Herleiten von Formeln ( Körperberechnung)

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10.04.2006, 21:23	Nastyk	Auf diesen Beitrag antworten »
Herleiten von Formeln ( Körperberechnung) hey ich muss eine Hausarbeit in Mathe schreiben und brauche dafür alle Herleitungen von Formeln vom Volumen und der Oberfläche des - Quaders - Würfel - Prisma - Zylinder - Kugel - Pyramide - Kegel kann mir da jdn weiterhelfen?
10.04.2006, 22:36	sommer87	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, welche Formeln hast du denn schon hergeleitet bzw kannst du herleiten? Fang doch mal an, deine Rechnungen und ggf auch deine Rechenversuche hier zu posten. Dann können wir dir weiterhelfen
10.04.2006, 22:52	as_string	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Herleiten von Fromeln ( Körperberechnung) Hallo! Aber vielleicht doch schon mal ein paar Tips: Für die ersten: - Quaders - Würfel - Prisma - Zylinder Brauchst Du für das Volumen die Formel: $\begin{eqnarray} V = A_g \cdot h \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} A_g \end{eqnarray}$ die Grundfläche sein soll und h die Höhe des Körpers. Für die Oberfläche hilft Dir vielleicht Dass die Mantelfläche plus zweimal die Grundfläche ist (Boden und Deckel) und die Mantelfläche ist der Umfang der Grundfläche mal die Höhe. Bei der Kugel ist das mit dem Herleiten nicht so einfach. Kann mir kaum vorstellen, dass Ihr das wirklich herleiten sollte. Ansonsten stehen die Formeln dafür sicher in jeder Formelsammlung. Bei den letzten beiden hilft Dir vielleicht für's Volumen die Formel: $\begin{eqnarray} V=\frac{1}{3}A_g\cdot h \end{eqnarray}$ Die Oberfläche ist etwas komplizierter, weil die Mantelfläche nicht so einfach ist. Nur als Tipp: Bei einer Pyramide sind das lauter Dreiecke und bei einem Kegel kannst Du die Fläche aufrollen und bekommst dann einen Kreisausschnitt. So, jetzt mußt Du aber mal selber probieren. Dir soll ja nicht alles vorgekaut werden, oder?!? Gruß Marco
11.04.2006, 09:48	Nastyk	Auf diesen Beitrag antworten »
hey schonmal danke! ich habe alle formeln nur ich muss zb bei dem quader sagen wie ich an das volumen ran komme d.h mit einheitswürfel füllen 1*1 cm und dann davon das volumen ausrechnen und die dann zusammen addieren, so hätt ich das volumen des quaders. Zb bei der kugel mit scheiben ausfüllen und dann daher das volumen herleiten. also vom qürfel quader und Kugel hab ich das schon.
11.04.2006, 09:51	incass	Auf diesen Beitrag antworten »
ich weiß, dass m,an sämtliche solcher formeln über die integralrechnung herleiten kann. wir haben das mal gemacht. leider hab ich die aufzeichnungen dazu nicht mehr. würd also mal in die richtung recherchieren
11.04.2006, 09:54	incass	Auf diesen Beitrag antworten »
schau mal auf folgender seite: http://www.mathematik-wissen.de/rauminha...en_integral.htm da sind die volumina aber nur mit konkreten zahlen berechnet worden. du müsstest es dann allgemein durchrechnen, um am ende auf die formeln zu kommen
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11.04.2006, 10:22	incass	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich mache dir das ganze für den Kegel mal vor: (klicke das BIld an, um es größer zu sehen ) Ein Kegel entsteht durch Rotation einer linearen Funktion. Wenn du dir das Bild anschaust, erkennst du, dass die Funktion so aussieht(mit r=r des Kegels und h der Höhe des Kegels) $\begin{eqnarray} l(x)= -\frac{r}{h}+r \end{eqnarray}$ Nun lassen wir diese Funktion um die x-Achse rotieren: $\begin{eqnarray} V=pi \int_{0}^{h}~(-\frac{r}{h}x+r)^2~dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =pi\int_{0}^{a}~\frac{r^2}{h^2}x^2- \frac{2r^2}{h}x+r^2)~dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = pi[\frac{r^2}{3h^2}x^3-\frac{r^2}{h}x^2+r^2x] \end{eqnarray}$ bedenke, dass hier noch die Integrationsgrenzen stehen, die ich nur nicht darstellen konnten. Erst jetzt werden sie eingesetzt: $\begin{eqnarray} =pi(\frac{r^2}{3}h-r^2h+r^2h) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\frac{1}{3}pir^2h \end{eqnarray}$
21.06.2006, 16:50	Mathewolf	Auf diesen Beitrag antworten »
Leider sind dir da einige Fehler unterlaufen. Hier die Berichtigung: Ein Kegel entsteht durch Rotation einer linearen Funktion. Wenn du dir das Bild anschaust, erkennst du, dass die Funktion so aussieht(mit r=r des Kegels und h der Höhe des Kegels) l(x)= -\frac{r}{h}x+r Nun lassen wir diese Funktion um die x-Achse rotieren: V=pi~\int_{0}^{h}~\left(-\frac{r}{h}x+r\right)^2~dx =pi~\int_{0}^{h}~\eft(\frac{r^2}{h^2}x^2- \frac{2r^2}{h}x+r^2\right)~dx = pi~\eft[\frac{r^2}{3h^2}x^3-\frac{r^2}{h}x^2+r^2x\right]_{0}^{h} bedenke, dass hier noch die Integrationsgrenzen stehen, die ich nur nicht darstellen konnten. Erst jetzt werden sie eingesetzt: =pi~\left(\frac{r^2}{3}h-r^2h+r^2h\right) =\frac{1}{3}~pi~r^2h
21.06.2006, 17:31	kikira	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist doch viel zu kompliziert, find ich: Ich lasse eine Gerade, die durch den Ursprung geht, herumrotieren. Ein Richtungsvektor der Geraden ist dann (h / r). Die Steigung der Gerade ist daher dann r/h. Daher: g: y = r/h * x Nun quadrieren, weil ich ja das Volumen will: y² = r²/h² * x² Und das integrier ich nun in den Grenzen von 0 bis h. V = pi * Integral von [ r²/h² * x²] dx V = r²/h² * pi * [x³/3] nun die Grenzen einsetzen: V= r²/h² * pi * [ h³/3] das ganze dann kürzen und man hat: V= r² * pi * h/3 lg kiki

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