles Element, aber nicht prim denn sonst müsste sie
teilen!

Gruß
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst zeigen, dass irreduzibel sind. Dann besitzt die Darstellung zu viele Faktoren (du hast ja gesehen, dass es mit 2 funktioniert).
 
 
Fletcher Auf diesen Beitrag antworten »

Behauptung: 2 ist irreduzibel

Sei , dann ist auch

Jetzt untersuche ich einfach :


b=0, a=+1 od. -1 also eine Einheit

geht nicht

dann ist eine Einheit

Ist mit dieser Argumentation gezeigt, dass die 2 irreduzibel ist?
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Fletcher
Sei


Was sei denn nun?

Zitat:
Original von Fletcher
Ist mit dieser Argumentation gezeigt, dass die 2 irreduzibel ist?


Ja, aber es liest sich alles andere als flüssig.
Fletcher Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von therisen


Ja, aber es liest sich alles andere als flüssig.


Sehe ich auch so, aber das kann ich ja zum Glück noch ändern Augenzwinkern

Meiner Meinung nach würde es doch jetzt auch schon ausreichen, wenn man das ganze mit der 2 widerlegt.
Frage: Warum ist auch zu zeigen, dass die Elemente irreduzibel sind?
Nach deinem obigen Beitrag hat das den Sinn, dass dann die Darstellung der 32 zu viele Faktoren besitzt, aber meiner Meinung nach müsste doch für jedes element in einem faktoriellen Ring gelten, dass aus Irreduzibilität folgt, dass das Element auch prim ist. Was ja bei der 2 schon widerlegt wurde und damit bin ich doch schon fertig!

Gruß
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, so kannst du es auch machen.
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