Endomorphismus finden |
| 01.07.2008, 11:47 | aRo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Endomorphismus finden Die Aufgabe: Geben Sie ein Beispiel für einen Endomorphismus eines 6-dimensionalen Vektorraums an, der keine Eigenwerte hat. Gut...also meine Idee bisher: Ich will keine Eigenwerte haben, dass heißt, dass mein charakteristisches Polynom keine Nullstellen hat. Ich wähle z.B. Die Frage ist nun, wie kriege ich daraus eine Matrix (wir nennen sie A) gebaut, die eben dieses charak. Polynom hat? Was weiß ich denn: Meine Matrix A hat 36Einträge. Das kann ich in 4 9-er Blöcke unterteilen und mir das Leben vielleicht einfacher machen, wenn ich den Block links unten als 0 wähle, dann interessiert mich der Block rechts oben nicht mehr und nur noch die Determinanten von links oben und rechts unten sind interessant. Ich könnte jetzt von beiden "allgemeine" Determinanten bilden und mit vielen Indizes rumrechnen. Am Ende könnte ich vermutlich mit meinen Bedingungen und nem Koeffizientenvergleich eine Matrix A basteln. Weiß meint ihr dazu? Müsste klappen, oder? Jemand eine schnellere Idee? So richtig Lust habe ich auf meine Strategie nämlich nicht... Danke, aRo |
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| 01.07.2008, 12:20 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hi Du meinst mit "keine Eigenwerte" doch "keine reellen Eigenwerte" oder ? Wenn ja, dann würde ich mit einer Diagonalmatrix arbeiten, denn die Determinante einer solchen ergibt sich aus dem Produkt aller Diagonaleinträge. Edit: Wobei das Kernproblem damit wohl auch noch nichtgelöst ist, hab nicht ganz zu Ende gelesen, sorry 
aber vielleicht hilfts ja trotzdem irgendwie...Gruß Björn |
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| 01.07.2008, 13:35 | aRo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ich denke schon, dass das gemeint ist, sonst wär die Frage doch nicht zu beantworten, oder? Hm...also ich habe jetzt mal den Computer ein bisschen rechnen lassen und da kommt ein riesiger Oschi raus. Ich kann mir ehrlich gesagt nicht vorstellen, dass das der beabsichtigte Lösungsweg ist. Keiner eine Idee, wie man das geschickter löst? Also auch mit der Diagonalmatrix, müsste man noch sowas hier lösen: (wobei a...f für die Diagonaleinträge stehen) (x - a)·(x - b)·(x - c)·(x - d)·(x - e)·(x - f) und das ist schon ganz schön eklig, um das dann per Koeffizientenvergleich zu lösen.. aRo |
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| 01.07.2008, 13:43 | Tomtomtomtom | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also ich geb ja zu, daß ich von Linearer Algebra viel zu viel vergessen hab, aber hier verstehe ich nicht, wo das Problem liegt? Was ist denn so schwer da dran, die lineare Abbildung aufzuschreiben, deren Darstellungsmatrix bezüglich der Standardbasen des IR^6 die Matrix diag(1,2,3,4,5,6) ist? Edit: Ach Quatsch, die hat ja nur reelle Eigenwerte -.- |
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| 01.07.2008, 13:50 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Darf die Abbildungsmatrix denn komplexe Einträge haben ? Wenn ja könnte man ja einfach eine Diagonalmatrix mit lauter i's in der Hauptdiagonalen nehmen... |
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| 01.07.2008, 14:46 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Und wenn nicht, wie wäre es dann mit den Blöcken auf der Diagonalen? 
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| 01.07.2008, 18:18 | aRo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
da steht zwar nix, was das verbietet, denke ich, aber die Aufgabe ist so nicht gemeint, da bin ich mir ziemlich sicher. @tigerbine: Hm...das verstehe ich nicht recht. Wie willst du die Blöcke denn auf der Diagonalen anbringen? So wie ich das verstehen würde, hat man je nach dem wie mans macht den Eigenwert 0 (Eigenwert 0 gibts doch, oder?) oder 1 (jeweils mehrfach). Und wie bist du drauf gekommen? |
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| 01.07.2008, 18:21 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Welche Eigenwerte hat denn meine kleine Blockmatrix?
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| 01.07.2008, 18:44 | aRo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ahja, gut, jetzt sehe, ich dass es funktioniert
Deine kleine Blockmatrix hat keine reellen Eigenwerte, und eben diese Matrix A hat mein oben vorgeschlagenes charak. Polynom. Ich hätte jetzt nur nicht so gesehen, dass das charak. Polynom von A dann die dritte Potenz vom charak. Polynom der kleinen Blockmatrix ist. Wieso genau ist das so? |
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| 01.07.2008, 18:46 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Weil die Determinante von einer Matrix mit diagonal angeordneten Blöcken das Produkt der Determinanten der Blöcke ist. |
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| 01.07.2008, 18:46 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Determinante von Blockmatrizen.
Die für das charakteristische Polynom hat ja auch Blöcke.
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| 01.07.2008, 19:01 | aRo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
mm..ok, ich glaube das haben wir nicht erwähnt, aber gefällt mir..
Nun ist noch die Frage, ob A irgendeine geometrische Interpretation hat? Ich mein, natürlich gibt es ein Schema, was A mit Vektoren macht, aber ist das irgendwas besonderes anschaulich gesehen? |
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| 01.07.2008, 19:27 | Tomtomtomtom | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ist halt die Frage, was du dir unter "geometrischer Interpretation" bei Vektoren im IR^6 noch vorstellen kannst. Theoretisch ist es in drei Paaren von je zwei Koordinaten eine Drehung um 90 Grad, die Diagonalblöcke sind ja alles Drehmatrizen. |
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