Beliebige Aussage beweisen
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28.06.2008, 17:27 Kirmes Auf diesen Beitrag antworten »
Beliebige Aussage beweisen
Hi,

folgende Aufgabe muss ich bearbeiten:

Beweisen Sie, daß in einer vollständigen Theorie T, die nicht
widerspruchsfrei ist, jede beliebige Aussage A(T) bewiesen werden kann.

Kann mir jemand helfen und sagen wie und wo ich ansetzen muss?

Danke
28.06.2008, 19:37 Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beliebige Aussage beweisen
Evtl. wäre es gut die Recherche hier zu beginnen:

---> http://de.wikipedia.org/wiki/G%C3%B6dels...A4ndigkeitssatz


Edit: Sollte die Aufgabe evtl. so heißen? (Änderungen in rot.)

Zitat:
Original von Kirmes
Beweisen Sie, daß in einer vollständigen Theorie T, die nicht
widerspruchsfrei ist, jede beliebige wahre Aussage A(T) bewiesen werden kann.


verwirrt
28.06.2008, 20:29 Kirmes Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal danke für die Antwort, Dual Space..

Zitat:
Sollte die Aufgabe evtl. so heißen?


hm.. nein hab die Aufgabe so vom Prof gekriegt.
Aussagenlogik ist bei mir schon ewig her.. könntest du mir den Lösungsweg vlt. aufzeigen? Freude
28.06.2008, 20:33 Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry falls ich dir falsche Hoffnungen gemacht habe: Ich weiß nicht, wie man diese Aussage beweist.

Außerdem zweifele ich stark daran, dass die zu beweisende Aussage ohne das Wort "wahre" richtig ist.
28.06.2008, 20:44 Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Evtl. liegt der Schlüssel in der Tatsache, dass T nicht widerspruchsfrei ist.
Ich bin zwar total unwissend auf diesem Gebiet, aber man nehme sich einfach eine falsche Aussage B(T) und folgere daraus A(T), dann ist diese Folgerung stets richtig.

air
28.06.2008, 21:02 Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Och nö .... ich habe mal wieder nicht richtig gelesen: Das "nicht" vor "widerspruchsfrei" habe ich mir unter den Teppich gekehrt.

Jetzt kommt es darauf an, wie man eine widerspruchsfreie Theorie definiert. Die mir bekannte Definition lautet:

Zitat:
Eine formale Theorie heißt widerspruchsfrei, falls sich keine falschen Aussagen ableiten lassen.


Damit scheint die Aussage zu stimmen. Wie genau der Beweis lautet, weiß ich aber nach wie vor nicht.
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28.06.2008, 21:54 Kirmes Auf diesen Beitrag antworten »

Hab da noch was gefunden:

Zusammenhang Aussagenlogik:
Zitat:
Eine Menge M wohlgeformter Formeln heisst inkonsistent,
wenn
- f unter der Voraussetzung M ableitbar ist
- (P ^ ( ¬P)) unter der Voraussetzung M ableitbar ist
- P und ( ¬P) unter der Voraussetzung M ableitbar sind
- jede beliebige Formel unter der Voraussetzung M
ableitbar ist, d.h. alles herleitbar ist


Im Zusammenhang mit Hilbert-Kalkül:
Zitat:
Sei M eine Menge von Formeln. Es gilt M |- G für alle Formeln G genau dann,
wenn M inkonsistent ist.
Beweis: Wir nehmen zunächst an, dass M |- G für alle Formeln G gilt. Damit gibt es auch
eine Formel F, für die M |- F und M |- ¬F gilt, womit die Inkonsistenz von M gezeigt ist.
Sei nun M inkonsistent. Damit gibt es eine Formel F für die gilt M |- F und M |- ¬F.
Nach Lemma 4.3(1) gilt F,¬F |- G. Mit Lemma 4.1(1) folgt dann M u {¬F, F} |- G und aus Lemma 4.1(2) können wir M |- G herleiten.


Aussagenlogik:
Zitat:
F ist genau dann inkonsistent, wenn F |- ¬(p v ¬p), wobei p ein fest gewählter Aussagenbuchstabe ist.
Beweis: Ist F inkonsistent, so gilt insbesondere F |- ¬(p v ¬p). Haben wir umgekehrt
F |- ¬(p v ¬p) als Voraussetzung und ist G eine beliebige Formel, so ist F |- G zu zeigen.
Sei also O eine endliche Folge von Formeln aus F mit K |- O ¬(p v ¬p). Wegen (*) (s.o.) haben wir auch O p v ¬p. Aus O ¬(p v ¬p) und O p v ¬p folgen mit R2 : O ¬G ¬(p v ¬p)
und O ¬G (p v ¬p). Hieraus schliesslich mit R6 : O G #


Hilft das irgendwie weiter?
29.06.2008, 17:17 Dunkit Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, dass ich mich so unqualifiziert einmische ;-)
Ich lese gerade "Goedel, Escher, Bach" von Hofstadter (sehr zu empfehlen). Wenn ich das jetzt noch richtig im Kopf habe, war Goedels Leistung doch eigentlich, zu zeigen dass es eine solche Theorie eben nicht existiert, sondern dass es in jeder widerspruchsfreien Theorie eine wahre Aussage gibt, die aber mit den Mitteln der Theorie nicht beweisbar ist. Das also "Beweisbarkeit" stärker ist als "Wahrheit".
Oder verwechsle ich das jetzt? Big Laugh
29.06.2008, 20:20 Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Erst ab einer gewissen Mächtigkeit der Theorie gilt der Unvollständigkeitssatz.
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