Integral über delta quadrat

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04.04.2006, 18:05	Kricki	Auf diesen Beitrag antworten »
Integral über delta quadrat Hi, hat jemand hierzu eine Idee: $\begin{eqnarray} \int_{-\infty}^{\infty} \delta(x)^2 dx \end{eqnarray}$ ? $\begin{eqnarray} \delta(x) \end{eqnarray}$ soll die Delta-Distribution sein.
04.04.2006, 19:05	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich kann Dir da vielleicht nicht viel helfen aber es ist: $\begin{eqnarray} \int_{- \infty}^{\infty} ~ \delta(x) dx = 1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \delta (x^2 - a^2) = \frac{1}{2\|a\|}(\delta (x-a) + \delta (x+a)) \end{eqnarray}$ Vielleicht hilfts Dir. Hier noch ein Link
04.04.2006, 21:02	navajo	Auf diesen Beitrag antworten »
Huhu! Du kannst es ja so umschreiben: $\begin{eqnarray} \int_{-\infty}^{\infty}\delta (x)^2dx=\int_{-\infty}^{\infty}\delta (x)\frac{d}{dx}\theta (x)dx \end{eqnarray}$ Und dann partiell Integrieren. Dadurch schiebst du dann halt die eine Ableitung rüber aufs Delta und kannst dann $\begin{eqnarray} \int_{-\infty}^{\infty}f(x)\delta (x)dx=-f'(0) \end{eqnarray}$ benutzen. Ob man das alle auch wirklich so machen darf, weiß ich nicht sicher, jedenfalls stimmt das Ergebnis mit dem von Maple überein.
04.04.2006, 21:43	Kricki	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, schonmal danke! Du meinst wahrscheinlich $\begin{eqnarray} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta'(x) dx = -f'(0). \end{eqnarray}$ Was bleibt denn da noch übrig? Ich hab mal das: $\begin{eqnarray} \delta(x)\theta(x) - \delta(0) \end{eqnarray}$ Macht das Sinn?? Ach, und mein Maple weigert sich das Integral auszurechnen... Grüße.
04.04.2006, 22:07	navajo	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh ja klar, hab den Strich wohl vergessen pfeif Naja, das ist ein Stelle wo ich mir das auch nur so hingebogen habe, dass es passt ^^ also ich hab so partiell integriert: $\begin{eqnarray} \int_{-\infty}^{\infty}\delta (x)\frac{d}{dx}\theta(x)dx=\theta (x)\delta (x)\|_{-\infty}^{\infty}-\int_{-\infty}^{\infty}\theta (x)\delta (x)'dx \end{eqnarray}$ Und der erste Term fällt halt weg weil die Deltafunktion im unendlichen nix beiträgt. Dann hab ich beim 2ten Term nicht direkt die Formel angewendet, sondern erst wegen der Thetafunktion die Grenzen auf 0 bis unendlich gesetzt und dann wegen der Symmetrie nen Faktor $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ vorgepackt und die Grenzen wieder zurückgeändert. Naja dann wär $\begin{eqnarray} f(x)=\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ und demensprechend die Ableitung Null. Und somit wär das ganze Null. Aber naja man könnts ja eigentlich auch so wie du auffassen und direkt diese Regel mit $\begin{eqnarray} f(x)=\theta (x) \end{eqnarray}$ anwenden dann käm halt nicht Null raus sondern $\begin{eqnarray} \delta(0) \end{eqnarray}$ . KA was da der springende Punkt ist. Vll ist $\begin{eqnarray} \theta (x) \end{eqnarray}$ ja auch keine zulässige Testfunktion zulterzuck
04.04.2006, 22:53	yeti777	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral über delta quadrat Hallo Kricki! Ich habe mal eine Vorlesung über Distributionentheorie "genossen" und parallel dazu das Buch von Wolfgang Walter "Einführung in die Distributionentheorie", BI Wissenschaftsverlag, benutzt. Nach einigem Nachschlagen und Auffrischen meiner Kenntnisse komme ich zum Schluss, dass dein Funktional (= Integral) keinen Sinn ergibt (Irrtum vorbehalten). Gruss yeti
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04.04.2006, 23:21	navajo	Auf diesen Beitrag antworten »
Lustig, nu lässt sich mein Ergebnis von 0 mit Maple grad nicht wieder rekonstruieren. Ich hab praktisch keine Ahnung von Distributionentheorie, aber wo liegt dann bei mir der Fehler? Ich rechne mit den Dingern eigentlich wie mit normalen Funktionen, wie man ja sieht . Ist die partielle Integration so für Distributionen garnicht sinnvoll? Edit: Okay, die 0 aus Maple hat sich geklärt, war nur ein Eingabefehler.
04.04.2006, 23:47	yeti777	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo navajo! Ich habe ein bisschen einen Erklärungsnotstand. Wir haben in unserer Vorlesung die Distributionen als lineare, stetige Funktionale erklärt. Ein Integral ist das zwar auch, aber die Delta-Distribution (DIRAC-Stoss) ist keine reguläre Distrubution und man kann zeigen (im Buch von WALTER auf Seite 21), dass keine lokal integrierbare Funktion $\begin{eqnarray} \delta \end{eqnarray}$ mit der Eigenschaft $\begin{eqnarray} \int_{- \infty }^{+ \infty }~\delta(x) \Phi(x)~dx = \Phi(0)\,\,\,\Phi \in \theta \,\,\,\theta = \end{eqnarray}$ Raum der Testfunktionen existiert. Was ich sagen will ist, dass ich beim Rechnen mit der $\begin{eqnarray} \delta \end{eqnarray}$ -Distribution nie das Integral benutze, sondern immer die Definition des linearen Funktionals, nämlich $\begin{eqnarray} <\delta\,,\,\Phi> = \Phi(0) \end{eqnarray}$ . So bleibe ich immer "sauber" und mache keine krummen Dinger. Die Frage mit dem partiellen Integrieren stellt sich gar nicht! Gruss yeti PS. Die Antwort hat etwas lange gedauert. Aber ich bin vollkommen aus der Übung mit LaTeX.
05.04.2006, 00:04	navajo	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, werd werd das dann erstmal so hinnehmen, mal schauen ob ich mich mal überwinden kann nen Buch zu dem Thema in die Hand zu nehmen. Was mich ja nun noch interresieren würd, ist wie du überhaupt dann auf das $\begin{eqnarray} \delta (x)^2 \end{eqnarray}$ gekommen bist @Kricki.
05.04.2006, 10:41	yeti777	Auf diesen Beitrag antworten »
@Kricki: Ich schliesse mich der Frage von navajo an! Ich habe in der Signaltheorie schon ziemlich viel mit der $\begin{eqnarray} \delta \end{eqnarray}$ -Distribution gerechnet, aber den Ausdruck $\begin{eqnarray} (\delta(x))^2 \end{eqnarray}$ habe ich noch nie angetroffen. Gruss yeti
05.04.2006, 21:09	Kricki	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Funktion hab ich tatsächlich aus der Signaltheorie. Und zwar soll damit gezeigt werden, dass ein Delta-Puls (also ein Signal das wie die Delta-Funktion aussieht) ein Leistungssignal darstellt. Ein Signal wird per def. Leistungssignal genannt wenn $\begin{eqnarray} \lim_{t\rightarrow \infty} \frac{1}{2t} \int_{-t}^{t} s(t')^2 dt' \end{eqnarray}$ größer Null aber endlich ist. s(t) ist das Signal. Wenn man hier die Delta-Funktion einsetzt kommt 1/4 raus. Ich weiß aber halt nicht wie.
05.04.2006, 23:30	yeti777	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi Kricki! Also ich weiss nicht, wie dein Professor es fertig bringt, den DIRAC-Stoss zu quadrieren! Und was macht man, wenn man nicht weiter weiss? Man zitiert eine Autorität! Ich habe noch einmal im bereits erwähnten Buch von WALTER nachgeschaut und bin tatsächlich fündig geworden, siehe Anhang! Es bleibt also dabei: Das Quadrat der $\begin{eqnarray} \delta \end{eqnarray}$ -Distribution existiert nicht! Natürlich würde es mich trotzdem interessieren, wie ihr auf das von dir angegebene Resultat kommt. Lässt du es uns wissen? Gruss yeti Edit 1: Ich habe das Bild (eingescannter Text, 49 KB, .jpg) hochgeladen. Warum sieht man es nicht??? Edit 2: Nachdem der eingescannte Text definitiv nicht erscheint, schreibe ich ihn wortwörtlich ab. WALTER schreibt zur Multiplikation von Distributionen: "Das Produkt FG zweier Distributionen F und G lässt sich im allgemeinen nicht in sinnvoller Weise definieren. Im besonderen ist es nicht möglich, das Quadrat der $\begin{eqnarray} \delta \end{eqnarray}$ -Distribution, $\begin{eqnarray} \delta^2 \end{eqnarray*}$ zu bilden." Aus "Einführung in die Theorie der Distributionen" von Wolfgang Walter, o. Prof. an der Universität Karlsruhe.
07.04.2006, 20:46	Kricki	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich wüsste wie man auf dieses Resultat kommt würde ich ja nicht fragen... Wenn $\begin{eqnarray} \delta^2 \end{eqnarray}$ keinen Sinn macht, so würde es ja auch keinen Sinn machen bei einem Delta-Puls von einem Leistungssignal zu sprechen (siehe Definition). Dies ist aber nun mal der Fall (steht auch so bei Wiki). Gibt's vielleicht die Möglichkeit mit einer "Darstellung" der Delta-Funktion zu rechnen (z.B. Gauß-Funktion) und dann irgendwie den Grenzübergang (also den Übergang zu Delta-Funktion) zu vollziehen, und damit das Integral zu knacken ? Ich glaub ich probier das mal aus. Grüße.

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