Schwerpunkt teilt Schwerlinie im Verhältnis 2:1 - Beweis?

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Y-G Auf diesen Beitrag antworten »
Schwerpunkt teilt Schwerlinie im Verhältnis 2:1 - Beweis?
Hallo!

Wie kann man beweisen/begründen, dass der Schwerpunkt eines Dreiecks jede Schwerlinie im Verhältnis 2:1 teilt?

Danke!
Poff Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schwerpunkt teilt Schwerlinie im Verhältnis 2:1 - Beweis?
So 'ohne weiteres' überhaupt nicht.

Was hingegen weniger schwierig ist, ist der Beweis, dass der Punkt,
in welchem sich die Seitenhalbierenden schneiden, diese im Verhält-
nis 2:1 teilt.


smile
 
 
Y-G Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo!

Was genau meinst du mit Seitenhalbierende?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Hi!

Der Punkt, in dem sich die Seitenhalbierenden schneiden, IST der Schwerpunkt!

Die Bezeichnung "Seitenhalbierende" ist ziemlich unglücklich, weil sie leicht mit dem Begriff Mittensymmetrale verwechselt werden kann; Deshalb wird im österreichischen Lehrplan stattdessen die Bezeichnung "Schwerlinien" verwendet.

Darunter sind (in einem Dreieck) die Verbindungslinien eines Seitenmittelpunktes zum gegenüberliegenden Eckpunkt zu verstehen. Durch diese wird demgemäß auch die Fläche des Dreieckes in zwei gleiche Teile geteilt.

Dass der Schwerpunkt die Schwerlinien im Verhältnis 2 : 1 (von der Ecke aus gesehen) teilt, ist geometrisch sehr leicht mittels des Strahlensatzes nachzuweisen+). Rechnerisch geschieht dies am besten vektoriell. Beide Beweise sind "klassisch" und überall nachzulesen.

+) seien s_c und s_a gezeichnet (und deren Schnittpunkt S), s_a geht durch Halbierungspunkt Ha auf BC. Durch B Parallele zu s_c, schneidet Verlängerung von AC in C'. C ist Mittelpunkt von AC'. s_a trifft BC' in Ha', Ha ist ebenfalls Mittelpunkt von SHa'. Somit ist AS = 2*SHa.

Gr
mYthos
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

Einspruch,

der Begriff Seitenhalbierende ist MINDESTENS genauso geläufig.

Weiterhin beweist diese Tatsache nicht die Eigenschaft des
gewissen Punktes als SCHWERPUNKT sonder nur dessen Eigenschaft
als Schnittpunkt der entsprechenden Linien.

Der Nachweiß dass es sich dabei um einen Schwerpunkt im Sinne
der Definition handelt ist damit nicht vollbracht.


smile
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe nicht gesagt, dass der Begriff (in Deutschland) nicht geläufig ist! Das ändert aber nichts an der Tatsache, dass er unglücklich ist, deshalb (in Österreich): Schwerlinie!

Es ist ausserdem hier nicht die Aufgabe, nachzuweisen (bitte, das hat mit "weiß" nix zu tun), dass der Schnittpunkt der drei Seitenhalbierenden im Schwerpunkt liegt (das ist eine andere Geschichte, allerdings leicht als Massenmittelpunkt zu definieren), sondern dass dieser Punkt das Teilverhältnis 2 : 1 erzeugt.

Wink
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

@mythos
Woher weiß man denn, dass der Punkt Ha die Strecke SHa' halbiert (erst das lässt ja den Schluss zu, dass AS = 2*SHa)????

@Poff
Ein Schwerpunkt im Sinne der Definition, damit meinst du doch physikalisch oder??? Ist nicht bewiesen, dass es der Schwerpunkt ist, wenn man bewiesen hat, dass er die Seitenhalbierenden im Verhältnis 2:1 teilt (nach dem Hebelgesetz)???
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathespezialschüler
@mythos
Woher weiß man denn, dass der Punkt Ha die Strecke SHa' halbiert (erst das lässt ja den Schluss zu, dass AS = 2*SHa)????


Das folgt aus der Kongruenz der Dreiecke HaBHa' und SHaC, a/2 und zwei Winkel (Scheitel- und Parallelwinkel) sind gleich.
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

@Mathespezialschüler

Der Punkt den man Schwerpunkt einer Fläche nennt, hat eine
klar definierte Eigenschaft.

Im Dreieck schneiden sich die Seitenhalbiernden in einem Punkt,
dem Schnittpunkt der Seitenhalbierenden und dieser Punkt teilt
diese Linien im Verhältnis 2:1.

Dass dieser Punkt nun zugleich auch ein Flächenschwerpunkt
im Sinne der Definition ist, ist nochmal ein anderes Kapitel.


... und der Threadersteller hat soo gefragt:

Zitat:
Original von Y-G
... Wie kann man beweisen/begründen, dass der Schwerpunkt eines Dreiecks jede Schwerlinie im Verhältnis 2:1 teilt?


Dazu muss ich nun aber auch beweisen, dass der Flächenschwerpunkt
des Dreiecks mit jenem Schnittpunkt zusammenfällt, eben ein
Punkt im Sinne der Definition ist, wenn ich's genau wörtlich
nehm.

Im Prinzip hat der Threadersteller falsch gefragt.
Die Frage hätte müssen lauten:

.. Wie kann man beweisen/begründen, dass die Seitenhalbierenden
((Schwerlinien)) eines Dreiecks sich im Verhältnis 2:1 teilen und in
einem Punkt schneiden?


sooo, damit wollte ich nun NICHT weiter auf dem Ding
rumgeritten haben, hab jetzt NUR geantwortet weil du
explizit nochmal DAZU gefragt hast ....



smile
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Poff
@Mathespezialschüler

Der Punkt den man Schwerpunkt einer Fläche nennt, hat eine
klar definierte Eigenschaft.


Welche Eigenschaft hat er denn??
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

Summe der 'Flächenträgheitsmomente' ist Null

smile
johko Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sehe, es fällt euch schwer, einen Punkt zu machen. verwirrt
Ich finde es eine unnötige Verunsicherung des Fragestellers, über eine Randbemerkung hinaus dies "Problem" abzuhandeln
Johko
*mallieberbildanfüg*
Zum vektoriellen Beweis siehe ein ähnliches Problem bei
http://de.web-z.net/~mathe/thread.php?threadid=3193&sid=
Y-G Auf diesen Beitrag antworten »

Herzlichen Dank an alle.
Bezüglich der Bezeichnung: In Österreich heißt es in allen Schulen "Schwerpunkt" und "Schwerlinie".

PS.: Ich hätt eigentlich nicht gedacht, dass der Beweis so einfach ist.
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