Identitätsbeweis

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Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »
Identitätsbeweis
Hallo,

da bin ich nochmal mit einem kleinen Beweis.
Normalerweise diene ich ja immer mit Ansätzen und konkreten Fragestellungen, aber hier wird meine Vorarbeit eher mau ausfallen. Ich brauche da die zündene Idee smile

Erstmal zu a)

Also ein Endomorphismus von V ist eine lineare Abbildung von V nach V.
Ich habe als Voraussetzung, dass die Bilder jeder Basis von V dieselbe Abbildungsmatrix erzeugen. Offenbar ist das nur für phi(v)=v möglich, also durch eine identische Abbildung...so, nun brauch ich euch Augenzwinkern

Gruß Björn
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Fletscher,

ich frage mich gerade, ob dein Endomorphismus im Zielraum auch die geiche Basis besitzt, wie im Urbildraum. Das wird mir aus der Aufgabenstellung nicht ganz klar, denn grundsätzlich kann ich ja im Zielraum auch eine andere Basis haben, solange sie V erzeugt.

Gruß
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

JOa...ich kann natürlich auch keine 100%ige Garantie geben, aber ich gehe davon aus, dass in Urbild- und Zielraum dieselbe Basis vorliegen soll. Wäre es denn eine notwendige Bedingung oder eher überflüssig zur Lösung der AUfgabe?

Edit:

Achso jetzt sehe ich auch warum die mich Fletscher nennst =)
Noch aus Gewohnheit von den anderen Threads....und ich dachte schon du gibts mir einfach mal so aus SPass irgendeinen Namen Big Laugh

Gruß Björn
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Ups Hammer ,

naja jetzt hast du einen Spitznamen mehr Big Laugh .

Ja ist es, denn nehmen wir an wir haben zwei Basen bzgl. . Seien diese und . und unterscheiden sich nur in der Ordnung ihrer Elemente.
Dann unterscheidet sich die Matrizen der Identität der Basis , wenn du sie einmal bzgl. und einmal bzgl. ausdrückst.

Aber genau das sollst du zeigen, dass dies nicht so ist.

Jetzt im Nachhinein könnte man die Aufgabenstellung doch so lesen, als sei wirklich eine einzige Basis für den Endomorphismus verlangt.
Aber du siehst, was schief gehen würde.

Ich würde so anfangen:

Sei Basis von . Unter der Abbildung wird jedes Element wie folgt abgebildet: ...


Gruß
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi

Also ich muss ja nur die Existenz eines solchen c's zeigen oder ?
Mit deinem Vorschlag setze ich ja direkt c voraus, bzw verwende es direkt - noch sehe ich nicht wie ich am Ende dann auch schließen kann, dass es ein solches c geben MUSS.

Um deinen Gedankengang weiterzuführen:

Unter der Abbildung phi(v)=c*id wird jedes Element der Urbildmenge auf sich selbst abgebildet bzw auf ein Vielfaches von sich selbst abgebildet, es muss also phi(w)=c*w gelten. Soweit richtig ?

Gruß und danke für deine Hilfe =)
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, wie sieht denn das in Matrixschreibweise aus?

Nehmen wir nun an:

besitzt bezüglich jeder Basis von die selbe Abbildungsmatrix und für alle gilt: .

Siehst du auf was ich hinaus will?

Gruß
 
 
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, du möchtest offensichtlich auf einen Beweis durch Widerspruch hinaus Augenzwinkern
Wenn also für alle c aus K somit gelten sollte, dann könnten verschiedene Urbilder auch auf verschiedene Elemente der Zielmenge abgebildet werden, wodurch sich die Abbildungsmatrizen ja verändern würden.
Demnach muss zwangsweise ein c existieren, für dass die Behauptung folgt.
Ist das so richtig ? Und wenn ja wie könnte ich es formaler ausdrücken, also mit Formeln ?

Gruß Björn
Romaxx Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde explizit ein wählen, sei dieses .
Mit der Vorarbeit (Vorarbeit := "Ja, wie sieht denn das in Matrixschreibweise aus?") ergibt sich dann für dieses für jede Basis von die gleiche Matrix . Widerspruch

Gruß
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