Abstand windschiefer Geraden

04.07.2008, 14:28	hüpfer	Auf diesen Beitrag antworten »
Abstand windschiefer Geraden Hallo! ich habe ein Problem, ich brauche für eine Mathe GFS 4 Möglichkeiten den Abstand windschiefer Geraden zu berechnen. 3 hab ich schon: 1. Ermittlung über Abstand paralleler Ebenen 2. Ermittlung über Abstand Punkt-Ebene 3. Ermittlung über 2 freie Punkte,deren Verbindungsvektor orthogonal zu den Richtungsverktoren der Geraden ist ich brauch jetzt nur noch die 4. und ich weiß nicht, was man sonst noch anstellen könnte.... ich hab mir schon überlegt mit Hilfe des Extremwerts zwischen 2 Punkten, aber ich bekomme eine Funtion mit 2 Variablen, die ich nach beiden ableiten müsste und soweit fortgeschritten bin ich nicht.... es wär toll, wenn mir da jemand weiter helfen kann, es ist relativ dringend und wichtig für mich hüpfer
04.07.2008, 14:44	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Idee ist doch gar nicht so schlecht. Man kann den Abstand eines beliebigen Punktes der einen Gerade (und der hängt dann nur von einem Parameter ab) zur anderen Gerade berechnen und diesen minimieren.
04.07.2008, 16:02	hüpfer	Auf diesen Beitrag antworten »
abstand windschiefer geraden Dazu muss ich mich auf der Geraden aber auf einen Punkt festlegen, von dem aus ich die Entfernung berechne, und damit ist ja nicht gewährleistet, dass ich so auf die beiden Punkte beider Geraden komme, die die geringste Entfernung haben. Danke aber trotzdem für deine Mühe... Ich glaube aber, dass ich das irgendwie mit einer Differentialgleichung lösen muss...ich weiß nur noch nicht genau wie. falls jemand dazu noch eine Anregung oder Idee hat, wäre mir das sehr willkommen.... Danke schon mal im Voraus
04.07.2008, 16:44	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn dir diese Methode nicht gefällt, dann eben eine andere: Gegeben seien zwei windschiefe Geraden: $\begin{eqnarray} g: \vec{x} = \vec{p}+r\vec{u} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} h: \vec{x} = \vec{q}+s\vec{v} \end{eqnarray}$ Zunächst bestimmt man $\begin{eqnarray} \vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} \end{eqnarray}$ Es existieren Zahlen $\begin{eqnarray} r,s,t \end{eqnarray}$ sodass gilt: $\begin{eqnarray} r \cdot \vec{n} = \vec{p}+t\vec{u} - (\vec{q}+s\vec{v}) \end{eqnarray}$ Dann gilt aber auch: $\begin{eqnarray} (r \cdot \vec{n})(r \cdot \vec{n}) = (\vec{p}+t\vec{u} - (\vec{q}+s\vec{v}))(r \cdot \vec{n}) \end{eqnarray}$ Wegen $\begin{eqnarray} \vec{n} \vec{u} = 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec{n} \vec{v} = 0 \end{eqnarray}$ kann man so weitermachen: $\begin{eqnarray} r^2 \vec{n}^2 = r(\vec{p}-\vec{q})\vec{n} \Longleftrightarrow r \vec{n}^2 = (\vec{p}-\vec{q})\vec{n} \end{eqnarray}$ So berechnet man r und $\begin{eqnarray} \|r\vec{n}\| \end{eqnarray}$ ist dann der gesuchte Abstand. r kann übrigens nie 0 sein, denn dann wäre p-q l.a. zu u und v, die Geraden würden sich also schneiden.
04.07.2008, 17:19	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Hier nochmal die Methode mithilfe der Analysis: $\begin{eqnarray} g: \vec{x} = \vec{p}+r\vec{u} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} h: \vec{x} = \vec{q}+s\vec{v} \end{eqnarray}$ Man stellt die Ebene E auf, welche senkrecht zu g verläuft und durch einen beliebigen Punkt von h verläuft: $\begin{eqnarray} E: \vec{u}(\vec{x}-\vec{q}-s\vec{v})=0 \end{eqnarray}$ Nun schneidet man E mit g: $\begin{eqnarray} \vec{u}(\vec{p}+r\vec{u}-\vec{q}-s\vec{v})=0 \Longleftrightarrow r = \frac{\vec{u}(\vec{q}+s\vec{v}-\vec{p})}{\vec{u}^2} \end{eqnarray}$ Einsetzen von r in g bringt den Ortsvektor $\begin{eqnarray} \vec{a} \end{eqnarray}$ des Lotfußpunktes: $\begin{eqnarray} \vec{a} = \vec{p} + \frac{\vec{u}(\vec{q}+s\vec{v}-\vec{p})}{\vec{u}^2} \cdot \vec{u} \end{eqnarray}$ Nun gilt $\begin{eqnarray} d(s) =\|\vec{a}-\vec{q}-s\vec{v}\| \end{eqnarray}$ Man betrachtet $\begin{eqnarray} d^2(s) = (\vec{a}-\vec{q}-s\vec{v})^2 \end{eqnarray}$ und minimiert diese quadratische Funktion. Ich sehe keinen Grund warum das nicht klappen sollte. Ist zwar sehr aufwendig, aber das ist nicht verwunderlich, wenn man schon 3 Methoden kennt und sich dann noch unbedingt eine vierte aus dem Finger saugen will.
04.07.2008, 19:49	hüpfer	Auf diesen Beitrag antworten »
wow, super danke! jetzt bin ich rundum informiert! das Problem mit dem 4. weg hab ich aber nur, weil mein Lehrer darauf besteht, dass ich ihm 4 Wege präsentiere....ich wär mit 3 längst zufrieden. Aber das ist echt gut, und das allerbeste: ich habs geblickt. Ich glaub, ich hab dich vorher nur falsch verstanden, ich hab nicht gewusst, dass du dass mit ner Hilfsebene machst. Tut mir leid. Jetzt muss ich nur noch meine schriftlich Ausarbeitung schreiben. Vielen Dank auf jeden Fall!
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04.07.2008, 20:17	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Freut mich, dass ich dir helfen konnte Viel Glück bei deiner GFS (was auch immer das ist, in Rheinland-Pfalz gibts das nicht )

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