Dreieck in flächengleiches Rechteck verwandeln |
| 12.05.2004, 01:07 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Dreieck in flächengleiches Rechteck verwandeln hab folgende Aufgabe: Verwandle ein Dreieck mit a=5cm , b=6cm und c=7cm in ein flächengleiches Quadrat! Der Höhensatz soll nicht bekannt sein, der Kathetensatz schon. Ich hab mir folgendes überlegt: 1. Dreieck in flächengleiches Rechteck verwandeln 2. Rechteck in Quadrat verwandeln (Kathetensatz) 2. ist kein Problem! Auch für 1. habe ich schon eine korrekte Lösung, die ich allerdings sehr unschön finde, ich hätte gern eine elegantere. Meine Lösung wäre: Flächeninhalt des Dreiecks ist Grundseite*Höhe/2 also an Endpunkte der Grundseite im rechten Winkel Höhe konstruieren, dann verbinden. Dann hat man ein Rechteck mit doppeltem Flächeninhalt des Dreiecks. Auf eine Rechtecksseite Mittelsenkrechte, dann habe ich ein Rechteck mit gleichem Flächeninhalt wie das Dreieck. Dann mit 2. weitermachen. Wie gesagt, finde ich diese Lösung nicht schön! Kennt jemand eine andere Konstruktion eines flächengleichen Rechtecks aus einem Dreieck? Danke im voraus für eure Antworten! |
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| 12.05.2004, 03:42 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Dreieck in flächengleiches Rechteck verwandeln Thaleskreis über c Höhe auf Grundlinie c von einer Ecke aus anlegen. (oder umgekehrt, je nach Größenverhältnissen) Mittelsenkrechte der Teilstrecke erstellen, Schnittpunkt mit Kreis und die entsprechende Ecke liefern die gesuchte Strecke . 
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| 12.05.2004, 11:22 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Dreieck in flächengleiches Rechteck verwandeln Darf man auch fragen, wie du darauf kommst? |
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| 12.05.2004, 11:52 | Irrlicht | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ja, ich habe es auch sp wie Poff gemacht. Ich beschreibe mal, wie ich es mir hergeleitet habe. Wenn ich die Höhe h_c vom Punkt C auf c halbiere und den entstehenden Punkt P nenne, dann hat das Dreieck ABP den halben Flächeninhalt wie ABC. Nun brauche ich für das Rechteck aber nicht den Punkt P, sondern einen Punkt P' auf der selben Höhe zu c mit Winkel AP'B = 90°. Also habe ich den Thaleskreis um c konstruiert und dann kannst du dir für P' einen der Schnittpunkte des Thaleskreises und der Parallelen zu c durch P aussuchen. Dieses rechtwinklige Dreieck ist dann die eine Hälfte des gesuchten Recktecks. 
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| 12.05.2004, 12:07 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Da war ich wohl ein wenig zu fixiert, um das zu erkennen. Danke für die Erklärung! |
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| 12.05.2004, 12:16 | SirJective | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Es geht aber auch anders (obs einfacher ist, musst du selbst entscheiden): Ich habe c als Grundseite mit den Ecken A, B, und darüber die dritte Ecke C. Konstruiere die Mittelparallele m zwischen c und C. Konstruiere die Senkrechten sa und sb auf c durch die Punkte A und B. Die Ecken A,B und die Schnittpunkte von m mit sa und sb sind Ecken eines Rechtecks, das dieselbe Fläche wie das Dreieck hat. Das sieht man leicht, indem man die Höhe durch C konstruiert und feststellt, dass das Dreieck nun in vier Teile zerlegt ist, und die oberen beiden Teildreiecke einfach "umgeklappt" werden. Gruss, SirJective PS: Nun hab ich den Startbeitrag mal zuende gelesen - das ist ja fast deine Methode! Ich find sie aber deshalb schöner, weil sie nur darin besteht, das Dreieck zu zerlegen und neu zusammenzusetzen. |
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| 12.05.2004, 12:19 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
@Irrlicht, Mathespezialschüler ... dann hast du aber erst das Rechteck und nicht das gesuchte Quadrat, oder bin ich blind im Moment . 
. @SirJective .. einfacher ?? 
die 'meinige Srecke' liefert doch direkt schon das Quadrat . :-oo |
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| 12.05.2004, 12:29 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ja dann haben wir das Rechteck. Hast du denn bei deinem Weg direkt das Quadrat konstruiert?? |
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| 12.05.2004, 12:31 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Na klar doch :-oo
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| 12.05.2004, 12:38 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Dann bitte nochmal genauer erklären. |
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| 12.05.2004, 12:50 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Konstruier's und denk nochmal drüber nach, hab derweil keine Zeit ...
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| 12.05.2004, 13:07 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Dreieck in flächengleiches Rechteck verwandeln
Was sind die entsprechenden Ecken?? |
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| 12.05.2004, 14:41 | Irrlicht | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Mensch Poff, das war fuer mich jetzt ein Hirnklatscher. :P Klar, da hast du schon das Quadrat. Edit: Mein Tip zu zeichnen, war Bloedsinn, weil ich mich verzeichnet hatte. 
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| 12.05.2004, 14:57 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich glaub ich bin heut zu blöd und zu blind dafür. Ich sehs immernoch nicht. :P :P :P :P :P :P :P
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| 12.05.2004, 15:25 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
@Mathespezialschüler ich könnte das jetzt in ein paar Takten klarstellen, ich machs aber extra mal nicht. Wenn du mal davon ausgehst, dass meine Konstr.Beschreibung präzise ist, dann bleiben bei genauerem drüber Nachdenken (fast) keine weiteren sinnvollen Deutungen als NUR die Gemeinte über.
.. da ist nur von einer Ecke die Rede, musst genauer hinschauen
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| 12.05.2004, 16:01 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Dreieck in flächengleiches Rechteck verwandeln
Also ich sag mal, was man bei deiner Beschreibung falsch verstehen könnte: 1.
"Eine Ecke" muss nicht die Ecke C sein, die du aber meinst. 2.
Die Teilstrecke kann auch die Höhe sein (so hat es sich zumidest für mich angehört). Ich beschreib jetzt mal, wie ich es nach Ausschließen dieser 2 Dinge gemacht habe, damit du mir sagen kannst, ob es richtig ist: Ich zeichne das Dreieck mit c=7cm, a=5cm, b=6cm. Dann den Thaleskreis um den Mittelpunkt von c. Dann Höhe vom Punkt C auf c, sodass der Punkt Hc ensteht. Dieser teilt c in p und q. Die Mittelsenkrechte mp der längeren der beiden Strecken p und q (ich nehme p als längere) wird konstruiert und es entsteht der Mittelpunkt Mp der Strecke p. mp hat nun einen Schnittpunkt P mit der Kreisperipherie. P wird mit dem Punkt B verbunden. Dies ist die Grundseite des gesuchten Quadrats. |
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| 12.05.2004, 19:22 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Dreieck in flächengleiches Rechteck verwandeln @Mathespezialschüler 'SirJective' wird auch schon lauern um mir eins überzuhängen *gg* ... ein Schwachpunkt ist drin in meiner Beschreibung, dieweil es EINE Stelle gibt die man ZWEIFACH lesen kann. deine Deutungen jedoch, liegen weit neben dem sinnvoll Möglichen denke ich .... soo, nun will ich mich mal selbst 'auseinandernehmen' .
" Thaleskreis über c ist klar .... " " Höhe auf Grundlinie c von einer Ecke aus anlegen. " macht in deiner Deutung "Eine Ecke" muss nicht die Ecke C sein, die du aber meinst. ABSOLUT keinen Sinn Höhen werden auf Grundlinien gefällt und nicht angelegt, also kann ein Fällen nicht gemeint sein, ZUMAL das ja AUCH mit dem "einer Ecke" nicht zusammenpassen will. Welche Höhe kann denn überhaupt gemeint sein wenn Zweifel bestehen sollten ?? ich denke, wenn ich mit Thaleskreis über c arbeite, kommt für das Problem NUR die Höhe hc in Betracht, warum ?? :-oo Damit kann auch C nicht als Ecke gemeint sein, (wie du ja auch schon erkannt hast) da sie ja nicht EINE von mehreren Ecken sein kann von denen man ...
und auch sonst ....:-oo Welche Ecken bleiben nun noch über ?? A und B, oder ?? "Höhe auf Grundlinie c von einer Ecke aus anlegen." Könnte es Sinn machen die Höhe (hc, eine andere kommt ja nicht in Frage) im Punkt A oder B auf der Grundlinie c anzulegen (und abzutragen) ?? Könnte es Sinn machen diese Strecke nun als Teilstrecke (von c) zu bezeichnen und davon die Mittelsenkrechte zu bilden, oder doch eher von der anderen Reststrecke .... ??? " (oder umgekehrt, je nach Größenverhältnissen) " Könnte es Sinn machen das alles etwa umgedreht ausführen zu MÜSSEN, weil etwa die Hohe hc viel zu lang ist ??? (also c auf hc abzutragen, usw. ....) Könnte es Sinn machen den Schnittpunkt der Mittelsenkrechten, der auf der Grundlinie c vom Punkt A oder B abgetragenen Teilstrecke (Höhe (hc)) mit dem Thaleskeis, mit eben jener ensprechenden Ecke A oder B, (je nachdem von wo die Höhe angelegt-abgetragen wurde) im Geiste zu verbinden und könnte das die gesuchte Strecke sein ??? und wenn jaa, warum nur ??? ... dass das solch ein 'Rätsel' geben würde konnte ich im Traum nicht vorhersehen, soo war das nicht gedacht. :-oo Ich dachte eher das ist kaum falsch aufzunehmen, schon des ZIELES und der BEDINGUNGEN wegen .
hier nochmal das was zweifach zu lesen ist Höhe auf Grundlinie c von einer Ecke aus anlegen. das kann man lesen als (Höhe auf Grundlinie c) hc also, von einer Ecke aus anlegen. oder als Höhe [Marke (noch) unbekannt] auf der Grundlinie c von einer Ecke aus (A oder B) anlegen. ich denke das erstere macht keinen Sinn, weil einfach undurch- führbar ... (wie und was von wo an und auf wem anlegen ???) soo, und jetzt könnt 'ihr' loswettern ...
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| 12.05.2004, 23:13 | Irrlicht | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Also ich bin ja immer noch am herumrätseln, wie du dir sowas hergeleitet hast, Poff. Nachdem ich mich beim ersten Versuch doch glatt verzeichnete und mein Hirnklatscheffekt sich in Luft auflöste. Und nein, SirJective wird erstmal nichts sagen, der hat vorhin meinen Rechner mit dampfenden Schädel verlassen.
Ich werd dem nicht den Triumph gönnen, sonst gibts nen Vor-Ehekrieg. *g*Ich habe mir gerade mithilfe des Höhensatzes hergeleitet, wie ich mein Rechteck, dass ich hatte, in ein flächengleiches Quadrat verwandle. Aber ein 2in1-Rezept für diese beiden Schritte habe ich noch nicht gefunden. Ich weiss mittlerweile, wie Poffs Konstruktionsbeschreibung zu verstehen ist, aber ich weiss nicht, warum ich dann fertig bin. *g* |
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| 12.05.2004, 23:28 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Leider hat mich Poff jetzt mit seinem Beitrag noch viel viel mehr verwirrt.
Deswegen bin ich davon noch weiter weg als vorher! Ich bin jetzt völlig
!!!!!!!! |
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| 12.05.2004, 23:32 | SirJective | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Vielleicht ist es zweckmäßig, an dieser Stelle die Konstruktionsbeschreibung erneut zu geben. Da ich mich heut abend nicht mehr dazu in der Lage fühle - würdest du das bitte für uns tun, Poff? |
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| 12.05.2004, 23:56 | SirJective | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ok, ich gebe nun die Konstruktionsbeschreibung, wie ICH es jetzt gemacht hab. Sie ist aber ganz ähnlich zu dem, was Poff tut, denke ich: Zeichne das Dreieck ABC und die Hoehe h_c ein. Verlängere die Strecke [AB] nach links und trage auf dieser Verlängerung die Hälfte der Höhe h_c ab. Es entsteht eine neue Strecke, die ich jetzt mal [A'B] nenne. Schlage den Thaleskreis um [A'B] und konstruiere die Senkrechte zu [A'B] durch den Punkt A. Du erhälst einen Schnittpunkt P vom Thaleskreis und jener Senkrechten. Nimm jetzt - um es besser zu sehen - einen Farbstift und zeichne das Dreieck A'PB - von diesem Dreieck ist x:=[AP] nun eine Höhe und diese ist eine Seite des gesuchten Quadrats: A_dreieck = 0.5*h_c*c Kathetensatz (farbiges Dreieck): x^2 = (0.5*h_c)*c = A_dreieck Bitte guckt mal einer nach ev. Fehlern, es ist ja schon spät und ich bin müde. ;D PS.: Wieso bin ich jetzt eigentlich als SirJective eingeloggt... der Hundling, der... *ihngrillengeh* .oO(Nun haben wir uns also völlig verraten) Irrlichterl |
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| 13.05.2004, 00:08 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
... das ist ein guter Vorschlag .
da das nun scheinbar soo viele verwirrt hat, muss was dran sein (nur wehe wenn ihr's begreift ...) will ich meine Konstruktionsbeschreibung um zweifelhafte Elemente bereinigen. Die 'bereinigte': Thaleskreis über c Höhe (hc) auf der Grundlinie c von einer Ecke (A oder B) aus, auf der Grundlinie abtragen. (oder entsprechend alles umgekehrt, je nach Größenverhältnissen, dann c auf der Höhe hc abtragen ....) Mittelsenkrechte dieser auf c abgetragenen Strecke erstellen, Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten mit Kreis und die entsprechende Anlege-Ecke auf c (A oder B) liefern die gesuchte Strecke .
warum dürft 'ihr' mal selbst rausknobeln ....
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| 13.05.2004, 01:03 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ok, danke Poff, jetzt habe ich es verstanden! Vorher hatte ich das mit dem Abtragen der Höhe falsch verstanden (kleine Ausrede ist vielleicht, dass ich ja eigentlich krank bin und im Bett liegen sollte 
). Übrigens:
So gings übrigens auch und ich hatte die Strecke an genau demselben Ort wie Poff! Nochmal vorerst danke an Poff für die große Mühe und die vielen Beiträge!! Das gleiche natürlich auch an Irrlicht (bzw. SirJective oder und SirJective oder wer auch immer hier was geschrieben hat
). Allerdings habe ich bei Poff noch nicht raus, warum das jetzt die Strecke ist. Bei Irrlicht allerdings schon.Auf jeden Fall vorerst mal danke @all!!! ---------------------------------------------------Edit-------------------------------------------------------------------
Ich glaub das zweite ist dann doch eher der Höhensatz als der Kathetensatz, wenn ich mich da jetzt nicht ganz täusche!? Trotzdem (oder gerade deswegen) schöne Lösung! |
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| 13.05.2004, 01:57 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
@Mathespezialschüler ... das ist leider falsch, das mag zwar zufällig hinkommen, ist aber falsch. Nicht alles was scheinbar passt ist richtig und umgekehrt .
gute Besserung .... 
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| 13.05.2004, 02:37 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ja, als ich deinen Lösungsweg gezeichnet habe, ist mir das aufgefallen. Da war die Höhe abgetragen auf c genau der Höhenpunkt von der eigentlichen Höhe hc. Warum deins die Seite bringt weiß ich jetzt auch (Kathetensatz). |
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| 13.05.2004, 11:03 | Irrlicht | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Genau, MSS, ich habe den Hoehensatz bei meiner Loesung verwendet, Poff den Kathetensatz. *g* Hab ich wohl gestern in meiner allgemeinen Verwirrtheit verwurschtelt.
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| 13.05.2004, 14:32 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Sie ist aber ganz ähnlich zu dem, was Poff tut ... ... ist sie nicht :-o Bitte guckt mal einer nach ev. Fehlern jaa, 'SirJective' Feehler, deine Lösung ist unzulässig im Sinne der Aufgabenerstellung des Threaderstellers . :-oo
Dort heißt es
... uund deine Lösung benutzt eben jenen unbekannten Höhensatz und nicht wie DU meinst den Kathetensatz ....
und nuu iss aber genug 
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| 13.05.2004, 14:38 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Das ist richtig, nur war ich da jetzt auch ehrlich gesagt nicht mehr so dran interessiert, da ich ja sowieso schon ne Lösung hatte. Aber vom Prinzip her hat Poff natürlich Recht! :] |
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