Tankinhalt berechnen

03.04.2006, 16:13

Heinzi273

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Tankinhalt berechnen

Hallo, miteinander!

Ich habe ein Problem und Zwar mit folgender Aufgabe:
-->In einem liegenden zylindrischen Tank steht der Flüssigkeitsspeigel gerade bei drei Viertel (3/4) des Tankdurchmessers. Zu wie viel Prozent ist der Tank noch gefüllt?<--

Ich soll die Aufgabe mit Hilfe von Tangens rechnen, aber ich komm ums verecken (sorry) nicht drauf!
Hat hier jemand eine Idee?
Schon mal vielen Dank!

03.04.2006, 16:46

sqrt(2)

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Die grüne Fläche ist gesucht.

03.04.2006, 16:52

Heinzi273

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Gut, schonmal Danke dafür, aber so weit war ich ja auch schon. Wie kann ich denn da nur berechnen wie viel Prozent die grüne Fläche snd, und das auch noch über Tangens?

03.04.2006, 16:57

sqrt(2)

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Die Fläche des Kreissektors (dessen Winkel du mit den Winkelfunktionen bekommst) minus die Fläche des Dreiecks.

03.04.2006, 17:01

Poff

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RE: Tankinhalt berechnen
Nicht unbedingt die einfachste Formel dafür, aber es ginge auch damit

Frei gewählt:

r=10, L=100, alpha=0.0001° (Rechengenauigkeit 16Stellen !)

V(h=15) = 25273.92689
V(h=20) = 31415.92602

100/31415.93*25273.93 = 80.4494%

Werte marginal verändert, hatte ein Fehler in der Programmierung

03.04.2006, 17:12

Heinzi273

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@ sqrt(2)
[url=http://www.matheboard.de/profile.php?userid=6181][/url]
Wie kann ich denn den Winkel von dem Kreissektor jetzt ausrechen? tan ist doch Gegenkathete durch Ankathete, oder? Aber hier ist doch die Gegenkathete gleichzeitig die Hypothenuse, oder?
Ich brings einfach nicht fertig...

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03.04.2006, 17:13

Leopold

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Tangens und Konsorten - überflüssig!

Betrachte das Dreieck $\begin{eqnarray*} MPQ \end{eqnarray*}$ und beachte, daß $\begin{eqnarray*} RP \end{eqnarray*}$ gemäß Angabe Symmetrieachse ist. Daher kannst du die Winkel $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ ohne jede Rechnung angeben.

Das gesuchte Verhältnis ist das Verhältnis der Flächen "lila zu ganz" (denn die Zylinderhöhe kürzt sich heraus). Da es nur um ein Verhältnis geht, kannst du willkürlich den Kreisradius als 1 vorgeben.

Die lila Fläche setzt sich zusammen aus einem Kreissektor mit Mittelpunktswinkel $\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ und dem gleichschenkligen Dreieck $\begin{eqnarray*} MPR \end{eqnarray*}$ .

03.04.2006, 17:22

sqrt(2)

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Zitat:

Original von Heinzi273
Wie kann ich denn den Winkel von dem Kreissektor jetzt ausrechen? tan ist doch Gegenkathete durch Ankathete, oder?

Wenn du es mit Winkelfunktionen machen willst, warum in aller Welt eigentlich mit dem Tangens?

Zitat:

Original von Heinzi273
Aber hier ist doch die Gegenkathete gleichzeitig die Hypothenuse, oder?

Nein. Du hast in dem rechtwinkeligen Dreieck MAG die Ankathete und die Hypotenuse des Kosinus des Winkels gegeben, der verdoppelt der Öffnungswinkel des Kreisbogens ist. Für die Fläche des Dreiecks musst du die dritte Seite (die Gegenkathete) ohnehin ausrechnen, dann kannst du den Tangens nehmen. Aber bei einem so einfachen Verhältnis der Seiten wie 1 zu 2 liegt der Kosinus doch viel näher...

03.04.2006, 17:34

Heinzi273

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habs raus!!! yippie

Vielen Dank für eure Hilfe , echt spitze!!!!!

03.04.2006, 17:37

Leopold

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Die richtige Antwort hat Poff schon gegeben.
Was hast du denn für $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ heraus?

EDIT
Durch sinnentstellendes Wegeditieren in Heinzi273's Beitrag darüber ist dieser mein Beitrag nicht mehr verständlich.

03.04.2006, 17:39

Heinzi273

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sorry hatte mich nur verrrechnet, jetzt passts Winkel: 120° und der anderes 360-120=240°

03.04.2006, 17:41

Leopold

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$\begin{eqnarray*} 2 \varphi = 120^{\circ} \, , \ \ \psi = 240^{\circ} \end{eqnarray*}$ stimmt.

Und jetzt berechne den Sektor RMP (großer lila Sektor). Was ist seine Fläche?

03.04.2006, 17:44

Heinzi273

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1,0472

03.04.2006, 17:47

Leopold

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Ich komme auf das Doppelte. Aber vielleicht reden wir auch von Verschiedenem.

Der lila Sektor hat den Inhalt $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} \pi \end{eqnarray*}$ (das sind ja gerade zwei Drittel des Vollkreises), der kleinere Restsektor folglich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \pi \end{eqnarray*}$ .

Es ist übrigens eleganter, mit solchen Ausdrücken statt mit Kommazahlen zu rechnen. Nur wenn es allzu umständlich wird, kommen die Dezimalbrüche.

03.04.2006, 17:54

Heinzi273

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Die Formel für die Fläche eines Kreissektors ist Phi * r² * alpha/360° oder?

Noch was wegen dem Bogenmaß: In der Schule haben wir immer 2phi als Vollkreis genommen bei dir ist ein Vollkreis 1phi. Warum?

03.04.2006, 18:07

Heinzi273

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Ach, ich machs mir ja viel zu kompliziert: Des Verhältnis von beiden Kreissektoren ist 2:1.
Also sind es 66,666..% und 33,333..%.

03.04.2006, 18:09

Leopold

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Der Kreis hat den Radius 1, also den Flächeninhalt $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} 240^{\circ} \end{eqnarray*}$ zwei Drittel von $\begin{eqnarray*} 360^{\circ} \end{eqnarray*}$ sind, hat der Sektor den Inhalt $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} \pi \end{eqnarray*}$ . Da braucht man keine Formel.

Aber es geht auch mit Formeln.

Rechnung im Gradmaß:

$\begin{eqnarray*} F_{\text{Sektor}} = \frac{240^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot \pi \cdot 1^2 = \frac{2}{3} \pi \end{eqnarray*}$

Rechnung im Bogenmaß ( $\begin{eqnarray*} \psi = 240^{\circ} = \frac{4}{3} \pi \end{eqnarray*}$ ):

$\begin{eqnarray*} F_{\text{Sektor}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \pi \cdot 1^2 = \frac{2}{3} \pi \end{eqnarray*}$

Und deine Bemerkung zu $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ verstehe ich nicht. Ich habe den Winkel $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ einfach so festgelegt. Namen sind Schall und Rauch. Ich hätte statt $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} \vartheta \end{eqnarray*}$ schreiben können. Oder ich hätte den ganzen Mittelpunktswinkel des oberen Sektors $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ nennen können. Es schien mir aber praktisch, nur den halben Winkel $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ zu nennen, damit die Gleichseitigkeit des Dreiecks $\begin{eqnarray*} MPQ \end{eqnarray*}$ gleich voll genutzt wird: $\begin{eqnarray*} \varphi = 60^{\circ} \end{eqnarray*}$ .

03.04.2006, 19:12

Heinzi273

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Also, ich habe es jetzt ein paar mal gerechnet, es kommt als Lösung immer so um die 29% raus. Aber da Poff ja am Anfang 80% hatte bin ich mir da jetzt nicht so sicher...
Ich habe am Schluss das Verhältnis der lila Fläche [2,2025] zur gesuchten Fläche [0,9388].
Das Dreieck hat bei mir den Inhalt [0,108253]

03.04.2006, 22:29

Leopold

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Dreieck $\begin{eqnarray*} MPQ \end{eqnarray*}$ ist gleichseitig (da $\begin{eqnarray*} RP \end{eqnarray*}$ Symmetrieachse ist und daher alle Seiten die Länge $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ besitzen). Somit ist $\begin{eqnarray*} \varphi = 60^{\circ} \end{eqnarray*}$ . Es folgt: $\begin{eqnarray*} \psi = 240^{\circ} \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} F_{\text{Sektor} \ 240^{\circ}} = \frac{2}{3} \pi \end{eqnarray*}$

Höhe im gleichseitigen Dreieck $\begin{eqnarray*} MPQ \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{3}}{2} \end{eqnarray*}$ (Herleitung über Pythagoras). Es folgt:

$\begin{eqnarray*} F_{MPR} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4} \end{eqnarray*}$

Zusammen:

$\begin{eqnarray*} F_{\mbox{Tankfüllung}} = F_{\text{Sektor} \ 240^{\circ}} + F_{MPR} = \frac{2}{3} \pi + \frac{\sqrt{3}}{4} \end{eqnarray*}$

Das gibt den gesuchten

$\begin{eqnarray*} \mbox{Füllanteil} = \frac{ F_{\mbox{Tankfüllung}}}{F_{\mbox{Kreis}}} = \frac{\frac{2}{3} \pi + \frac{\sqrt{3}}{4}}{\pi} = \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{3}}{4 \pi} \approx 80{,}4 \, % \end{eqnarray*}$

04.04.2006, 13:29

Heinzi273

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Vielen Dank!
Danke an alle! Mit eurer Unterstützung habe ich nun die Lösung von 80,4% Tankinhalt.

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