Aufgabe zu Funktionenfolgen

06.04.2006, 15:10

Marcyman

Aufgabe zu Funktionenfolgen

Sei $\begin{eqnarray*} f_n \in C^1([a,b], \mathbb{R}), n \in \mathbb{N}, ||f'||_\infty \leq M \quad \forall n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ . Sei weiterhin $\begin{eqnarray*} D \subset [a,b] \end{eqnarray*}$ dicht und konvergiere $\begin{eqnarray*} (f_n(x))_{n \in \mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ für jedes $\begin{eqnarray*} x \in D \end{eqnarray*}$ . Zeige, dass $\begin{eqnarray*} (f_n)_{n \in \mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ auf [a,b] gleichmäßig konvergiert. Hinweis: Mittelwertsatz.

Und zwar soll man erst die punktweise Konvergenz auf ganz [a,b] zeigen, was aber kein Problem sein sollte. Zum eigentlich Aufgabenteil habe ich auch schon was gefunden, allerdings nicht den MWS gebraucht, deswegen noch unsicher. Ich schreib mal was ich hab:

Aus der Kompaktheit der Definitionsmenge folgt:

1. Es braucht nur die lokale gleichmäßige Konvergenz gezeigt zu werden.

2 .Die $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ sind gleichmäßig stetig. Sei also $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ vorgegeben, dann existiert ein $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} |f_n(x)-f_n(y)| < \frac{\epsilon}{3} \end{eqnarray*}$

solange nur $\begin{eqnarray*} |x-y|< \delta \end{eqnarray*}$ , was wegen 1. kein Problem darstellt.

Außerdem sei $\begin{eqnarray*} y \in D \end{eqnarray*}$ beliebig gewählt, dann ex. ein $\begin{eqnarray*} n_{\epsilon} \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} |(f_n(y)-f(y)|< \frac{\epsilon}{3}\qquad \forall n >n_{\epsilon} \end{eqnarray*}$

Dann folgt für alle x mit $\begin{eqnarray*} |x-y|< \delta \end{eqnarray*}$ und ab $\begin{eqnarray*} n_{\epsilon} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |f_n(x)-f(x)| \leq |f_n(x)-f_n(y)|+|f_n(y)-f(y)|+|f(y)-f(x)| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = |f_n(x)-f_n(y)|+|f_n(y)-f(y)|+|\lim_{n \to \infty} f_n(y) - \lim_{n \to \infty} f_n(x)| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = |f_n(x)-f_n(y)|+|f_n(y)-f(y)|+|\lim_{n \to \infty} (f_n(y) -f_n(x))| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \leq \frac{\epsilon}{3} + \frac{\epsilon}{3} + \frac{\epsilon}{3} = \epsilon \end{eqnarray*}$

Bin zwar skeptisch, aber finde den Haken nicht.

06.04.2006, 16:51

Mathespezialschüler

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Hallo!

Zitat:

Original von Marcyman
2 .Die $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ sind gleichmäßig stetig. Sei also $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ vorgegeben, dann existiert ein $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} |f_n(x)-f_n(y)| < \frac{\epsilon}{3} \end{eqnarray*}$

solange nur $\begin{eqnarray*} |x-y|< \delta \end{eqnarray*}$ , was wegen 1. kein Problem darstellt.

Hier ist mMn ein Fehler. $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ hängt von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ab! Das darf es aber in der späteren Abschätzung nicht.
Du kannst allerdings $\begin{eqnarray*} \delta=\frac{\epsilon}{M} \end{eqnarray*}$ wählen. Um dann die Abschätzung zu beweisen, kannst du den MWS benutzen. Daraus bekommst du, dass die Familie $\begin{eqnarray*} (f_n) \end{eqnarray*}$ gleichmäßig gleichgradig stetig ist. Mit dem Heine-Borelschen Überdeckungssatz folgt dann die gleichmäßige Konvergenz mit ein paar Überlegungen direkt.
Was es mit lokal gleichmäßiger Konvergenz auf sich hat, weiß ich leider nicht (ich kenne nur die "globale"), aber ich weiß, dass mein Weg funktioniert. Augenzwinkern

Gruß MSS

06.04.2006, 17:22

Marcyman

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Ja da issa der Fehler und den muss man erstmal sehen... Die Abschätzung mit dem MWS hatte ich auch, aber trotzdem schade, dass es nicht ohne geht. Danke jedenfalls.

EDIT: Aufgabe ist auch unabhängig von mir von meinem Komilitonen auf dem matheplanet gepostet worden. Nicht, dass jemamd denkt ich wäre dem matheboard untreu hehe...

06.04.2006, 17:55

Mathespezialschüler

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Falls du das meinst: Da habe ich meine Kritik schon geäußert. Vor allem sollte man sich beim Beweis der Grundlage , d.h. beim Beweis der punktweisen Konvergenz, sicher sein.

Gruß MSS

06.04.2006, 19:19

Marcyman

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Zur pkt. Konvergenz hab ich mir selbst noch keine Gedanken gemacht, wollte gleich das anscheinend (oder doch nur scheinbar?) Schwierigiere erledigen Augenzwinkern

und apropos: Die richtige Abschätzung mit dem MWS lautet doch hoffentlich so:

$\begin{eqnarray*} |f_n(x)-f_n(y)|=|f'(\zeta)||x-y| \leq \frac{\epsilon}{3} \end{eqnarray*}$

solange $\begin{eqnarray*} |x-y|<\delta= \frac{\epsilon}{3M} \end{eqnarray*}$

und damit schätze ich den ersten und den dritten Term ab in der Abschätzung von mir weiter oben. Dann hätte ich die gleichmäßige Konvergenz in einer Umgebung von x (das meine ich mit lokal gleichmäßig konvergent), und das reicht bereits aus nach einem Satz aus unserer Vorlesung.

06.04.2006, 19:34

Mathespezialschüler

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Ja, das ist die richtige Abschätzung. Aber: Dein $\begin{eqnarray*} n_{\varepsilon} \end{eqnarray*}$ hängt von $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ ab, was wohl auch für die lokal gleichmäßige Konvergenz nicht sein darf (Kannst du mir mal die genaue Definition dafür geben?).

Gruß MSS

06.04.2006, 19:58

Marcyman

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$\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ konvergiert lokal gleichmäßig gegen f auf M, wenn es zu jedem $\begin{eqnarray*} x \in M \end{eqnarray*}$ eine Umgebung U von x gibt, sodass $\begin{eqnarray*} f_{n | U \cap M} \end{eqnarray*}$ gleichmäßig auf $\begin{eqnarray*} U \cap M \end{eqnarray*}$ gegen f konvergiert.

Ein Satz besagt nun, dass lokal gleichmäßige und gleichmäßige Konvergenz auf kompakten Mengen äquivalent sind.

06.04.2006, 20:06

Mathespezialschüler

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Ok, dann bleibt aber mein Einwand mit dem von $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ abhängigen $\begin{eqnarray*} n_{\varepsilon} \end{eqnarray*}$ !
Wie gesagt: Ich habe einen Beweis, der nicht über die lokal gleichmäßige Konvergenz geht. Wenn du möchtest, kann ich ihn posten.

Gruß MSS

edit: Ok, es ist doch korrekt. Allerdings solltest du das " $\begin{eqnarray*} y\in D \end{eqnarray*}$ beliebig" oben wegnehmen und " $\begin{eqnarray*} y\in [a,b] \end{eqnarray*}$ beliebig" hinschreiben. Die Abschätzung danach gilt tatsächlich für alle $\begin{eqnarray*} n>n_{\varepsilon} \end{eqnarray*}$ . Also hast du die lokal gleichmäßige Konvergenz. Dir fehlt dann nur noch die punktweise Konvergenz am Anfang.
Wenn du nichts dagegen hast, werde ich meinen Beweis trotzdem mal posten, da die Aussage, die ich beweise auch etwas allgemeiner ist. Augenzwinkern

06.04.2006, 20:29

Marcyman

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Poste ruhig deinen Beweis, ist auf jeden Fall nützlich, aber ich muss auch nochmal über meinen Versuch nachdenken. Wurde nicht oben bewiesen:

$\begin{eqnarray*} \forall y\exists n_{\epsilon} \forall n>n_{\epsilon}\forall x \in B(y;\delta) \quad |f_n(x)-f(x)|<\epsilon \end{eqnarray*}$

und ist das nicht lokal gleichmäßige Konvergenz auf [a,b]?

EDIT: Sorry zu spät gelesen und zu spät selbst gepostet Augenzwinkern

Na dann ist ja alles frisch, und ich wag mich später mal an die pkt. Konvergenz.

08.04.2006, 01:02

Mathespezialschüler

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Genau das meinte ich. Die Äquivalenz von lokal gleichmäßiger Konvergenz und gleichmäßiger Konvergenz auf einem Kompaktum ist mir nun auch klar (d.h. der Beweis). Jetzt also zu meinem Beweis, der dir auch noch die Frage für die punktweise Konvergenz beantwortet, falls du diese noch nicht hast.

Satz: Die Folge $\begin{eqnarray*} (f_n) \end{eqnarray*}$ der auf der kompakten Menge $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ definierten Funktionen $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ konvergiere auf einer Menge $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ , die in $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ dicht liegt, punktweise. Außerdem sei die Familie $\begin{eqnarray*} (f_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ gleichgradig stetig. Dann konvergiert $\begin{eqnarray*} (f_n) \end{eqnarray*}$ auf ganz $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ sogar gleichmäßig.

Beweis: Sei $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_0\in X\setminus D \end{eqnarray*}$ . Zunächst existiert nach Voraussetzung (gleichgradige Stetigkeit) ein $\begin{eqnarray*} \delta>0 \end{eqnarray*}$ , sodass für alle $\begin{eqnarray*} x\in X \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |x-x_0|<\delta \end{eqnarray*}$ und alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} |f_n(x)-f_n(x_0)|<\frac{\varepsilon}{3} \end{eqnarray*}$ .

Da $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ dicht in $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ liegt, gibt es eine Folge $\begin{eqnarray*} (x_k) \end{eqnarray*}$ , die gegen $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ konvergiert und für die $\begin{eqnarray*} x_k\in D \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} k\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ ist. Nun gibt es wiederum ein $\begin{eqnarray*} k_0\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ , sodass für alle $\begin{eqnarray*} k\geq k_0 \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} |x_k-x_0|<\delta \end{eqnarray*}$ .
Da die Folge $\begin{eqnarray*} (f_n(x_{k_0}))_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ konvergiert, gibt es ein $\begin{eqnarray*} n_0\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ , sodass für alle $\begin{eqnarray*} m,n\geq n_0 \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} |f_m(x_{k_0})-f_n(x_{k_0})|<\frac{\varepsilon}{3} \end{eqnarray*}$ .

Es folgt nun für alle diese $\begin{eqnarray*} m,n\geq n_0 \end{eqnarray*}$ wegen $\begin{eqnarray*} |x_{k_0}-x_0|<\delta \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} |f_m(x_0)-f_n(x_0)|\leq |f_m(x_0)-f_m(x_{k_0})|+|f_m(x_{k_0})-f_n(x_{k_0})|+|f_n(x_{k_0})-f_n(x_0)|<\frac{\varepsilon}{3}+\frac{\varepsilon}{3}+\frac{\varepsilon}{3}=\varepsilon \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} (f_n(x_0)) \end{eqnarray*}$ ist also eine Cauchyfolge und somit konvergent. Damit ist die punktweise Konvergenz auf ganz $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ gezeigt.

Nun zur gleichmäßigen Konvergenz: Sei wieder $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ beliebig. Zunächst gibt es wegen der gleichgradigen Stetigkeit der Familie $\begin{eqnarray*} (f_n) \end{eqnarray*}$ zu jedem $\begin{eqnarray*} x_0\in X \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \delta(x_0)>0 \end{eqnarray*}$ , sodass für alle $\begin{eqnarray*} x\in X \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |x-x_0|<\delta(x_0) \end{eqnarray*}$ und für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ folgt:

$\begin{eqnarray*} |f_n(x)-f_n(x_0)|<\frac{\varepsilon}{3} \end{eqnarray*}$ .

Das Mengensystem $\begin{eqnarray*} \mathfrak G:=\{U_{\delta(x_0)}(x_0)\ |\ x_0\in X\} \end{eqnarray*}$ bildet eine offene Überdeckung von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ . Nach Heine-Borel existiert eine endliche Teilüberdeckung $\begin{eqnarray*} \mathfrak E=\{U_{\delta(x_1)}(x_1),\ldots,U_{\delta(x_k)}(x_k)\} \end{eqnarray*}$ .
Zu jedem dieser $\begin{eqnarray*} x_j \end{eqnarray*}$ gibt es nun wegen der punktweisen Konvergenz ein $\begin{eqnarray*} n_0(x_j)\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ , sodass für alle $\begin{eqnarray*} m,n\geq n_0(x_j) \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} |f_m(x_j)-f_n(x_j)|<\frac{\varepsilon}{3} \end{eqnarray*}$ .

Sei $\begin{eqnarray*} n_0:=\max_{1\leq j\leq k}n_0(x_j) \end{eqnarray*}$ . Dann gilt die letzte Ungleichung also für alle $\begin{eqnarray*} m,n\geq n_0 \end{eqnarray*}$ und für alle $\begin{eqnarray*} j\in\{1,\ldots,k\} \end{eqnarray*}$ gleichzeitig.
Wir wählen ein beliebiges $\begin{eqnarray*} x\in X \end{eqnarray*}$ . Es liegt wegen der Überdeckungseigenschaft von $\begin{eqnarray*} \mathfrak E \end{eqnarray*}$ in einem $\begin{eqnarray*} U_{\delta(x_j)}(x_j) \end{eqnarray*}$ . Es ist somit $\begin{eqnarray*} |x-x_j|<\delta(x_j) \end{eqnarray*}$ . Für alle $\begin{eqnarray*} m,n\geq n_0 \end{eqnarray*}$ folgt also

$\begin{eqnarray*} |f_m(x)-f_n(x)|\leq |f_m(x)-f_m(x_j)|+|f_m(x_j)-f_n(x_j)|+|f_n(x_j)-f_n(x)|<\frac{\varepsilon}{3}+\frac{\varepsilon}{3}+\frac{\varepsilon}{3}=\varepsilon \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ hängt konstruktionsgemäß nicht von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ab, sodass wir also erkennen, dass $\begin{eqnarray*} (f_n) \end{eqnarray*}$ gleichmäßig auf $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ konvergiert. $\begin{eqnarray*} \Box \end{eqnarray*}$

Gruß MSS

08.04.2006, 23:30

Marcyman

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Ja, pkt. Konv. hatte ich auch so gemacht, aber mir ist gerade etwas zu meiner Abschätzung weiter oben für die glm. Konvergenz eingefallen: ist es überhaupt erlaubt $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} |f_n(x)-f_n(y)| \end{eqnarray*}$ mit Hilfe des MWS abzuschätzen? Also wir wissen durch den MWS, dass

$\begin{eqnarray*} |f_n(x)-f_n(y)|<\frac{\epsilon}{3} \qquad \forall n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$

ist. Gilt dies dann auch für $\begin{eqnarray*} n \to \infty \end{eqnarray*}$ ?

09.04.2006, 00:22

Mathespezialschüler

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Wenn $\begin{eqnarray*} a_n<a \end{eqnarray*}$ gilt für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ , dann gilt natürlich

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}a_n\leq a \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

09.04.2006, 00:48

Marcyman

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Hatte mich daran festgebissen, dass man nicht weiß, ob $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}f'(x) \end{eqnarray*}$ existiert, aber das ist ja irrelevant für den Satz, den du gepostet hast.

09.04.2006, 13:40

Mathespezialschüler

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Das hat damit ja nichts zu tun. Du hast ja selbst schon rausgefunden, dass es zu jedem $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \delta>0 \end{eqnarray*}$ , nämlich $\begin{eqnarray*} \delta:=\frac{\varepsilon}{3M} \end{eqnarray*}$ , sodass für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} |x-y|<\delta\Rightarrow |f_n(x)-f_n(y)|<\frac{\varepsilon}{3} \end{eqnarray*}$ .

Dann kannst du ja auch einfach den Limes bilden. $\begin{eqnarray*} (f'_n(x)) \end{eqnarray*}$ hat damit nichts zu tun und andersrum gilt: Nur weil $\begin{eqnarray*} (f_n(x)) \end{eqnarray*}$ konvergiert, muss $\begin{eqnarray*} (f_n'(x)) \end{eqnarray*}$ nicht konvergieren!

Gruß MSS

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