Frage zu Matrizen |
02.07.2008, 10:54 | x^2y^2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Frage zu Matrizen Kann mir zufällig jemand bei folgender Aufgabe helfen bzw. einen Denkanstoss geben? K ist ein beliebiger Körper und A ein Matrix aus M_n(K) (also quadratisch). Zeige: Für jedes A ist die transponierte Matrix (A)^t ähnlich zu A in M_n(K) Wie kann ich da nun ansetzen? Das A und ihre Transponierte die selbe Determinante haben ist ja schonmal klar, aber das bringt mich nicht weiter, oder? |
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03.07.2008, 08:55 | Romaxx | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo Zeige: Die Determinante ähnlicher Matrizen stimmen überein. Tipp: Und folgere daraus die Behauptung. Gruß |
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03.07.2008, 13:49 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ist mit Kenntnis des Determinantenmultiplikationssatzes trivial. Die Umkehrung stimmt aber nicht, und deshalb ist dein Tipp hier unpassend. MMn ist das Problem nicht trivialer Art. Ich habe zumindest noch keine Idee, wie man das zeigen könnte. |
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03.07.2008, 14:36 | x^2y^2 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hi, ist wirklich alles andere als trivial und läuft über die JNF. Habs mittlerweile hinbekommen (hoff ich zumindest mal), sind 2 Seiten Beweis... |
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03.07.2008, 14:38 | off | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sofern ihr als Körper die komplexen Zahlen betrachtet kannst Du dass über die Jordannnormalform beweisen. Und zwar zeigst Du das es invertierbare Matrizen M gibt mit helfen dabei wird dir die Eigenschaft das gilt. Dies funktioniert aber wirklich nur wenn Du komplexwertige Matrizen hast, und bereits weisst das es die Jordannormalform gibt. Für allgemeine Körper (insbesondere R) muss es keine Jordannormalform geben. |
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03.07.2008, 16:59 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Eben. Und deshalb ist die Aufgabe mithilfe der Jordannormalform nicht gelöst. Siehe auch http://www.onlinemathe.de/forum/Komplexe...-A-transponiert . |
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03.07.2008, 17:11 | Tomtomtomtom | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Frobenius-Normalform http://de.wikipedia.org/wiki/Frobenius-Normalform existiert immer, und der Satz über die Ähnlichkeit gilt da auch. Aber das wird wohl nochmal länger. Wirklich eine umständliche Aufgabe. |
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03.07.2008, 18:35 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hab da was gefunden: http://projecteuclid.org/DPubS/Repositor....pjm/1103039127 Das lustige ist dabei, dass ich beim Nachdenken über diese Aufgabe die Aussage von Theorem 1 vermutet habe. Natürlich hab ich es nicht beweisen können. |
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