Unterschied? Bedingte Wahrscheinlichkeit / A geschnitten B

03.04.2006, 17:23

brummbär

Unterschied? Bedingte Wahrscheinlichkeit / A geschnitten B

Hallo!
Ich lerne gerade fürs Abi und mit Stochastik komme ich gar nicht auf einen gemeinsamen Nenner Hammer

Kann mir bitte jemand den Unterschied zwischen P (A|B) (also Wahrscheinlichkeit von B, unter Bedingung, dass A eingetreten ist) und P(A u B) (A und B geschnitten, sorry, finde die Zeichen irgendwie nicht) erklären?
Mir ist klar, was die Begriffe "einzeln" bedeuten, also einmal eben die bedingte Wahrscheinlichkeit und einmal alle Ereignisse, die A und B gemeinsam haben, aber wenn ich eine Aufgabe lösen will, komme ich damit irgendwie immer durcheinander.

Vielleicht eine Aufgabe als Beispiel.
In einem Stadtteil sind 30% der Einwohner über 70 Jahre alt, davon sind 40% Männer. Unter den jüngeren Einwohnern (bis 70 Jahre) beträgt der Anteil der Männer 50%.
Wieviel Prozent der Männer sind höchstens 70 Jahre alt?
Man weiß also:
P(70+)=0,3
P(<70)=0,7
Jetzt verstehe ich aber irgendwie nicht, ob z.B. die 0,4 jetzt P(70+ u m) oder P(70+|m) sind. Ich sehe da irgendwie den Unterschied einfach nicht.
Bitte, nimmt mir jemand das Brett vom Kopf weg Hilfe

03.04.2006, 21:42

therisen

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Also allgemein drückt das "geschnitten mit" eine Gleichzeitigkeit von Ereignisse(n) aus (und analog die Wahrscheinlichkeit dass diese gleichzeitig passieren), wohingegen die bedingte Wahrscheinlichkeit nach der Wahrscheinlichkeit einer Kausalität (der Ursächlichkeit) fragt. Also z.B. wie wahrscheinlich ist es, dass ein Würfel gezinkt ist, wenn ich bei 100 Würfen 95 mal eine 6 geworfen habe. Es kann ja verschiedene Ursachen dafür geben (z.B. Zufall, komische Gravitationsfelder Augenzwinkern

).

Gruß, therisen

03.04.2006, 23:55

Ben Sisko

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RE: Unterschied? Bedingte Wahrscheinlichkeit / A geschnitten B
Hallo brummbär,

ich glaube deine Verwirrung rührt daher, dass du zu sehr "in Mengen denkst", also den Inhalt hinter der Aufgabe siehst.

Zu deinem Beispiel: Sowohl bei $\begin{eqnarray*} P(A \cap B) \end{eqnarray*}$ als auch bei $\begin{eqnarray*} P(A|B) \end{eqnarray*}$ reden wir von Einwohnern der Stadt, die Männer sind und über 70 Jahre. Ob nun $\begin{eqnarray*} P(A \cap B) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} P(A|B) \end{eqnarray*}$ angegeben ist, hängt von der Formulierung der Aufgabe ab. Hier heisst es

Zitat:

In einem Stadtteil sind 30% der Einwohner über 70 Jahre alt, davon sind 40% Männer.

Das "davon" zeigt dir nun, dass eine bedingte Wahrscheinlichkeit angegeben ist, denn die 30% der über-70-Jährigen wird als neue Grundgesamtheit betrachtet (das sind also die neuen 100%) und von diesen neuen 100% ("davon") sind nun 40% Männer.
Wäre $\begin{eqnarray*} P(A \cap B) \end{eqnarray*}$ angegeben, müsste die Wahrscheinlichkeit ein Mann und über 70 zu sein in Bezug auf alle Einwohner und nicht nur die ü70-Jährigen angegeben sein.

Alles klar? (Hoffentlich hab ich nicht mehr verwirrt als erklärt Augenzwinkern

)

Gruß vom Ben

Edit: Stel dir die Wahrscheinlichkeit einmal als $\begin{eqnarray*} \frac{\text{Anzahl günstige}}{\text{Anzahl mögliche}} \end{eqnarray*}$ vor. Bei beidem steht im Zähler die Anzahl der Ü70-Männer. Bei $\begin{eqnarray*} P(A|B) \end{eqnarray*}$ steht dann im Nenner die Anzahl aller Ü70-Jährigen, bei $\begin{eqnarray*} P(A \cap B) \end{eqnarray*}$ die Anzahl aller Einwohner.

04.04.2006, 10:15

Dual Space

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Ich denke der Unterschied zeigt sich auch schön in der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit, also bei
$\begin{eqnarray*} P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)} \end{eqnarray*}$
In Prosa bedeutet dies ja nichts anderes, als:
Die Wahrscheinlichkeit des Eintretens von A unter der Bedingung B entspricht dem Quotienten der Wahrscheinlichkeit des gleichzeitigen Eintetens von A und B und der Wahrscheinlichkeit des Eintetens von B.

Auch sieht man an obiger Formel schön, dass $\begin{eqnarray*} P(A\mid B)\geq P(A\cap B),\text{ da } P(B)\leq 1. \end{eqnarray*}$

Edit: Insbesondere ist $\begin{eqnarray*} P(A\mid B)\gg P(A\cap B) \end{eqnarray*}$ , wenn P(B) nahe Null, also wenn das Ereignis B ein schier unmögliches Ereignis ist.

06.04.2006, 20:23

brummbär

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Der Groschen fängt so langsam an zu fallen. Ich hoffe, das hilft mir bei den nächsten Aufgaben. Vielen Dank für eure Antworten! Tanzen

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