Irreduzible Polynome

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Fletcher Auf diesen Beitrag antworten »
Irreduzible Polynome
Schönen guten Tag allerseits,

ich habe hier ein paar Aufgaben zur Irreduziblität von Polynomen über erhalten und komme soweit auch damit klar, dennoch habe ich ein paar Verständnisfragen:

Nehmen wir als Beispiel:
Ich habe das so gemacht: Ich betrachte zunächst das Polynom über und wende die Reduktion mod 3 an, dann komme ich auf:

Dieses Polynom ist in irreduzibel nicht wahr?
Daraus folgt dann dass es über Z irreduzibel ist und schließlich auch über die rationalen Zahlen nach einem Satz im Skript.


Ein anderes Problem: ist gegeben, wobei alle Koeffizienten a_i ungerade sind. Man soll wieder zeigen, dass diese Polynom über die rationalen Zahlen irreduzibel ist.
Also betrachte ich es zunächst über den ganzen Zahlen, reduziere mod 2. Dann sind die Koeffizienten alle 1, da sie ja ungerade waren und jetzt zerlege ich das so:



ist ein irreduzibles Polynom in und damit ist das ganze Polynom doch auch schon irreduzibel oder?

Ich hoffe hir könnt mir etwas weiterhelfen und Licht ins Dunkle bringen. Bin mir eigentlich ziemlich sicher, dass ich alles richtig gemacht habe.

Gruß
therisen Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Irreduzible Polynome
Zitat:
Original von Fletcher
Dieses Polynom ist in irreduzibel nicht wahr?


Nein. In gilt .
Fletcher Auf diesen Beitrag antworten »

Oh Mist, dann muss ich mir das nochmal genauer angucken, aber die untere Argumentation passt, weil in stimmt es ja, dass dieses Polynom irreduzibel ist!

Stimmts?
42 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,
zum 1. Polynom:
Wenn ein Polynom vom Grad 2 oder 3 in einem Kröper keine Nullstellen hat, dann ist es irreduzibel.
Entweder per pq-Formel die Nullstellen berechnen und zeigen, dass die nicht in Q sind oder aber in Q sind nur die NST 1 und -1 möglich, also einfach f(1) und f(-1) berechnen.
therisen Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Irreduzible Polynome
Zitat:
Original von Fletcher


ist ein irreduzibles Polynom in und damit ist das ganze Polynom doch auch schon irreduzibel oder?


Die Schlussfolgerung verstehe ich nicht.
Fletcher Auf diesen Beitrag antworten »

@42
Danke für den Tip. Das war mir noch nicht bekannt.

@therisen
Nun ja, ehrlich gesagt weiß ich ja nicht ob ich das so machen darf, dass ganze schaut mir ja noch ziemlich verschachtelt aus, aber das Polynom, welches in den inneren Klammern steht, ist doch irreduzibel über und damit doch auch das jenige welches in den äußeren Klammern steht und insgesamt folgt nun, dass das Polynom auch über die ganzen Zahlen irreduzibel sein muss und schließlich folgt daraus, dass es über die rationalen Zahlen irreduzibel ist. Sicher bin ich mir hierbei auch nicht und ich hoffe du kannst mich verbessern, falls mein Gedankengang falsch ist.
 
 
Fletcher Auf diesen Beitrag antworten »

Keinen Tip dazu therisen? verwirrt

Schönen Gruß smile
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Doch, ich habe den Thread bloß vergessen. Ich erkenne nicht, in wie fern deine Argumentation korrekt sein soll (du kannst es ja selbst nicht begründen). Betrachte doch lieber mal die einzig mögliche Faktorisierung von über . Dort hat man 2 Variablen und erhält schnell einen Widerspruch, wenn ich mich recht erinnere.
Fletcher Auf diesen Beitrag antworten »

Was meinst du mit zwei Variable?
therisen Auf diesen Beitrag antworten »



Ergibt 2 Variablen Augenzwinkern
Fletcher Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von therisen


Ergibt 2 Variablen Augenzwinkern


Tja das stimmt natürlich.



Damit nun obige Gleichung erfüllt ist folgt, dass entweder a=0,b=1 oder a=1,b=0 gilt also folgt die Zerlegung:

therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Fletcher


Zum Glück hast du dich da verrechnet Augenzwinkern
Fletcher Auf diesen Beitrag antworten »



Da hast du natürlich Recht! verwirrt
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Du willst ja auch zeigen, dass es keine solche Zerlegung geben kann, d.h. du suchst einen Widerspruch. Ohne das erneut zu rechnen glaube ich mich zu erinnern, dass man einen findet.
Fletcher Auf diesen Beitrag antworten »

Ah dann grübel ich noch ein wenig weiter, meld mich wieder Big Laugh
Fletcher Auf diesen Beitrag antworten »

Also das was ich gemacht habe schaut ja gar nicht mal so schlecht aus um das ganze zum Widerspruch zu führen.

Jetzt noch kurz ein anderes Beispiel woran ich mich versucht habe:

Man soll zeigen, dass folgendes Polynom über irreduzibel ist:

Hier betrachte ich das Polynom über , dann gilt:



Keines der Polynome teilt die 1, also ist f irreduzibel über

Stimmst ihr mir da zu?
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Fletcher
Keines der Polynome teilt die 1, also ist f irreduzibel über


Die Argumentation kann ich überhaupt nicht nachvollziehen.
Fletcher Auf diesen Beitrag antworten »

Ich meine damit, dass eines der genannten Polynome f teilen müsste damit f reduzibel ist, also damit auch die 1, und das ist offensichtlich nicht möglich.
Ein ganz ähnliches Beispiel steht nämlich im Skript und da wurde genau so argumentiert. verwirrt
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Die Argumentation ist Unsinn. Das Polynom ist nämlich über gar nicht irreduzibel.
Fletcher Auf diesen Beitrag antworten »

Von welchen Polynom reden wir denn jetzt? verwirrt

Das f(X) irreduzibel ist möchte ich zeigen!
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich rede von

Zitat:
Original von Fletcher
Man soll zeigen, dass folgendes Polynom über irreduzibel ist:


Dieses Polynom ist über nicht irreduzibel.
Fletcher Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, dann könnte ich es mir ja mal über angucken. Irgendetwas muss ja zum Erfolg führen. Allerdings habe ich mal eine Frage und zwar wie findet man denn in irreduzible Polnyome?

Im skript steht, dass irreduzibel in sind.
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Da es nur endlich viele gibt, bestimmt man zunächst die reduziblen Polynome und bildet dann das Komplement.
Fletcher Auf diesen Beitrag antworten »

Offensichtlich ist irreduzibel in . Warum?
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Weil es keine Nullstelle besitzt.
Fletcher Auf diesen Beitrag antworten »

Dann gilt aber das auch f(X) irreduzibel in ist.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast heute wirklich kein Glück beim Raten:

in .
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, so langsam solltest du einsehen, dass deine Argumentation Blödsinn ist (jetzt hast du schon 2 Gegenbeispiele!).
Fletcher Auf diesen Beitrag antworten »

geschockt Da muss ich dir leider Recht geben. Kennt jemand noch ein anderes Kriterium mit dem es klappen könnte?
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Probier doch mal denselben Ansatz, den ich bei der letzten Aufgabe auch vorgeschlagen hatte.
Fletcher Auf diesen Beitrag antworten »

Okay das probiere ich jetzt dann gleich mal aus, muss die Aufgabe nämlich noch abgeben Augenzwinkern

MfG
Fletcher Auf diesen Beitrag antworten »

So habe es heute abgeben, jetzt habe ich aber noch eine informative Frage, kann ich den Widerspruch konstruieren, indem ich den von der genannten Ansatz mache und dann a und b durch Koeffizientenvergleich bestimme. Das ganze führt dann auf den Widerspruch, weil dann nämlich was anderes herauskommt als angenommen...
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, so funktioniert das im Prinzip.
Fletcher Auf diesen Beitrag antworten »

Danke dann habe ich es verstanden.

Jetzt noch eine andere Sache, wo mir gerade beim Lesen aufgefallen ist: Im Bosch steht, dass ein Körper ist, aber und da frage ich mich gerade, was die inversen Elemente bzgl. der Multiplikation sind? (hatte das noch nicht in der Vorlesung)
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Probier's doch einfach mal aus in :
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