n-te Wurzel aus n!

03.04.2006, 22:17

Daktari

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n-te Wurzel aus n!

Guten Abend smile

smile

ich hab mal wieder ein Problem...

ich soll $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{n!} \end{eqnarray*}$ ausrechnen.
Sieht nach dem Grenzwert einer Folge aus.

Eine Folge $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ ist konvergent gegen den Grenzwert a, wenn gilt
$\begin{eqnarray*} \forall \epsilon >0 \exists N: \forall n \geq N |a_n-a|<\epsilon \end{eqnarray*}$ das bringt mich nicht weiter.

Desweiteren habe ich den Grenzwert von $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{n^n} \end{eqnarray*}$ auszurechnen.

Ich brauche Hilfe Hilfe

Hilfe

03.04.2006, 22:26

Abakus

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RE: n-te Wurzel aus n!
Versuche es doch mal nach oben oder unten abzuschätzen. Daraus ergibt sich dann eine Vermutung, ob es konvergent oder divergent ist.

Im zweiten Fall lässt sich die n-te Wurzel ja einfach ziehen.

Grüße Abakus smile

smile

03.04.2006, 22:26

Leopold

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siehe die Formel von Stirling

03.04.2006, 22:58

Daktari

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RE: n-te Wurzel aus n!
Dann probier ich's mal mit dem Abschätzen.

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{n!}\leq \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{n^n}=\lim_{n \to \infty } n= \infty \end{eqnarray*}$

Also konvergent?

Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{n^n}=\lim_{n\to \infty}n^{\frac{n}{n}}=\lim_{n\to \infty}n=\infty \end{eqnarray*}$

stimmt das so?

Hab mich in "Aufgabe 2" verschrieben. Richtig müsste es heißen
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{n} \end{eqnarray*}$

Vmtl gehts gegen 1.
Also muss ich nur ein N suchen, so dass gilt $\begin{eqnarray*} |\sqrt[n]{n}-1|\leq |n-1|\leq |n|\leq n \end{eqnarray*}$
Wenn ich nun ein N finden könnte, so dass $\begin{eqnarray*} n<\epsilon \end{eqnarray*}$ dann wär's gechafft. Aber darf N von n ahhängen? Ich glaube nicht, deshalb komm ich net weiter traurig

traurig

EDIT: Vom Stirling hab ich noch nie gehört

03.04.2006, 23:10

therisen

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RE: n-te Wurzel aus n!

Zitat:

Original von Daktari
Dann probier ich's mal mit dem Abschätzen.

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{n!}\leq \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{n^n}=\lim_{n \to \infty } n= \infty \end{eqnarray*}$

Also konvergent?

Das ist eine grob fahrlässige Schlussfolgerung! Du hast in die falsche Richtung abgeschätzt. Denk nochmal drüber nach.

Zitat:

Hab mich in "Aufgabe 2" verschrieben. Richtig müsste es heißen
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{n} \end{eqnarray*}$

Vmtl gehts gegen 1.

Deine Vermutung ist richtig. Der Beweis, welchen ich übrigens im Board schon mal gepostet habe, erfolgt über den binomischen Lehrsatz.

Gruß, therisen

03.04.2006, 23:14

JochenX

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RE: n-te Wurzel aus n!

Zitat:

Original von therisen

Zitat:

Original von Daktari
Dann probier ich's mal mit dem Abschätzen.

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{n!}\leq \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{n^n}=\lim_{n \to \infty } n= \infty \end{eqnarray*}$

Also konvergent?

Das ist eine grob fahrlässige Schlussfolgerung! Du hast in die falsche Richtung abgeschätzt. Denk nochmal drüber nach.

Gruß, therisen

nein, ohne die Grenzwerte wäre die erste Abschätzung richtig.
Mit den Grenzwerten ist sie falsch.
Aber auch wenn man das ganze ohne Grenzwerte schreibt, kann da nix gutes rauskommen.

Du brauchst für eine solche Abschätzung eine konvergente Majorante, du hast hier aber eine divergente Majorante. Die bringt dir gar nix.
Insbesondere ist eine Abschätzung $\begin{eqnarray*} a \leq \infty \end{eqnarray*}$ => a endlich schrecklich.

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03.04.2006, 23:23

Daktari

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RE: n-te Wurzel aus n!

Zitat:

Original von LOED

Du brauchst für eine solche Abschätzung eine konvergente Majorante, du hast hier aber eine divergente Majorante. Die bringt dir gar nix.
Insbesondere ist eine Abschätzung $\begin{eqnarray*} a \leq \infty \end{eqnarray*}$ => a endlich schrecklich.

Wenn a nicht unendlich ist, wieso kann man dann da cht draus schließen, dass a endlich ist?

Abschätzen zum 2ten
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{n!}\leq \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{n^n}=\lim_{n \to \infty } n<\lim_{n \to \infty } \frac{1}{n}=0 \end{eqnarray*}$
Also konvergent ?
Aber gegen welchen Wert konvergiert sie?

03.04.2006, 23:25

JochenX

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RE: n-te Wurzel aus n!

Zitat:

Original von Daktari

Zitat:

Original von LOED

Du brauchst für eine solche Abschätzung eine konvergente Majorante, du hast hier aber eine divergente Majorante. Die bringt dir gar nix.
Insbesondere ist eine Abschätzung $\begin{eqnarray*} a \leq \infty \end{eqnarray*}$ => a endlich schrecklich.

Wenn a nicht unendlich ist, wieso kann man dann da cht draus schließen, dass a endlich ist?

$\begin{eqnarray*} n \leq n+1 \end{eqnarray*}$ , sogar ECHT kleiner
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}~(n+1)=\infty \end{eqnarray*}$
=> $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} ~n \leq \infty \end{eqnarray*}$ => der Grenzwert ist endlich.

ähem.

03.04.2006, 23:26

AD

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Strirling ist ein gutes Stichwort, braucht man hier aber gar nicht.

Eine Abschätzung wie $\begin{eqnarray*} n! \geq \left( \frac{n}{2} \right)^{\frac{n}{2} } \end{eqnarray*}$ (in Hinsicht auf eine divergente Minorantenfolge) genügt vollkommen.

Und diese Abschätzung sieht man sofort, wenn man die erste Hälfte der Faktoren im Produkt $\begin{eqnarray*} n! = 1\cdot 2\cdot\ldots (n-1)\cdot n \end{eqnarray*}$ nach unten durch 1, und die zweite Hälfte nach unten durch $\begin{eqnarray*} \frac{n}{2} \end{eqnarray*}$ abschätzt.

Und bevor jemand meckert: Diese Ungleichung gilt auch für ungerade $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

Augenzwinkern

03.04.2006, 23:28

Daktari

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Könnt ihr auf meine Abschätzungen zurückkommen und meine Fragen beantworten? Denn vom stirling hab ich noch nix gehört, und was sollen die Binomialkoeffizienten hier?

03.04.2006, 23:28

therisen

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RE: n-te Wurzel aus n!

Zitat:

Original von Daktari
Wenn a nicht unendlich ist, wieso kann man dann da cht draus schließen, dass a endlich ist?

Abschätzen zum 2ten
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } n<\lim_{n \to \infty } \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$
Also konvergent ?

Wuah, das ist ja schrecklich! Sei froh, dass sich deine Tastatur nicht wehren kann Augenzwinkern

Augenzwinkern

@LOED:

Zitat:

Original von LOED

Zitat:

Original von therisen

Zitat:

Original von Daktari
Dann probier ich's mal mit dem Abschätzen.

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{n!}\leq \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{n^n}=\lim_{n \to \infty } n= \infty \end{eqnarray*}$

Also konvergent?

Das ist eine grob fahrlässige Schlussfolgerung! Du hast in die falsche Richtung abgeschätzt. Denk nochmal drüber nach.

Gruß, therisen

nein, ohne die Grenzwerte wäre die erste Abschätzung richtig.
Mit den Grenzwerten ist sie falsch.

Da hast du mich missverstanden: Mit "falsche Richtung" meinte ich, dass er für eine divergente Abschätzung nach unten abschätzen muss (nicht nach oben) Augenzwinkern

Augenzwinkern

Habe mich vielleicht nicht klar genug ausgedrückt.

EDIT: Wer redet denn von Binomialkoeffizienten? Diese spielen nur bedingt eine Rolle Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß, therisen

03.04.2006, 23:29

mercany

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Verschoben

03.04.2006, 23:33

Mathespezialschüler

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Hallo!
Selbst wenn die Abschätzung richtig wäre, da müsste schon 1 rauskommen als Grenzwert rechts, damit man die Konvergenz folgern kann. Mit einer Majorante hat das eher weniger zu tun. Das Majorantenkriterium ist eines für Reihen, nicht für Folgen. Nur weil $\begin{eqnarray*} 0\leq a_n\leq b_n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \lim b_n=1 \end{eqnarray*}$ gilt, muss $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ nicht konvergieren.
Ich würde es hier mal mit dieser Abschätzung probieren. Siehe auch hier.
Für $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{n} \end{eqnarray*}$ siehe hier oder hier oder hier oder hier (nur um zu zeigen, dass wir es oft genug hatten, um es mit der Suchfunktion zu finden).

Gruß MSS

edit: @Jan
Das hätte man auch ruhig in Analysis lassen können. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Naja, jetzt ist zu spät.

03.04.2006, 23:37

JochenX

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Mit einer Majorante hat das eher weniger zu tun. Das Majorantenkriterium ist eines für Reihen, nicht für Folgen.

hmmmmm, warum sollte das bei Folgen nicht funktionieren?
Quetschen sie besonders gut, kann man damit sogar den Grenzwert bestimmen (Quetschungslemma, Sandwichkriterium....), aber eine konvergente "Oberfolge" zeigt die Konvergenz wie bei jeder Reihe.

verwirrt

verwirrt

genau das mit dem verschieben habe ich ihm gerade im Chat gesagt, aber da bist du ja nie Big Laugh

Big Laugh

03.04.2006, 23:39

Mathespezialschüler

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Sei $\begin{eqnarray*} a_n=1+\frac{(-1)^n}{2} \end{eqnarray*}$ , welche divergiert. Es gilt $\begin{eqnarray*} a_n\leq b_n:=2-\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} (b_n) \end{eqnarray*}$ konvergiert gegen $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ divergiert. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß MSS

edit: Wäre ich im Chat, würde ich jetzt in den nächsten 10 Minuten, so wie geplant, nicht ins Bett kommen. :P

edit2: "trivialerweise" für Jochen weggenommen. smile

smile

03.04.2006, 23:40

JochenX

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aaargh

Hammer

entschuldige meine Blödheit, aber Hauptsache, ich konnte "Quetschungslemma" sagen, das hat den Tag gerettet.

Schuster bleib bei deiner Algebra, ich weiß es.......

Max, wirst du immer da sein, meine dummen Analysisfehler auszubessern? Gott

Gott

04.04.2006, 00:33

Daktari

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Hab mir einen der Links von MMS angeschaut, doch sonderlich viel schlauer bin ich nun auch nicht

z.z. $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{n}->1 \end{eqnarray*}$

________
Dazu einen Tipp: Für $\begin{eqnarray*} x_n=n^{\frac{1}{n} }-1 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} (1+x_n)^n=n \end{eqnarray*}$ . Mit der Binomischen Formel erhält man eine Abschätzung für $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n=\sum_{k=0}^k \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}* 1^{n-k}*(x_n)^k \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ positiv ist, sind sämtliche Summanden positiv. Also kannst du für $\begin{eqnarray*} n\geq 2 \end{eqnarray*}$ nach unten abschätzen durch die Summe des ersten und dritten Gliedes:

$\begin{eqnarray*} n = \sum_{k=0}^n ~ {n \choose k} \cdot 1^{n-k} \cdot (x_n)^k \geq 1 + \frac{n(n-1)}{2}x_n^2 \end{eqnarray*}$

Dann schätzt ihr $\begin{eqnarray*} {x_n}^2\leq \frac{2}{n} \end{eqnarray*}$ ab. Das ist eine Nullfolge und fertig.
__________

soweit die "Hilfe" aus dem Thread...

Die Abschätzung versteh ich.
Dann steht $\begin{eqnarray*} n\geq 1 + \frac{n(n-1)}{2}x_n^2 \end{eqnarray*}$ da

Daraus ergibt sich "meiner Ansicht nach"
$\begin{eqnarray*} n-1\geq \frac{n(n-1)}{2}{x_n}^2<=>{x_n}^2=\frac{2n-2}{n(n-1)}\leq \frac{2n}{n(n-1)}=\frac{2}{n-1} \end{eqnarray*}$

Folgende Fragen:

1.)Aber $\begin{eqnarray*} \frac{2}{n-1} \end{eqnarray*}$ ist nicht kleiner als $\begin{eqnarray*} \frac{2}{n} \end{eqnarray*}$ Was habe ich falsch gemacht? traurig

traurig

2.)Wieso ist der Beweis fertig wenn $\begin{eqnarray*} {x_n}^2 \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge ist?

04.04.2006, 00:39

Ben Sisko

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Zitat:

Original von Daktari
1.)Aber $\begin{eqnarray*} \frac{2}{n-1} \end{eqnarray*}$ ist nicht kleiner als $\begin{eqnarray*} \frac{2}{n} \end{eqnarray*}$ Was habe ich falsch gemacht? traurig

traurig

2.)Wieso ist der Beweis fertig wenn $\begin{eqnarray*} {x_n}^2 \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge ist?

zu 1: Erst (n-1) kürzen, nicht ausmultiplizieren und abschätzen.
zu 2: Dann ist $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ Nullfolge und damit $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{n} \rightarrow 1 \end{eqnarray*}$

04.04.2006, 11:18

Daktari

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Zitat:

Original von Ben Sisko
zu 1: Erst (n-1) kürzen, nicht ausmultiplizieren und abschätzen.
zu 2: Dann ist $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ Nullfolge und damit $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{n} \rightarrow 1 \end{eqnarray*}$

Aaargh, dass ich darauf nicht selbst gekommen bin Hammer

Hammer

Ich danke euch allen...

04.04.2006, 11:30

AD

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Deine etwas aggressive Antwort

Zitat:

Original von Daktari
Könnt ihr auf meine Abschätzungen zurückkommen und meine Fragen beantworten? Denn vom stirling hab ich noch nix gehört, und was sollen die Binomialkoeffizienten hier?

auf meinen Beitrag

Zitat:

Original von Arthur Dent
Eine Abschätzung wie $\begin{eqnarray*} n! \geq \left( \frac{n}{2} \right)^{\frac{n}{2} } \end{eqnarray*}$ (in Hinsicht auf eine divergente Minorantenfolge) genügt vollkommen.

Und diese Abschätzung sieht man sofort, wenn man die erste Hälfte der Faktoren im Produkt $\begin{eqnarray*} n! = 1\cdot 2\cdot\ldots (n-1)\cdot n \end{eqnarray*}$ nach unten durch 1, und die zweite Hälfte nach unten durch $\begin{eqnarray*} \frac{n}{2} \end{eqnarray*}$ abschätzt.

beruht auf einem Missverständnis: $\begin{eqnarray*} \left( \frac{n}{2} \right) \end{eqnarray*}$ ist kein Binomialkoeffizient, sondern ein einfacher Bruch. Den klammert man, wenn man ihn potenzieren will - das macht man so. Augenzwinkern

Augenzwinkern

P.S.: Der Binomialkoeffizient wäre $\begin{eqnarray*} {n \choose 2} \end{eqnarray*}$ . Also das nächste Mal bitte genauer lesen!

04.04.2006, 17:39

Daktari

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Meinste so?
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n!}\geq \lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{\left( \frac{n}{2} \right)^{\frac{n}{2} }}=lim_{n\to \infty}\left( \frac{n}{2} \right)^{\frac{1}{2}}=\infty \end{eqnarray*}$
also divergiert $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{n!} \end{eqnarray*}$ ?

04.04.2006, 18:05

AD

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Genau so.

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