Polynome über rationale Zahlen, Ideale

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28.06.2008, 11:21	Fletcher	Auf diesen Beitrag antworten »
Polynome über rationale Zahlen, Ideale guten Tag, kann mir jemand bei folgender Aufgabe ein paar Tipps geben: Es sei I die Menge aller Polynome $\begin{eqnarray} f \in \mathbb Q[x]~\hbox{mit}~f(0)=f'(0)=0 \end{eqnarray}$ 1) Zeige I ist ein Ideal von $\begin{eqnarray} \mathbb Q[x] \end{eqnarray}$ . 2) Geben Sie ein erzeugendes Element für das Ideal I an. 3) Ist I ein Primideal. Kann mir jemand ein paar Tips geben, wie man hier vorgeht, meine Elemente sind ja jetzt allg. Polynome, deshalb weiß ich gerade nicht wie ich das am schlausten anstelle um die Eigenschaften von Idealen abzuprüfen. Wie finde ich denn erzeugende Elemente? Vielen Dank. Freundliche Grüße fletcher
28.06.2008, 11:55	Romaxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Fletscher, 1) Überlege dir, wie die Menge der Polynome $\begin{eqnarray} f\in \mathbb Q[x] \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(0)=f'(0)=0 \end{eqnarray}$ explizit aussieht und überprüfe damit die Defintion für Ideale. (Welche Polynome kommen denn in Frage?). 2) Hier ist zu überlegen, wie du mit einem Element aus $\begin{eqnarray} I \end{eqnarray}$ alle anderen per Aufpann erzeugen kannst. (Das muss ein Polynom bestimmten Grades sein; Überlegungen zu (1) müssten dabei helfen) 3) Überprüfe die Definition für Primideale oder finde ein Gegenbeispiel. Gruß
28.06.2008, 13:00	Fletcher	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi Roman, also zur 1) würde ich die Menge folgendermaßen beschreiben: $\begin{eqnarray} I:=\{qx^n:q\in \mathbb Q, n\geq 2\} \end{eqnarray}$ Genau diese Polynome erfüllen ja die genannten Eigenschaften. Jetzt muss ich doch zeigen, dass dies eine additive Gruppe bildet, dass bekomme ich hin. Aber ich muss ja auch zeigen, dass $\begin{eqnarray} \forall f \in \mathbb Q[x] ,g \in I\Rightarrow fg \in I \end{eqnarray}$ gilt, aber das sollte auch möglich sein! Stimmen meine Überlegungen soweit? MFG
28.06.2008, 13:04	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja offensichtlich bildet deine Menge ja keine additive Untergruppe, was ist z.B. mit $\begin{eqnarray} x^2+x^4 \end{eqnarray}$ ? Das erfüllt ebenfalls die Bedingung, aber du kannst sagen dein I ist von der Menge der x^n n>=2 erzeugt.
28.06.2008, 13:27	Romaxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Fletscher, du bist auf dem richtigen Weg, nur die Menge die du aufgestellt hast, beinhaltet nicht alle Polynome, für die die Eigenschaft zutrifft. Was ist mit $\begin{eqnarray} p(x)= x^3+x^2 \end{eqnarray}$ Formuliere es eher so $\begin{eqnarray} I=\{p\in\mathbb Q[x]: deg(p) \geq 2\text{ und }p \text{ hat kein konstantes und kein lineares Glied}\} \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} I=\{p\in\mathbb Q[x]: p(x)=a_ix^n+a_{i+1}x^{n+1}+\cdots , i, n\in\mathbb N, n\geq 2,a_i \in \mathbb Q \} \end{eqnarray}$ Gruß
28.06.2008, 14:31	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde ja folgende Darstellung vorschlagen, mit der sich die Eigenschaften der additiven Gruppe einfach begründen lassen durch die Entsprechung bei den Polynomen: $\begin{eqnarray} I=\left\{\left. x^2p(x)\ \right\|\ p\in\mathbb Q[x]\right\} \end{eqnarray}$ .
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29.06.2008, 09:17	Fletcher	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Tipps, die helfen mir schon einmal weiter. Wenn ich nochmals Probleme irgendwo habe melde ich mich wieder. Gruß und schönen Finalsonntag
30.06.2008, 20:30	Fletcher	Auf diesen Beitrag antworten »
Guten Abend nochmal, die 1) konnte ich dank euerer Tips lösen und zeigen, dass die gegebene Menge ein Ideal beschreibt. zur 2) und 3) habe ich allerdings noch ein zwei Fragen: Bei der 2) schreibt kiste, dass die $\begin{eqnarray} \{x^n\|n\geq2\} \end{eqnarray}$ I erzeugt, Aber warum? Ich soll doch genau ein erzeugendes Element angeben und nicht eine ganze Menge?! zur 3): ein Primideal ist ja dadurch charakterisiert, dass aus $\begin{eqnarray} a\cdot b \in I \Rightarrow a\in I \hbox{oder} b\in I \end{eqnarray}$ . Jetzt habe ich mir dazu folgendes Beispiel überlegt: $\begin{eqnarray} x^2=xx\in I \end{eqnarray}$ aber $\begin{eqnarray} x\notin I \end{eqnarray}$ Gruß und danke
30.06.2008, 20:33	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei 2) wollte ich es dir nicht so einfach machen und gleich die Lösung verraten. In meiner Menge ist das erzeugende Element ebenfalls vorhanden, du musst es nur noch angeben Bei 3) Völlig korrekt meiner Meinung nach
30.06.2008, 20:42	Fletcher	Auf diesen Beitrag antworten »
@kiste zu 2) Intuitiv würde ich sagen, dass es $\begin{eqnarray} x^2 \end{eqnarray}$ sein muss, weil es ja das kleinste ist welches die Anforderungen erfüllt. Allerdings verstehe ich dann nicht, wie man z.b. damit das Polynom $\begin{eqnarray} x^3 \end{eqnarray}$ erzeugen kann, Also wird es wohl falsch sein. Muss ich nicht zwischen ungeraden und geraden Potenzen unterscheiden?
30.06.2008, 21:41	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} x^2 \end{eqnarray}$ ist richtig. Anscheinend hast du das Erzeugnis noch nicht richtig verstanden. Lese doch einmal die Definition von Erzeugnis für ein Ideal nach
01.07.2008, 21:15	Fletcher	Auf diesen Beitrag antworten »
In meinem Skript steht die Definiton leider nicht drinnen und bei Wiki finde ich sie auch nicht. Werde mal in Büchern nachschlagen. Danke und Gruß
02.07.2008, 00:18	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Das glaube ich nicht so recht das es in eurem Skript nicht steht. Immerhin habt ihr es offensichtlich nicht behandelt. Aber bei Wiki hast du es ja auch überlesen: http://de.wikipedia.org/wiki/Ideal_%28Ringtheorie%29 der Abschnitt Besondere Ideale

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