Fragen zur Geometrie

Neue Frage »

Wissenscoder Auf diesen Beitrag antworten »
Fragen zur Geometrie
Guten Tag! Willkommen
Ich bin gerade am lernen und habe einige Fragen bezüglich der Geometrie:

1) Besondere Lage von Ebenen:

Ich habe eine Ebene in Koordinatenform: E:x1=0
Die besondere Lage ist, dass die x2x3-Ebene ein Teil davon ist. Wie muss ich mir das graphisch vorstellen?

2) Mittelpunktbestimmung:

Wie bestimme ich den Mittelpunkt von 2 Punkten, z.b. A(1/1/1) und B(2/0/1)?

3) Gegenseitige Lage von Ebene/Grade:

Wieso kann ich die lineare Abhängigkeit prüfen, wenn ich den Richtungsvektor der Geraden mit den Spannvektoren der Ebene gleichsetze. Ich erhalte z.B.: s=4, r=2 und s=4....wieso sind diese dann linear abhängig und die Ebene parallel zur Geraden?

4) Parallele Ebene:

Ich habe folgende Ebene:
E: x=(3/-2/1)+r*(-1/3/0)+s*(1/0/3)

Wieso genügt folgendes zu ändern, damit es eine parallele Ebene ist:
E: x=(3/-1/1)+r*(-1/3/0)+s*(1/0/3)

5) ....:

Die Frage ist mir etwas peinlich, aber wieso sind:
1/3*(r-h)^3=1/3*r^3+r^2*h-r*h^2+1/3*h^3 ?


Vielen Dank an alle im Vorraus Lehrer
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fragen zur Geometrie
Zitat:
Original von Wissenscoder
Guten Tag! Willkommen

huhu auch dir smile

Zitat:
1) Besondere Lage von Ebenen:

Ich habe eine Ebene in Koordinatenform: E:x1=0
Die besondere Lage ist, dass die x2x3-Ebene ein Teil davon ist. Wie muss ich mir das graphisch vorstellen?

es gibt nur eine Ebene, die die x2x3-Ebene enthält; es ist GENAU eben diese x2x3-Ebene, nicht mehr, nicht weniger

Zitat:
2) Mittelpunktbestimmung:

Wie bestimme ich den Mittelpunkt von 2 Punkten, z.b. A(1/1/1) und B(2/0/1)?

sollte mit einer guten Skizze schon klar werden
seien a,b die zugehörigen Orstvektoren zu A,B
dann findest du zunächst den MP von A und B, indem du an A den halben Vektor AB anhängst (!)
in Vektorschreibweise ist der Vektor von A nach B gerade b-a; also 1/2(b-a)+a=....


Zitat:

3) Gegenseitige Lage von Ebene/Grade:

Wieso kann ich die lineare Abhängigkeit prüfen, wenn ich den Richtungsvektor der Geraden mit den Spannvektoren der Ebene gleichsetze. Ich erhalte z.B.: s=4, r=2 und s=4....wieso sind diese dann linear abhängig und die Ebene parallel zur Geraden?

für parallele (oder sogar identische Geraden) muss der Richtungsvektor der Geraden parallel zur Ebene liegen, d.h. eben gerade l.a. zu den beiden Spannvektoren sein.
Was ist s, was ist r?



Zitat:
4) Parallele Ebene:

Ich habe folgende Ebene:
E: x=(3/-2/1)+r*(-1/3/0)+s*(1/0/3)

Wieso genügt folgendes zu ändern, damit es eine parallele Ebene ist:
E: x=(3/-1/1)+r*(-1/3/0)+s*(1/0/3)

gleiche Spannvektoren, parallel
wenn dann noch einen Punkt gemein, dann sogar identisch
hier tritt schon mal MINDESTENS Fall 1 ein

Zitat:
5) ....:

Die Frage ist mir etwas peinlich, aber wieso sind:
1/3*(r-h)^3=1/3*r^3+r^2*h-r*h^2+1/3*h^3 ?

ausmulitplizieren Augenzwinkern
wenn du es kennst über das Pascalsche Dreieck, sonst stur jedes mit jedem usf.
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fragen zur Geometrie
zu 1) das IST die x2x3-ebene! nicht nur ein teil davon, geometrisch heißt das: die x1- koordinate = (immer) 0.
2) (A + B)/2
zum rest später
werner
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fragen zur Geometrie
Zitat:
Original von wernerrin
2) (A + B)/2

Werner, Werner, addieren wir heute wieder Punkte? Wink
Poff Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fragen zur Geometrie
E: x=(3/-2/1)+r*(-1/3/0)+s*(1/0/3)


Alle Ebenen der Form

X= A + r*(-1/3/0)+s*(1/0/3)

mit beliebigem Punkt A aus R3, sind parallel zu E

r*(-1/3/0)+s*(1/0/3)
dieses Gebilde bestimmt die Richtungslage der Ebene und der
Aufpunkt pickt dann eine spezielle davon raus.



Ich habe eine Ebene in Koordinatenform: E:x1=0

Alle Punkte der Ebenen haben die Form (0,y,z) und das ist nichts
anderes als die y-z Ebene selbst.
Eine Ebene mit nur Punkten der Form (-3,y,z) ist dann eine
um 3 Einheiten 'nach links' (zu x=-3) parallel verschobene y-z Ebene.



Loed, Punkte sind Vektoren
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fragen zur Geometrie
Zitat:
Original von Poff
Loed, Punkte sind Vektoren

Wenn man das in der Schule so handhabt, dann wüsste ich aber mal gerne, was die ganze Sache mit der Definition der Ortsvektoren und der Unterscheidung von "" und "", die ich damals gelernt habe soll.

Das wäre dann meines Erachtens unnötig......
Aber sicher irre ich mich, erziehungstechnisch unerfahren wie ich bin, wieder völlig.

Verzeih mir Welt!
 
 
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

zu 1)

Diese Ebene entspricht halt der x2-x3-Ebene, da für jeden Punkt dieser Ebene auf jeden Fall x1=0 gelten muss, man quasi nicht in Richtung der x1-Achse im dreidimensionalen Raum geht und somit nur die x2 und x3 Koordinaten beachtet.

zu 2)

Bilde aus den zwei gegebenen Punkten einen Vektor und nenne den Mittelpunkt beispielsweise M. Um die Koordinaten des Mittelpunktes M zu erhalten, zeichnest du den Ortsvektor ein und guckst, wie du sonst vom Ursprung O über A (oder B) nach M kommst und zeichnest diese Vektoren ein.
Dadurch erhälst du den Ortsvektor , dessen einzelne Komponenten wieder den Koordinaten des Mittelpunktes M entsprechen.

zu 3)

Eine Ebene und eine Gerade sind genau dann parallel zueinander, wenn die zwei Richtungsvektoren der Ebene und der Richtungsvektor der Geraden linear abhängig sind. Normalerweise untersucht man lineare Abhängigkeit immer durch ein LGS (bzw. Zeilenstufenform einer Matrix), indem man prüft, ob der Nullvektor auch nicht-trivial darstellbar ist. Das wäre hier genau dann der Fall, wenn das LGS mindestens eine Lösung besitzt. In der Matrix müsste dann irgendwo eine Nullzeile entstehen.

Wenn man speziell drei Vektoren auf lineare Abhängigkeit überprüft, kann man auch untersuchen, ob ein Vektor (bei dir also der Richtungsvektor der Geraden) durch eine Linearkombination der beiden anderen Vektoren (hier die beiden Richtungsvektoren der Ebene) darstellbar ist. Wenn es also eine reelle Zahl für die beiden Parameter r und s gibt, so dass gilt:

, dann sind diese 3 Vektoren linear abhängig.

zu 4)

Solange man nichts an den Richtungsvektoren verändert und nur Koordinaten des Stützvektors der Ebene verändert, wird immer eine echt parallele oder identische Ebene entstehen.
(Ein Vielfaches der einzelnen Richtungsvektoren macht auch keinen Unterschied bzgl. der Parallelität)

zu 5)

...

Ich hoffe, das hilft dir etwas weiter.
Wenn noch Fragen sind, melde dich einfach.

Gruß Björn
Wissenscoder Auf diesen Beitrag antworten »

hi!
So habe eure Antworten gerade mal so grob überflogen und scheinen mir auch schlüssig zu sein. Lese sie mir nochmal genauer durch.
Die 5. Frage ist logisch...hätte ich mir auch denken können. Aber kam irgendwie nit drauf LOL Hammer

Vielen Dank an alleAugenzwinkern Gott
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fragen zur Geometrie
Zitat:
Original von LOED
Zitat:
Original von wernerrin
2) (A + B)/2

Werner, Werner, addieren wir heute wieder Punkte? Wink


hallo jochen,
ich weiß ja, dass du aufpaßt.
ist halt die abgekürzte variante für faufpelze wie mich.
also schnauf: sei M der mittelpunkt der strecke AB, dann gilt

oder

und analoges für y_M


werner
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Da war der LOED wohl etwas beckmesserisch Augenzwinkern . Auf der anderen Seite vereinfacht Poff allzu sehr. Denn wenn er recht hätte und Punkte Vektoren wären, dann müßte er mir doch in der folgenden Zeichnung lässig die Summe einzeichnen können ...
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

Na ja, hier hast den Relativpunkt 'rausgenommen' da ist das nicht
mehr (ein)deutig. (Problem nicht erklärter Regeln mal außen vor)

So war das auch nicht zu verstehen.
In der gegebenen Umgebung eines kartesischen Koordinatenraums
stellt das kein Problem dar. Jedenfalls sehe ich keins.
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Trotzdem frage ich mich gerade (und das ernsthaft!), warum tatsächlich jemals von "Ortsvektoren" gesprochen wurde.
So recht den Unterschied zwischen Punkten und Vektoren haben wir damals nicht erkannt und dass man z.B. eine Gerade in der Form ...=AufPUNKT+k*Richtungsvektor angeben kann und mit diesem "+", ("Anhängen" eines Vektors aus dem Richtungsraum an einen Punkt, Translation (Addition Punkt Vektor) im Punktraum hieß das bei uns in LA2 glaube ich, oder ähnlich, verzeiht mein schlechtes Begriffsgedächtnis) die Punktmenge der Gerade bekommt, aber auch in der Form x=Stützvektor+k*Richtungsvektor die Menge aller Ortsvektoren (hier "+" als Vektorraumaddition) angeben kann war eigentlich auch nicht irgendwie weiter wichtig für uns..... da wurde tatsächlich nicht groß Wert auf den Unterschied gelegt.....

Oft sieht man dann die Schreibweise (1/2/3) [Zeilenvektor] für Punkte, (1/2/3)^t [Spaltenvektor, verzeiht mir die Schreibweise] für Vektoren.
Vektoren werden eingeführt als "Menge aller Pfeile" mit blabla kennt jeder.....

Also fallen mir genug Stellen ein, an denen knallhart Vektoren von Punkten distanziert wurden und in der Schule kamen IMMER die Pfeile über alles, was Vektor war.......

Ich wollte (und will!) hier wirklich keinem zu nahe treten, aber irgendwie sehe ich das gerade als sehr inkonsequent an.......

Liebgruß, Jochen



PS: Unterscheidest du zwischen Betrag eines Vektors und Abstand eines Punktes vom Ursprung (was ja rechentechnisch auch völlig analog verläuft)?

PPS: ich war WAS?
beckmesserisch, das ist süß, kenne ich aber nicht
darf ich das als Beleidigung auffassen? Augenzwinkern wenn ja: heeee!
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke da wird unterschieden, damit der gemeine Schüler etwa beim Richtungsvektor auch weiß, dass dieser an der Spitze des Stützvektors "anfängt" und nicht im Ursprung.

Ich denke Punkte mit Ortsvektoren gleichzusetzen ist ok (ob ich als Zeile oder Spalte schreibe ist kein struktureller Unterschied), mit "allgemeinen" Vektoren nicht. Leopold hat ja schon aufgezeigt, dass das Ganze nur Sinn macht, wenn ein fester Nullpunkt gegeben ist.

Gruß vom Ben
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

@hallo jochen:
leopolds lieblingskomponist - noch vor a.b.- ist wagner! und siehe da!
(daher wohl der diminutiv :teufelsmile
werner
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für Link und Meinung, Werner, Ben

Zitat:
Beckmesser, der; -s, - /Name des Schreibers in Richard Wagners Oper 'Die Meistersinger von Nürnberg'; bildl./ abwertend kleinlicher Kritiker, der keinen Blick für das Ganze hat

dann will ich das SO aber nicht so stehenlassen:

Zitat:
meine Version:
Beckmesser, der; -s, - /Name des Schreibers in Richard Wagners Oper 'Die Meistersinger von Nürnberg'; bildl./ abwertend kleinlicher Kritiker, der keinen Blick für das Ganze hat, aber trotzdem weiterhin seinen Senf zu gibt

... und über dessen Meinung sich vielleicht wenigstens ein paar ganz klein wenige freuen.

Aber mir gefällt das, auch wenn's abwertend ist, was natürlich ans LOEDsche Herz geht.
=> neuer Benutzertitel fürs erste.
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ben Sisko
Ich denke da wird unterschieden, damit der gemeine Schüler etwa beim Richtungsvektor auch weiß, dass dieser an der Spitze des Stützvektors "anfängt" und nicht im Ursprung.

Ich denke Punkte mit Ortsvektoren gleichzusetzen ist ok (ob ich als Zeile oder Spalte schreibe ist kein struktureller Unterschied), mit "allgemeinen" Vektoren nicht



kommt darauf an wie du das nun gemeint hast 'mit "allgemeinen"
Vektoren nicht'. Es braucht in der HIER vorhandenen Umgebung
jedenfalls keine Unterscheidung zw. Ortsvektoren,
Richtungsvektoren, Vektoren, Punkten. So braucht es auch nicht
den Zusatz 'Punkte mit Ortsvektoren ist ok', sondern

'Punkte' mit Vektoren ist ok, weil es den anderen Krams nicht gibt.


g: X = A + t*R

hier braucht es nicht A als Ortsvektor und R als Richtungsvektor,
sondern beide als (Orts)vektor, BESSER Vektor oder eben
'kartesischen Punkt', der eben DER Vektor ist, ist ok.
Problematisch wird das nur wenn du den 'Punkt' aus der Umgebung
herauslöst, dann hat er die nötigen Eigenschaften nicht mehr zu
bieten, die nötig wären um ...


sieh auch mal hier rein.
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

ich zitiere aus dem Link:

Zitat:
Original von Gilgamesch
... in den üblichen R^n mit den spezialfällen n=2 oder n=3 sind dieses tatsächlich die einzelnen Punkte die sich als tupel (x1,...,xn) schreiben lassen ... damit wird klar dass zwei vektoren für beliebiges n immer kollinear drei immer komplanar sind

und mir wurde in der Schule klipp und klar das von Jama im anderen Thread angewiesene "3 Vektoren dann linear abh., wenn sie komplanar sind", was unserer Pfeilvorstellung entsprochen hat.
Die Punktvorstellung legt diese Aussage ad acta und vor allem steht damit Gilgameshs Aussage irgendwie falsch im Raum.

Sind Vektoren=Punkte, dann reicht 3 Punkte liegen in einer Ebene nicht mehr, sondern dann muss da schon Urpsrungsebene her.
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Poff
Es braucht in der HIER vorhandenen Umgebung
jedenfalls keine Unterscheidung zw. Ortsvektoren,
Richtungsvektoren, Vektoren, Punkten. So braucht es auch nicht
den Zusatz 'Punkte mit Ortsvektoren ist ok', sondern

'Punkte' mit Vektoren ist ok, weil es den anderen Krams nicht gibt.


Zumindest aus didaktischen Gründen gehört da imho unterschieden, da Ortsvektor eben "am Nullpunkt festgetackert" und der Vektor per se nur Richtung angibt. Wenn ich einen davon im hinzeichne, ist er nur Repräsentant.

Der Richtungsvektor R in deiner Gerade ist daher meiner Auffassung nach nicht dasselbe wie der entsprechende Ortsvektor.
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ben Sisko
Der Richtungsvektor R in deiner Gerade ist daher meiner Auffassung nach nicht dasselbe wie der entsprechende Ortsvektor.


Ist nicht derselbe mag vielleicht stimmen, aber er FUNKTIONIERT
wie derselbe.

g: X = A + t*R
g: OX = OA + t*OR
g: (X-0) = (A-0) + t*(R-0)

hat die gleiche Wirkung ...
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Poff
Ist nicht derselbe mag vielleicht stimmen, aber er FUNKTIONIERT
wie derselbe.


Rechnerisch sieht man es dem Vektor ja auch nicht an, ob er als Ortsvektor gemeint ist oder nicht...
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fragen zur Geometrie
Zitat:
Original von Wissenscoder
...
Vielen Dank an alle im Vorraus Lehrer


unglücklich
-- JOKE begin --
Und ich möchte hier (OT) den Vorschlag machen, in Hinkunft beim Wort

VORAUS

künftig auch die Version

VORRAUS

(im Sinne der NDR) zuzulassen, denn 98% aller Menschen schreiben das mit Doppel-RR und scheinen nicht zu begreifen, dass dies von VOR - AUS abzuleiten ist.

Schön wäre auch HERREIN, statt herein.
traurig
-- JOKE end --

Lehrer
mY+
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »