Bernoulli-Versuch: Ziehen ohne Zurücklegen |
| 07.04.2006, 12:19 | Teamplay | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
| Bernoulli-Versuch: Ziehen ohne Zurücklegen Es geht um einen Beweis, die Binominalverteilung auch bei ungeordneten Stichproben anwenden zu können. Hier die Aufgabe: Bei einer Wahl erhält Partei A 45% der Stimmen. Unter den Personen, die an der Wahl teilgenommen haben, soll eine Umfrage vom Umfang 100 durchgeführt werden. Deute die Umfrage als Bernoulli-Versuch Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind unter den 100 ausgesuchten Personen genau 40 A-Wähler? Also um die Wahrscheinlichkeit ohne Binominalverteilung zu berechnen, nimmt man ja den hypergeometrischen Ansatz. Aber ich habe kein k gegeben... Wie geht es dann weiter? |
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| 07.04.2006, 13:14 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Der hypergeometrische Ansatz ist der richtige, falls die Gesamtwählerzahl und die Anzahl der A-Stimmen bekannt ist. Hier jedoch ist die Gesamtwählerzahl unbekannt. In solchen Fällen bleibt einem nichts weiter übrig, als eine im Vergleich zur Stichprobe sehr große Anzahl Wähler anzunehmen, und dann liegt bei der Stichprobennahme (näherungsweise) doch ein Bernoulli-Experiment vor, dem die Annahme zugrunde liegt, dass jeder der 100 ausgesuchten Wähler mit 45% Wahrscheinlichkeit Partei A gewählt hat, und das unabhängig voneinander. |
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| 07.04.2006, 15:53 | Teamplay | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Okay dann sagen wir mal es handelt sich um 2000 Wähler; die Anzahl der A-Stimmen müsste ja dann 900 sein (also 45% von 2000) Der hypergeometrische Ansatz wäre also könnte dann ja aufgestellt werden (Was ist jetzt n bzw. k?) Mit der Bernoulli-Verteilung geht es ebenfalls - soll die prozentuale Abweichung bestimmen, deswegen helft mir mal bitte bei beiden Ansätzen auf die Sprünge... |
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| 07.04.2006, 16:16 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Richtig, dann geht es. Tja, und was wird wohl n und k sein, wenn 100 Wähler ausgesucht werden und die Wkt bestimmt werden soll, dass genau 40 Partei A gewählt haben... |
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| 07.04.2006, 17:33 | Teamplay | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Hm... über dem Bruchstrich steht: 900 über 40 multipliziert mit 1100 über 60 unter dem Bruchstrich dann: 2000 über 100 Also: p = 0,049 Wie bekommt man diese Wkt beim Bernoulli-Versuch?? |
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| 07.04.2006, 17:54 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Na einfach mit sowie den gleichen . |
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| 07.04.2006, 19:00 | Teamplay | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Alles klar jetzt hab ichs drauf! Die Abweichung ist ja so gering, dass man mit der Bernoulli-Variante locker auskommen kann... 
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| 07.04.2006, 19:01 | bil | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
hi... hier mein lieblingslink 
http://de.wikipedia.org/wiki/Binomialverteilung gruss bil |
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| 07.04.2006, 19:05 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Und schön, wenn man das an einem selbst ausgerechneten Beispiel mal sieht, nicht wahr? 
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| 07.04.2006, 20:25 | Teamplay | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Kugeln in einer Urne
Dann müsste der Bernoulli-Versuch ja auch auf folgende Aufgabe zu übertragen sein: Aus einer Urne mit 10 Kugeln (mit den Ziffern 0 bis 9) werden 5 Kugeln mit zurücklegen gezogen. Dabei entsteht eine 5stellige Zahl (0 ist als erste Ziffer möglich) Die Gesamtzahl der Möglichkeiten beträgt demnach: = 100.000 Möglichkeiten Berechne die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse: a) nur verschiedene Ziffern b) nur gleiche Ziffern c) genau 3 gleiche Ziffern d) höchstens 2 gleiche Ziffern e) mindestens 4 gleiche Ziffern Es müsste ja nun eine geordnete Stichprobe mit Zurücklegen sein (gibt es auch ungeordnet mit zurücklegen?) 
...und deswegen lösbar mit Binominalverteilung? Mich wundert das deswegen: Wir hatten diese Aufgabe ganz am Anfang des Themas in der Schule, die Bernoulli-Ketten jedoch viel später gemacht... 
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| 07.04.2006, 20:32 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Nein, Bernoullikette behandelt n Versuche mit nur 2 möglichen Ausgängen (0/1 bzw. Erfolg/Misserfolg o.ä.). Hier dagegen hat jeder Zug 10 mögliche Ausgänge, ist also eine andere Situation, die nicht mit Binomialverteilung erschlagbar ist. Und übrigens: Auch bei echten Bernoulliketten sind nicht alle Fragestellungen auf Binomialverteilung zurückzuführen, sondern nur die, die sich ausschließlich auf die Anzahl der Erfolge/Misserfolge zurückzuführen lassen. Es gibt da aber auch andere Fragestellungen, z.B. nach der Position des ersten Erfolges u.a. |
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| 07.04.2006, 20:32 | Teamplay | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
| Ansatz Jetzt mein Ansatz: zu a) zu b) (für jede der 10 Ziffern) zu c) (für jede der 10 Ziffern) |
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| 07.04.2006, 20:35 | Teamplay | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
bei b) z.B. könnte man doch eine bestimmte Zahl (z.B. 7) als Erfolg werten, alle anderen als Misserfolg; Dann ist die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg 1/10 und für einen Misserfolg 9/10...oder geht mein Gedanke in die falsche Richtung? |
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| 07.04.2006, 20:38 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Bei a) hast du die Wkt berechnet, dass eine bestimmte, vorher festgelegte Ziffer (z.B. 0) nicht gezogen wird. Aber dann zählst du z.B. auch 11123 als richtig... Bei b) berechnest du die Wkt, dass nur eine bestimmte, vorher festgelegte Ziffer (z.B. 0) gezogen wird. Dann zählst du aber nur 00000, aber nicht 11111, ... , 99999 . Bei c) zählst du die Wkt., dass eine bestimmte, vorher festgelegte Ziffer (z.B. 0) genau dreimal und aus dem Rest (1..9) genau zweimal gezogen wird. Damit zählst du z.B. 00089, aber nicht 11189 . Alles im allen also voll daneben, zu den Gründen: siehe mein letzter Beitrag. |
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| 07.04.2006, 20:39 | bil | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
wie arthur schon sagte klappt binomialverteilung nicht. hier kann man es mit folgendem ansatz lösen: d.h. du musst dir überlegen wieviel möglichkeiten jeweils günstig sind. z.b bei der a) für die erste stelle gibt es 10 möglichkeiten für die zweite stelle nur noch 9 usw.
weiss nicht ob du genau das richtige meinst aber so wäre es möglich. aber einfach die anzahl der günstigen möglichkeiten zu überlegen geht schneller. wenn du es über binomialverteilung machen willst, musst du jede zahl betrachten und die wahrscheinlichkeiten dann addieren. gruss bil |
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| 07.04.2006, 20:56 | Teamplay | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
also zu a) Anzahl der Günstigen: 10!/(10-5)! = 30240 (So wird dieser Versuch aber als geordnete Stichprobe ohne zurücklegen interpretiert) zu b) 1/10 für jeden Versuch Gesamtwahrscheinlichkeit: 1/10^5 = 0,00001 Weil es aber 10 Ziffern gibt: p = 0,0001 zu c) 1/10^3: drei gleiche Ziffern (9/10)^2: zwei davon verschiedene Ziffern p = 1/1000 * 81/100 wieder für jede der 10 Ziffern zu d) und e): Wahrscheinlichkeiten addieren? 
Verdammt! Solche Aufgaben sind so primitiv, dass sie schon wieder komplex sind!
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| 08.04.2006, 02:44 | bil | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
richtig
auch richtig. alternativ kann man es auch so lösen: anzahl der günstigen möglichkeiten sind: 00000 11111 22222 .... 99999 macht 10 günstige möglichkeiten. daraus folgt:
so wie du es gemacht hast ist es schon fast richtig. hast nur den binomialkoeffizienten vergessen.
wahrscheinlichkeiten addieren ist nicht falsch. aber zeig erstmal welche du addierst, dann kann ich dir sagen ob es korrekt ist.... gruss bil |
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| 08.04.2006, 13:47 | Teamplay | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
zu b) Wie lässt sich die Anzahl der günstigen Möglichkeiten (=10) denn berechnen? zu c)
Ist der Binominalkoeffizient hier 10 über 1? du d) Man addiert die Wahrscheinlichkeiten für 0, 1 und 2 gleiche Ziffern: 0 entsprechende Ziffern: p = 0,3024 1 entsprechende Ziffer: p = 0,1 2 entsprechende Ziffern: p = 0,0729 ___________ p GES = 0,4753 |
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| 08.04.2006, 13:55 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
10 mögliche Ziffern, macht 10 Möglichkeiten.
Da muss ich bil etwas ergänzen: Man muss sowohl die Auswahlmöglichkeiten für die dreifach vorkommende Ziffer beachten, als auch die Anordnungsmöglichkeiten der drei gleichen Ziffern innerhalb der fünfstelligen Zahl. Macht also zwei zusätzliche Faktoren vor das . |
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| 08.04.2006, 14:12 | Teamplay | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
und welche sind das? Wie siehts aus bei d und e? 
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| 08.04.2006, 14:16 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Auswahlmöglichkeiten für die dreifach vorkommende Ziffer beachten: 1 aus 10 möglichen Ziffern Anordnungsmöglichkeiten der drei gleichen Ziffern innerhalb der fünfstelligen Zahl: 3 aus 5 möglichen Positionen |
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| 08.04.2006, 16:13 | bil | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
also einmal der binomialkoeffizient. siehe: http://de.wikipedia.org/wiki/Binomialkoeffizient oder schau dir nochmal die binomialverteilungformel an. hatte arthur ja oben schon gepostet. hier gilt nämlich n=5 und k=3. deshalb kann dein 10 über 1 nicht passen. das zweite das fehlt und ich nicht erwähnt habe ist folgendes:
also ich bin davon ausgegangen, dass du das unterstrichene noch in deine rechnung mit reinbringst. d) kann man nicht so einfach über die binomialverteilung lösen. gesucht ist hier: solltest einfach für jeden fall also P(X=0), P(X=1) und P(X=2) die "günstigen möglichkeiten" überlegen. die e) kannst wieder über binomialverteilung lösen. gruss bil |
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