x^x integrieren.... ??

12.04.2006, 18:40

system-agent

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x^x integrieren.... ??

solly zämme,

hier hab ich mir ein integral gebastelt, aber ich sehe im moment keine möglichkeit das vernüftig zu integrieren (substitution hab ich nicht hinbekommen...)

$\begin{eqnarray*} \int~x^x~dx = \int~e^{x \cdot \ln{x}}~dx \end{eqnarray*}$

vielleicht hat jemand einen guten tipp?

gruß, system-agent

12.04.2006, 18:44

Trazom

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Vom Gefühl her würde ich sagen, das kann man gepflegt vergessen.

http://integrals.wolfram.com

12.04.2006, 18:50

MAX-NEUSS

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x^x integriert ist das integral von x^(x*ln(e))

12.04.2006, 19:07

system-agent

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also gar keine chance?

12.04.2006, 19:09

JochenX

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wenn Mathematika nichts (nicht mal was "komisches", wie bei sonstigen Integralen oft!) bekannt ist, glaube ich kaum, dass wir hier etwas finden werden.

Augenzwinkern

Augenzwinkern

wie hast du das denn "gebastelt", hats dazu einen Hintergrund?
Oder einfach gedacht "ochja, fein, das mach ich mal?"

12.04.2006, 19:12

system-agent

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naja, ein lehrer wollte uns mal mit der ableitung schocken und ich hab die hingeschrieben und wollt mich eben dann um die integration kümmern, aber wie gesagt, wirklich weit bin ich da nicht gekommen...

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12.04.2006, 19:14

JochenX

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dann also eher der zweiten Sorte
dann schlage ich vor, wir trauen Mathematika und dem zugehörigen Onlineintegrator und legen das bei Seite smile

smile

Mit der Ableitung konnte er natürlich einen wahren Matheboardler nicht schocken Freude

Freude

13.04.2006, 01:36

Lazarus

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Wenn du zuviel Zeit und Lust hast kannste mit Potenzreihen drauf losballern:
$\begin{eqnarray*} \text{Seien }a;b \in \mathbb R^+ \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} &\int\limits_a^b&~x^x ~\mathrm dx\\ =&\int\limits_a^b&~\sum\limits_{\nu=0}^\infty \frac{1}{\nu!}x^\nu\cdot\left(\ln\left(x\right)\right)^\nu \\\approx&\int\limits_a^b&~\left[ 1+x\ln \left( x \right) +\frac{1}{2}\, \left( \ln \left( x \right) \right)^{2}{x}^{2}+\frac{1}{6}\, \left( \ln \left( x \right) \right) ^{3}{x}^{3}+\frac{1}{24}\, \left( \ln \left( x \right) \right) ^{4}{x}^{4}+{\frac {1}{120}}\, \left( \ln \left( x \right) \right) ^{5}{x}^{5}\right]~\mathrm dx\\\ \end{eqnarray*}$

Ich denk für ne grobe Annäherung reicht bis zum 5ten Glied oder ?

13.04.2006, 08:49

system-agent

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danke lazarus, ich hatte mich nur gefragt, vielleicht gibts eine möglichkeit das ding so zu integrieren, denn bei der potenzreihe macht das ja eigentlich nur sinn, wenn ich das integral konkret ausrechnen will...

gruß, system-agent

13.04.2006, 08:50

Trazom

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Da x^x extrem wächst, reicht das wahrscheinlich auch nicht lange. Die Anwendung dieser Funktion ist mir auch schleierhaft, also physikalisch z.B.

13.04.2006, 09:06

system-agent

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Zitat:

Original von Trazom
Die Anwendung dieser Funktion ist mir auch schleierhaft, also physikalisch z.B.

aber physikalisch gesehen, brigen dir doch jede menge funktionen nichts, die sich manche leute zusammenbasteln. zb. sehe ich für diese funktion
$\begin{eqnarray*} f(x)=x^{x^{x^{x...}}} \end{eqnarray*}$
nicht wirklich einen nutzen, und trotzdem wurde hier schon mehrfach über diese funktion diskutiert.... Big Laugh

Big Laugh

gruß, system-agent

13.04.2006, 10:39

Frooke

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Ich bekenne mich schuldig! smile

smile

Aber zu x^x... Es gibt definitiv keine analytische Stammfunktion dazu (ich hab das auch schon gefragt!)... Ich denke sogar, dass das für alle Tetrationen >2 gilt... (und nicht unendlich...)

13.04.2006, 10:52

aRo

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auch Derive versagt, ich glaube das kann man vergessen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Für die Ableitung kommt raus $\begin{eqnarray*} f'(x) = x^x \cdot (\ln(x)+1) \end{eqnarray*}$ nicht?

aRo

13.04.2006, 16:20

Gust

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Äh: ernsthaft: is das banal oder falsch? Wenn ja, warum?

$\begin{eqnarray*} \int_a^b{x^x}dx = \int_a^b{ln{e^{x^x}}}dx = [e^{x^x}\cdot ln{e^{x^x}} - e^{x^x}]_a^b = [x^x \cdot e^{x^x} - e^{x^x}]_a^b = [e^{x^x} \cdot (x^x -1)]_a^b \end{eqnarray*}$

jedenfalls so viel ist sicher:
$\begin{eqnarray*} \int_0^b{x^x}dx \end{eqnarray*}$ geht schnell gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ verwirrt

verwirrt

13.04.2006, 16:58

Lazarus

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Es ist ganz einfach Falsch, denn

$\begin{eqnarray*} \frac{\mathrm d}{\mathrm dx} e^{x^x}\cdot\left(x^x-1\right)={e^{{x}^{x}}}{x}^{2\,x} \left( \ln \left( x \right) +1 \right) \neq x^x \end{eqnarray*}$

der Fehler liegt, was ja zu erwarten war, beim schritt vom Integral zur Stammfunktion.

13.04.2006, 17:28

Gust

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Wo sonst ;-) - aber nach so einer langen Diskussion war fast klar, dass das nicht so einfach sein konnte...

13.04.2006, 19:41

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Lazarus
Wenn du zuviel Zeit und Lust hast kannste mit Potenzreihen drauf losballern:

*hust* ... Eine Potenzreihe ist das aber nicht. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß MSS

13.04.2006, 20:41

Lazarus

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Warum das nicht?
Wie würdest du "es" denn bezeichnen ?

13.04.2006, 20:56

Mathespezialschüler

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Eine Potenzreihe ist eine Reihe der Form $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty}~a_nx^n \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ unabhängig ist.
Das dort oben würde ich einfach als Funktionenreihe bezeichnen.

Gruß MSS

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