offene Mengen

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Sunwater Auf diesen Beitrag antworten »
offene Mengen
Hi...

ich habe eine Aufgabe, bei der ich zeigen soll, dass eine nichtleere offene Teilmenge die Vereinigung von höchstens abzählbar vielen, paarweise disjunkten offenen Intervallen ist.

beim grübeln sind bei mir ein paar Fragen aufgetreten:

Kann man eine offene Menge im reelen in zwei offene disjunkte Intervalle zerlegen? Weil wenn beide Mengen offen sind gehört doch der Punkt an dem sie sich "berühren" nicht dazu, oder?

ich hätte jetzt folgendes gedacht:
Mengen mit nur einem Element sind ja immer abgeschlossen. Jetzt hab ich überlegt, ob ich die offenen Intervalle "durchnummeriere"... - ich ordne sie z.B. nach der Größe ihrer unteren Grenze ( überschneidet sich ja auch nicht, weil die Intervalle ja disjunkt sind ) und dann habe ich eine bijektive Abb. zu den natürlichen Zahlen, was bedeutet, dass ich in R höchstens abzählbar viele offene disjunkte Mengen finde, also kann ich auch jede Teilmenge von R höchstens in abzählbar viele offene disjunkte Mengen zerlegen... - die Frage ist, ob das so geht oder doch ein Haken an der Sache ist...?
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: offene Mengen
Zitat:
Kann man eine offene Menge im reelen in zwei offene disjunkte Intervalle zerlegen? Weil wenn beide Mengen offen sind gehört doch der Punkt an dem sie sich "berühren" nicht dazu, oder?


Ja, stimmt. Die Ausgangsmenge muss dabei zusammenhängend sein.

Mir fallen als Idee zu der Aufgabe zwei Sachen ein:

- die zusammenhängenden, offenen Mengen sind in R genau die offenen Intervalle

- jedes offene Intervall enthält mindestens eine rationale Zahl..., die rationalen Zahlen sind abzählbar

Grüße Abakus smile
AD Auf diesen Beitrag antworten »
RE: offene Mengen
Zitat:
Original von Sunwater
ob ich die offenen Intervalle "durchnummeriere"... - ich ordne sie z.B. nach der Größe ihrer unteren Grenze ( überschneidet sich ja auch nicht, weil die Intervalle ja disjunkt sind ) und dann habe ich eine bijektive Abb. zu den natürlichen Zahlen, was bedeutet, dass ich in R höchstens abzählbar viele offene disjunkte Mengen finde, also kann ich auch jede Teilmenge von R höchstens in abzählbar viele offene disjunkte Mengen zerlegen... - die Frage ist, ob das so geht oder doch ein Haken an der Sache ist...?

Im Prinzip ist das die richtige Idee, allerdings hast du noch einige Fehler drin:

1.) Du darfst nur offenen Intervalle mit Randpunkten aus einer abzählbaren Menge nehmen, die dicht in liegt. Dazu bietet sich z.B. die Menge der rationalen Zahlen an.

2.) Abzählen nach aufsteigender unterer Intervallgrenze kannst du diese Intervalle nicht. Allerdings: Warum auch? Ist nicht nötig.
Sunwater Auf diesen Beitrag antworten »

danke erstmal...

ok, dann würde ich die Mächtigkeit der offenen Intervalle eher so erklären, dass jedes offene Intervall eine rationale Zahl enthalten muss - nur kann man das auch beweisen oder ist das intuitiv?
Weil wenn ich jetzt für die Grenzen der offenen Intervalle nur rationale Zahlen zulassen ist ja klar, dass da rationale Zahlen dazwischen liegen, aber warum darf ich als Grenzen nicht die reellen Zahlen nehmen? - und liegt zwischen zwei reellen verschiedenen Zahlen eigentlich immer auch eine rationale Zahl - eher nicht oder?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Sunwater
aber warum darf ich als Grenzen nicht die reellen Zahlen nehmen?

Du darfst schon, aber was nützt dir das für den Beweis? Schließlich gibt es überabzählbar viele solche Intervalle. Und der Witz ist ja gerade, das auf abzählbar viele zu reduzieren.
Sunwater Auf diesen Beitrag antworten »

alles klar...

ich kann also nicht beweisen, dass es nur abzählbar viele offene disjunkte Intervalle im R gibt, weil es überabzählbar viele gibt. Aber ich kann zeigen, dass ich eine Menge genauso gut aus Intervallen zusammensetzen kann die rationale Grenzen haben, wie wenn ich sie aus Intervallen mit reellen Intervallen zusammensetze. Richtig?
 
 
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe Arthur im Moment auch nicht. Du willst nur rationale Zahlen als Randpunkte der besagten Intervalle zulassen? Wie soll das z.B. bei funktionieren?

Gruß MSS
Sunwater Auf diesen Beitrag antworten »

dann doch lieber den Ansatz, dass jedes offene Intervall mindestens eine rationale Zahl beinhaltet? - aber wie kann ich das beweisen?
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Sunwater,

lies dir vielleicht besser mal den Artikel http://de.wikipedia.org/wiki/Dicht_%28Mathematik%29 durch.


Gruß, therisen
AD Auf diesen Beitrag antworten »

@MSS & Sunwater

Ich habe den Beweis nur undeutlich in Erinnerung, aber es war ungefähr so:

Sei eine beliebige offene Menge in . Dann gibt es zu jedem Punkt eine Umgebung (= offenes Intervall) von , welche vollständig in liegt - einfach per Definition der Offenheit. Weiterhin gibt es dann wegen der Dichtheit der rationalen Zahlen innerhalb der reellen Zahlen sogar solch ein Intervall mit rationalen Endpunkten, nennen wir es , d.h., wir haben dann . Jetzt vereinigen wir über alle :



Also gilt , und der Witz an der Sache ist, dass die Vereinigung zwar formal überabzählbar ist, tatsächlich aber höchstens abzählbar viele verschiedene Mengen U in diese Vereinigung eingehen!!!

Ok, das war im wesentlichen die Grundidee, natürlich ist diese Vereinigung noch nicht disjunkt, da ist noch etwas Nacharbeit nötig.
Sunwater Auf diesen Beitrag antworten »

das macht Sinn - danke... - werd ich mal noch etwas drüber grübeln! verwirrt
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