Figuren (wer kann mir helfen?)

10.04.2006, 23:06	james200	Auf diesen Beitrag antworten »
Figuren (wer kann mir helfen?) Betrachten wir einmal irgendwelche Mengen von Punkten in der Ebene. Als "Durchmesser" einer solchen Menge definieren wir den größten Abstand zwischen zwei Punkten der Menge. Der Durchmesser einer Strecke ist also ihre Länge. Der Durchmesser eines Kreises ist sein Durchmesser, was ja klar ist. Jener einer Ellipse ist gleich die Länge der großen Achse, und der Durchmesser eines Quadrates ist die Länge seiner Diagonale. Man kann eine Strecke, ein Quadrat oder eine Ellipse mit Durchmesser 1 bequem und vollständig in einen Kreis mit Durchmesser 1 einbetten. Und nun die Frage: Geht das mit JEDER Figur, die Durchmesser 1 hat? Natürlich mit Begründung.
11.04.2006, 02:34	sqrt(2)	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit einem Dreieck mit den Seitenlängen $\begin{eqnarray} \left(1,\sqrt{\frac{29}{32}},\sqrt{\frac{5}{32}}\right) \end{eqnarray}$ geht es nicht.
11.04.2006, 03:15	Ace Piet	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Figuren (wer kann mir helfen?) > Geht das mit JEDER Figur NÖ. Zeichne einen Kreis mit D=1 und darein ein gleichschenklig, rechtwinkliges Dreieck. Dieses Dreieck A hat Katheten $\begin{eqnarray} a=b < 1 \end{eqnarray}$ und eine Hypothenuse $\begin{eqnarray} c=D=1 \end{eqnarray}$ und man hat $\begin{eqnarray} Diam~ A = \sup_{x,y \in A} \mid x-y \mid = 1 \end{eqnarray}$ . ... Jetzt "ziehst" Du an den ehemaligen Katheten, bis $\begin{eqnarray} a=b=1 \end{eqnarray}$ . Dieses neue Dreieck $\begin{eqnarray} \triangle \end{eqnarray}$ ist gleichseitig mit Seitenlängen $\begin{eqnarray} a=b=c=1 \end{eqnarray}$ und hat (nach Deiner Def.) immer noch $\begin{eqnarray} Diam~ \triangle = \sup_{x,y \in \triangle} \mid x-y \mid = 1 \end{eqnarray}$ . Die Spitze, die jetzt aus dem Kreis ragt, kann man auch noch deformieren, sodaß das neue Teil B weiterhin herausragt, aber $\begin{eqnarray} Diam~ B = 1 \end{eqnarray}$ bleibt. - Es gibt also einige "NÖ-Figuren"...
11.04.2006, 10:17	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Genaugenommen ist jedes spitzwinklige Dreieck ein passendes Gegenbeispiel: Der Durchmesser eines jeden Dreiecks ist seine längste Seite (o.B.d.A. $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ ), und beim spitzwinkligen Dreieck ist überdies der Umkreis der kleinste Kreis, wo das Dreieck vollständig hineinpasst (ist sicher noch zu begründen; bei stumpfwinkligen Dreiecken stimmt das übrigens nicht!). Nun gilt wegen der Spitzwinkligkeit aber für den Umkreisdurchmesser $\begin{eqnarray} d = \frac{c}{\sin\gamma} > c \end{eqnarray}$ , Widerspruch. Interessant ist die Frage nach dem maximal möglichen Faktor $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ zwischen Umkreisdurchmesser $\begin{eqnarray} d \end{eqnarray}$ des kleinsten Umfassungskreises und Durchmesser $\begin{eqnarray} D \end{eqnarray}$ der beschränkten Figur $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ , also im Sinne $\begin{eqnarray} \lambda := \sup_G\frac{d(G)}{D(G)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 1<\lambda\leq 2 \end{eqnarray}$ ist sofort klar, aber vielleicht kann man das auch ganz schnell exakt bestimmen. Hat sich bestimmt schon mal irgendwer drüber Gedanken gemacht, ich jedenfalls bisher nicht.
11.04.2006, 14:48	Ace Piet	Auf diesen Beitrag antworten »
@Arthur Denke bitte mal die Geschichte mit dem gleichseitigen Dreieck $\begin{eqnarray} \triangle_0 \end{eqnarray}$ (a=b=c=1) weiter... Ist es das umfangreichste(!) mit der Eigenschaft $\begin{eqnarray} Diam \triangle_0 = 1 \end{eqnarray}$ ? - NÖ. Wenn Du um jeden Punkt einen Kreis mit r=1 schlägst, entsteht ein "ausgebeultes" Dreieck (3-blättriges Kleeblatt) $\begin{eqnarray} \triangle_1 \supset \triangle_0 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} Diam \triangle_1 = 1 \end{eqnarray}$ und Umfang $\begin{eqnarray} U(\triangle_1) = \pi \end{eqnarray}$ . - Dieses ist maximal (nach Konstruktion) bzgl. der Eigenschaft: Jeder Punkt $\begin{eqnarray} x \not\in \triangle_1 \end{eqnarray}$ findet ein $\begin{eqnarray} t \in \triangle_1 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} d(x,t) > 1 \end{eqnarray}$ . Bleibt diese Figur die einzige mit den gen. Eigenschaften? - NÖ! - Diese Ausbeulübung, die $\begin{eqnarray} Diag ~=1 \end{eqnarray}$ erhält und einen Umfang von $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ hat, kann ich auch mit 4 und mehr Punkten wiederholen. Ich denke, man kann es mengenalgraisch geschickter ausformulieren und erhält auch im $\begin{eqnarray} \mathbb R^n \end{eqnarray}$ die Aussage: Mengen / Figuren mit $\begin{eqnarray} Diag ~=1 \end{eqnarray}$ sind genau die mit "Oberfläche" (Hyperflächeninhalt) $\begin{eqnarray} = \pi \end{eqnarray}$ und maximal i.S. einer Seifenblase (jegliche Vergrößerung zertört obige Eigenschaften). (OT) In wirklichkeit habe ich auch an Seifenblasen und ein max. Potential $\begin{eqnarray} = \pi \end{eqnarray}$ für die Oberflächenspannung gedacht (minimal surfaces)... Mit diesen max. Figuren sollte Dein $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ auch noch rausspringen. _________________ Edit: Ich denke an $\begin{eqnarray} \lambda = \frac{2}{3} \sqrt{3} \end{eqnarray}$

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »