Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems

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13.05.2004, 08:03	mausi201	Auf diesen Beitrag antworten »
Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems Die Aufgabe heisst: Bestimme die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems Ax = b a)mit Koeffzienten im endlichen Körper $\begin{align} \calF_7 \end{align}$ wobei $\begin{align} A=$\array{1&1&-1&1&2&3\\2&2&-3&5&3&0\\4&-3&4&1&2&-3}$b=$\array{1\\0\\1}$ \end{align}$ wie gehe ich bei dieser Aufgabe vor???
13.05.2004, 09:19	Ben Sisko	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems Ich würd mal sagen das Lösen des Gleichungssystems geht ganz normal, du musst nur jeweils modulo 7 rechnen. Kannst dir dazu auch zuerst die negativen Zahlen umformen, wenn es dir dann leichter fällt (also etwa -3=4). Gruß vom Ben
13.05.2004, 09:53	mausi201	Auf diesen Beitrag antworten »
also alle Koeffizienten mit mod 7 ausrechnen???und dann ergibt sich eine neue Matrix???
13.05.2004, 10:58	Irrlicht	Auf diesen Beitrag antworten »
Dass du die Matrix so "umformst" (naja, du aenderst ja nur die Eintraege auf andere Repraesentanten), dass du nur noch positive Repraesentanten deiner Restklassen mod 7 hast, ist der erste Schritt. Dasselbe muesstest du mit b tun, aber da ists ja schon gemacht. Dann bringst du die Matrix auf Zeilenstufenform. Die rechte Seite aendert sich dann entsprechend auch. Du musst nur darauf achten, dass du in Z/7 rechnest, dass also Vielfache der 7 die Restklasse 0 sind usw. (Da du durch 0 nicht teilen darfst, ist es eben wichtig, darauf zu achten. Das ist einer der haeufigsten Fehler, die gemacht werden.) Wenn du durch eine Zahl teilen willst, musst du mit dem Inversen mod 7 multiplizieren. Dazu ist deine fruehere Uebungsaufgabe hilfreich, wo du die Inversen schon bestimmt hast. Ansonsten geht es weiter, wie du es gewohnt bist.
18.05.2004, 22:26	mikewolf	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber bitte achten ! Hier mit Koeffizienten im Endlichen Koerper $\begin{align} F_{7} \end{align}$ besteht aus Primzahl Element. $\begin{align} F_{7} \end{align}$ = {0,1,2,3,5,7,11} wenn du ein Zahl z.B. 4 umwandeln moechtest, was sollst du machen? 4 -> 0 oder?
18.05.2004, 22:35	Irrlicht	Auf diesen Beitrag antworten »
Bitte? Die Anzahl der Elemente des F_7 ist eine Primzahl, doch nicht die Elemente! Die Elemente des F_7 sind zum Beispiel darstellbar durch 0,1,...,6.
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19.05.2004, 08:42	mikewolf	Auf diesen Beitrag antworten »
wie du sagst, gibt es dann keine Unterschied zwischen $\begin{align} Z_{7} \end{align}$ und $\begin{align} F_{7} \end{align}$ ?
19.05.2004, 09:29	Irrlicht	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, bis auf Isomorphie nicht: F_p ist isomorph zu Z/pZ für eine Primzahl p. Also in unserem Fall ist p=7 und da gibt es dann keinen Unterschied. Beim Körper F_4 wäre das jedoch anders. Dieser ist nicht isomorph zu Z/4Z, wie man sich leicht überlegen kann, denn Z/4Z ist nicht einmal nullteilerfrei. Wobei aber immer noch gilt, dsas jeder Körper mit 4 Elementen isomorph zum F_4 ist.
19.05.2004, 12:14	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Körper mit vier Elementen Sei K der Körper mit 4 Elementen. (Ich hasse den Buchstaben F für "Körper"! So viel Mut zur deutschen Sprache sollten wir schon haben! Zumal diese Begrifflichkeiten ursprünglich nicht aus dem Englischen kommen.) Die multiplikative Gruppe besteht aus 3 Elementen und muß daher zyklisch von der Ordnung 3 sein. Wenn sie etwa von a erzeugt wird, sind ihre Elemente 1,a,a², und es gilt a³=1. Zusätzlich kommt jetzt noch die 0 dazu: K = {0,1,a,a²} Jetzt fehlt noch die additive Gruppe. Wegen 4=2² besitzt der Körper die Charakteristik 2, so daß x+x=0 für alle x aus K gilt. Damit kann die additive Gruppe nur die Kleinsche Vierergruppe sein. Man erhält die Additionstabelle $\begin{align} \array{0&1&a&a^2\\1&0&a^2&a\\a&a^2&0&1\\a^2&a&1&0} \end{align}$ (Im Kreuzungspunkt von Zeile und Spalte steht die Summe von erstem Spalten- und erstem Zeilenelement.) Und bis auf Isomorphie ist das die einzige Möglichkeit für K.
19.05.2004, 12:36	Irrlicht	Auf diesen Beitrag antworten »
@Leopold Die Bezeichung F_n fuer den endlichen Koerper mit n Elementen ist halt Standard. Sie findest du in fast jedem Buch, wenn vom endlichen Koerper mit n Elementen die Rede ist. Beliebige Koerper werden im Deutschen allerdings im allgemeinen mit K und wenn noch L und M bezeichnet.
19.05.2004, 13:08	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Dieser Unfug hat sich erst in den letzten 10 bis 20 Jahren eingebürgert. Ich habe auch kein Problem damit, wenn in Mathebüchern englischer Sprache ein "field" mit F bezeichnet wird. Aber wenn wir Deutsch sprechen, sollten wir auch "Körper" K sagen.
19.05.2004, 13:30	SirJective	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist natuerlich kein Problem wenn du sagst "Sei K der Koerper mit 27 Elementen". Welches Problem hast du mit "Sei F_27 der Koerper mit 27 Elementen."? Sollten wir vielleicht - im Interesse der deutschen Sprache - auch den Koerper der komplexen Zahlen mit $\begin{align} \mathbb{K} \end{align}$ bezeichnen? PS: @Jama und Thomas: Da faellt mir schon wieder auf, dass der Befehl \mathbb anstelle von Blackboard Bold eine Script-Schriftart liefert, die eigentlich zu \mathcal gehoert. Das sollte mal korrigiert werden.

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