Varianz/Erwartungswert von diskreter zufallsvariable

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lego Auf diesen Beitrag antworten »
Varianz/Erwartungswert von diskreter zufallsvariable
hallo

ich soll die varianz einer auf {1,2,...N} gleichverteilten zufallsvariable X berchnen

den erwartungswert E(x) kenne ich, der ist meiner meinung nach (N+1)/2

die varianz berechnet sich ja nach steinerschem verschiebungssatz so:

V(X)=E(X^2)+(E(x))^2

nun weiß ich nciht, wie ich E(X^2) berechnen soll, da bräuchte ich eure hilfe
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Die Werte von sind . Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses ist aber dieselbe wie die von , denn

lego Auf diesen Beitrag antworten »

hm, ich blick nciht durch, angenommen N wäre 3

sei k=2

dann ist k^2=4

über 4 habe ich aber gar keine information bezüglich der warhscheinlichkeit
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »



Das ist auf dem Stichprobenraum dasselbe Ereignis, daher auch dieselbe Wahrscheinlichkeit.
lego Auf diesen Beitrag antworten »

das gilt aber nur wegen der gleichverteilung oder? bei einer anders verteilten zufallsvariable würde das nicht gelten oder?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Doch, das gilt immer.

 
 
lego Auf diesen Beitrag antworten »

verwirrt

und wie würde ich dann den Erwartungswert von X^2 ausrechnen, wäre dass dann der erwartungswert von X?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »



wobei die die Werte der Zufallsgröße sind. Und hier ist jetzt . Und wie das mit den Wahrscheinlichkeiten ist, kannst du dem Diagramm aus meinem vorigen Beitrag entnehmen.
lego Auf diesen Beitrag antworten »

also wäre das hier

sprich und das wäre dann
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das ist es nicht. unglücklich

ist eine diskrete Zufallsgröße, wie auch. Also wird gemäß berechnet, wobei sich die Summation über mögliche auftretende Werte erstreckt. Das sind bei gerade die Quadratzahlen , also gilt



Wenn du dir das mal durch den Kopf gehen lässt, merkst du, dass sich das auf beliebige Funktionen verallgemeinern lässt:



Im vorliegenden Fall wählen wir speziell .
lego Auf diesen Beitrag antworten »

aha, also summation über die quadratzahlen

mal ne frage, zur berechnung der varianz einer binomialverteilten zufallsvariable haben wir das E(X^2) in E(X(X-1)+X) aufgeteilt.

welchen vorteil bringt das?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Weil sich die zu berechnende Summe bei aufgrund der speziellen Struktur der Binomialverteilung recht einfach gestaltet. Augenzwinkern

Für allgemeine diskrete Zufallsgrößen bringt dieser Trick nichts.
lego Auf diesen Beitrag antworten »

aha, ok, danke
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Als Nachtrag noch zu : Die erwähnte "kurze" Rechnung für lautet



unter Nutzung des binomischen Satzes.
lego Auf diesen Beitrag antworten »

ok, von mir auch noch ein nachtrag, wäre toll, wenn mir jemand sagen könnte, ob das nun stimmt:

ich habe ,

also




edit (AD): Komma zwischen E(X) und E(X²) eingefügt. Die Zeile war sonst missdeutbar!
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Vorzeichenfehler: Es ist .

Und da kommt dann auch ein viel schöneres Ergebnis raus. Augenzwinkern
lego Auf diesen Beitrag antworten »

ah, danke

also (N^2-1)/12
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