Herleitung des Vektorproduktes

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spiledon Auf diesen Beitrag antworten »
Herleitung des Vektorproduktes
Hallo liebe Freunde, ich hab eine sehr dringende Frage und darüber zerbrech ich mir eig auch den Kopf. Wir haben in der Schule gelernt, wie wir den Normalvektor durch den Kreuzprodukt den Kreuzprodukt berechnen. Aber es würde mich brennend interessieren wie man des ansonsten Herleiten kann. Deswegen habe ich mich mal bei unseren Lehrer schlau gemacht.Leider hab ich soviel verstanden, dass wenn man 2 vektoren hat ,zum Bespiel und und diese Vektoren senkrecht zum Normalvektor sind. Dann muss man den ersten Vektor mit dem Normalvektor multiplizieren und das gleiche auch mit dem zweiten vektor durchführen, also folgendermaßen:
1. Vektor:
*

2.Vektor:
*

Anschließend schreibt man einfach deren Skalarprodukt hin und mulitipliziert die beiden Gleichungen mit einer variable, so dass sie sozusagen den gleichen" Nenner" kommen und darauf subtrahiert man die erst von der zweiten Gleichung. Meine Frage ist jetzt wie es weiter geht, könnt ihr mir vl die nächsten schritte erklären?? Ich wär euch sehr dankbarBig Laugh Und sind meine vorrigen Schritte richtig? verwirrt Ich würde mich über eure baldige Antwort freuen!
Lg chris
David_pb Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, den Anfang hast du richtig verstanden. Du hast zwei linear unabhängige Vektoren und und du willst einen Vektor der zu beiden Vektoren orthogonal ist.

Es muss also gelten:



Damit kannst du ein Gleichungssystem aufstellen:



Wenn du dann nach x und y auflöst erhältst du:




Nun wählst du für .
spiledon Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Herleitung des Vektorproduktes
Hi icch habe schon unzählige Male jetzt nachgerechnet bei mir kommt immer wieder für raus. Ist die Lösung nun Falsch?

Kurze Zusammenfassung der Aufgabe: Ich will den Normalvektor von und berechnen (ohne den Keurzprodukt), also die Herleitung des Vektorproduktes...


Ich bin irgendwie verwirrt traurig Ich hoffe auf eure schnell Hilfe

Nochmals danke an alle die mir geholfen bzw. noch helfen smile

lg chris
Nubler Auf diesen Beitrag antworten »

da sin wahrscheinlich mehrere rechenfehler drin

post mal plz die rechnung, da keine einzige komponente stimmt
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du übrigens nur einen Normalenvektor berechnen willst, ist die Herleitung des Vektorproduktes gar nicht nötig. Wenn du jedes mal wieder den Gaußalgorithmus benutzt, kriegst du wenigstens mit etwas Geschick immer die "schönste" Lösung, nämlich mit ganzzahligen, teilerfremden Komponenten Augenzwinkern
spiledon Auf diesen Beitrag antworten »

Also meine Rechunng sieht folgenddermaßen aus ich hab zwei Gleichungen aufgestellt,
1. Vektor:


2.Vektor:
*
Ich schreibe es als Skalarprodukt.(*1)
Diese habe ich mit einer Koordinate des Vektors so multipliziert, dass ich eine Koordinate eleminier (zum Besipiel I.Gleichung und 2.Gleichung

Dannach habe ich die Gleichungen von einandere subtrahiert. Es kommt folgende Gleichung raus:

I'-II': . Ich subthrahier dann auf die andere Seite und teile durch

Dann habe ich fur

Ich setze dann mein n_1 in die I. Gleichung ein (*1). Dann löse ich nach n_3 auf.
Am ende Krieg ich dafür .

Soweit so gutBig Laugh undd n_2 = n_2 also lautetet mein Vektor Dann schreib ich es einfach als Skalarprodukt und multipliziere mutipliziere mit , damit die Brüche wegfallen und teile durch n_2

So habe ich als Lösung

 
 
spiledon Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Herleitung des Vektorproduktes
könnt ihr mir mindestens eure Lösung geben ,wenn ihr keine lust habt die Rechnung aufzuschreiben? traurig traurig ich will voll gern wissen was ich da falsch habe. Lg chris
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast die Rechnung unnötig kompliziert gestaltet und daher einige Vorzeichenfehler darin. Warum verfolgst du nicht den Weg von David_pb?

Richtig wäre



oder auch diesen Vektor mit umgekehrten Vorzeichen. Dann ist aber zu beachten, dass im zweiten Fall kein Kreuzprodukt*, sondern nur ein (möglicher) Normalvektor vorliegt.

*

mY+
msuperman Auf diesen Beitrag antworten »
Herleitung Vekrorprodukt
Kann mir vllt jemand die Herleitung von David_pb ausführlich erklären, ich versthe zwar das Verfahren, aber mir fehlen die Zwischenschritte

Danke im Voraus
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Was genau verstehst du nicht? Allzuviele Zwischenschritte gibt's hier nicht.

Das lGS hat drei Variablen und besteht aber nur aus zwei Gleichungen. Daher gibt es unendlich viele Lösungen, welche jedoch alle die Richtung des Normalvektors, dessen Länge eben variabel ist, angeben. Daher kann eine Variable - hier z - beliebig angenommen werden.

Damit nun das Kreuzprodukt (Vektorprodukt) eindeutig wird, hat man also noch zwei weitere Voraussetzungen zu treffen:

- Länge (ist zahlenmäßig gleich der Fläche des von den beiden Vektoren aufgspannten Parallelogrammes)
- Orientierung (sh. meinen vorigen Beitrag!)

mY+
msuperman Auf diesen Beitrag antworten »

Das vertsehe ich:



Wenn du dann nach x und y auflöst erhältst du:
hier fehlen mir die Zwischenschritte der Umformung, wäre sehr dankbar wenn man mir für dieses Beispiel hinschreiben könnte:



Das vertsehe ich wieder:

Nun wählst du für .
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Nimm als bekannt an und löse das System nach den beiden anderen Variablen x, y mittels des Eliminationsverfahrens.

Erste Gleichung mit , die zweite mit multiplizieren, beide Gleichungen addieren.
Damit scheidet die Variable aus und es steht eine Gleichung in da, woraus auszurechnen ist ( ist hier identisch mit x, mit z und mit y), bleibt stehen. Analog geht das mit (y) und fertig ist es.

mY+
msuperman Auf diesen Beitrag antworten »

ok alles klar, hab das etwas anders gemacht, komm aber auf das gleiche raus.

PS
Erste Gleichung mit , die zweite mit multiplizieren, beide Gleichungen addieren.

ich glaube es ist anders rum gemeint, sonst hätte man ja z. B. in der ersten Gleichung a^2, weiß aber was gemeint ist

nochmals Danke
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, richtig, ich hatte mich nur verschrieben ...

mY+
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