Bestimmung eines Fußpunktes F der Pyramidenhöhe

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Nachteule1905 Auf diesen Beitrag antworten »
Bestimmung eines Fußpunktes F der Pyramidenhöhe
Hallöle^^

Ich muss zuerst das Volumen der quadratischen Pyramide mit den A,B,C,D und S ausrechnen...
Danach das mit dem Fußpunkt.
Ich verstehe das mit dem Fußpunkt nu erstmal gar net...
Wie macht man so was???

Ich habe die Punkte
A(12/0/0)
B(12/8/6)
C(2/8/6)
D(2/0/0)
S(7/16/-13)

Könnte mir da einer weiterhelfen???
Ansätze sind auch okay, weil ich das zunächst alleine versuchen möchte...
MrPSI Auf diesen Beitrag antworten »

Mit dem Fusspunkt F ist hier wohl der Punkt gemeint, der sowohl auf der Höhe als auch auf der Grundfläche der Pyramide liegt.

Also dabei fallen mir auf Anhieb zwei Ansätze ein: man könnte 3 Ebenen(2 durch den Punkt S) aufstellen und miteinander schneiden. Dabei sollte dann F rauskommen.

Die 2. und auch einfachere Variante ist, die Tatsache zu nützen, dass die Höhe eine Gerade(oder zumindest eine Strecke) ist, die sowohl durch S als auch durch den Fusspunkt F geht. Stichwort: Gerade aufstellen und schneiden.
n! Auf diesen Beitrag antworten »

Ein Bild kann nicht schaden:

http://de.wikipedia.org/wiki/Pyramide_%28Geometrie%29

Der zweite Ansatz von MrPsi ist übrigens eleganter. Man stellt eine Gerade durch die Pyramidenspitze auf. Desweiteren stellt man Eine Ebene auf, die die Grundfläche der Pyramide bildet.

So, für die Gerade haben wir den Stützvektor. Und an der Skizze siehst du welchen Richtungsvektor man da nehmen könnte. Anschließend schneidet man die Gerade mit der Ebene
Nachteule1905 Auf diesen Beitrag antworten »

okay, ich bin ein hoffnungsloser fall....

der stützvektor wäre dann Punkt S oder???
MrPSI Auf diesen Beitrag antworten »

yep.
aRo Auf diesen Beitrag antworten »

richtig. hast du auch schon die Ebene der Grundfläche?
 
 
Nachteule1905 Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, leider!

Die Skizze hilft mir leider net so viel. Als Richtungsvektor könnte ich eine von den anderen Punkten nehmen...

unglücklich
MrPSI Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, lieber nicht. Um die Ebene der Grundfläche aufzuspannen, kannst du ja die Vektoren der Seitenlängen nehmen bzw. ihr Kreuzprodukt. Und dieses Kreuzprodukt kann man noch an anderer nützlicher Stelle als Richtungsvektor benutzen...
Nachteule1905 Auf diesen Beitrag antworten »

Entschuldige aber was meinst du Kreuzungsprodukt???

Bin gerade schön am Verzweifeln....*sniff*
MrPSI Auf diesen Beitrag antworten »

geschockt du kennst das Kreuzprodukt noch nicht? Das ist der Vektor der auf zwei andere Vektoren normal steht. Du kanns die Ebene auch ohne Kreuzprodukt aufstellen, aber um den Richtungsvektor für die Gerade zu finden muss ich mir noch was überlegen.
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

MrPSI hats gut 'beschrieben'.

Mit dem Kreuzprodukt bastelst, Normale, Ebene und Grundfläche zugleich.
Nachteule1905 Auf diesen Beitrag antworten »

Entschuldige bittee!!!!
Mir ist das wichtig, dass ich das kapier!!!!
Bitte hilf mir!
Ich könnte mir das jetzt so vorstellen, dass beispielweise
Punkt A - Punkt B gerechnet wird.....
Weisst du, was ich meine???

Aber dann hätte ich zwei Richtungsvektoren...
MrPSI Auf diesen Beitrag antworten »

Uns ist auch wichtig, dass du das kapierst, dafür sind wir ja da.

Da dein Fusspunkt auf der Grundfläche der Pyramide und auf der Höhengerade liegt, muss man die Gerade mit der Grundfläche/Ebene schneiden.
Die Ebene aufzustellen ist einfach, da muss man nur einen Eckpunkt nehmen und 2 Richtungsvektoren(z.B. von den Seitenlängen). Aber dann die Gerade aufzustellen wird schwierig, wenn man das Kreuzprodukt bzw Vektorprodukt nicht kennt, denn wir haben zwar einen Stützvektor(den Punkt S) aber ohne Kreuzprodukt ist es schwierig einen Richtungsvektor zu finden.

//edit: man kann den Richtungsvektor finden, indem man die Ebene in Normalform bringt.

//edit2: incass ist dieser Gedanke schneller eingefallen....
incass Auf diesen Beitrag antworten »

Also: Der Punkt F ergibt sich als Schnittpunkt der Ebene E , die aus der Grundfläche aufgespannt wird (also die du aus 3 Punkten der Grundfläche bildest) mit der Geraden, die durch S geht und senkrecht zu der Ebene E ist.

Mit den Punkten A(12/0/0), D(2/0/0), B(12/8/6) erhältst du die Ebene:




Um die Gerade aufzustellen, die zu dieser Ebene senkrecht ist, benötigen wir den Normalenvektor. Dieser kann aber direkt erschlossen werden. Wenn man den Normalenvektor mit dem Ortsvektor eines Punktes, der noch auf der Ebene liegen soll, (z.B. D(2/0/0) Skalarmultipliziert, erhält man eine Gleichung der Ebene in Normalenform:



also ist ein Vektor, der zu E senkrecht ist



die Gerade, die zu E senrkecht ist und durch die Spitze geht, ist demnach:



... und ergibt gecshnitten mit der Ebene E den Punkt F.

Hast du da bis hier hin verstanden? Wenn nicht sag, wo genau nicht .
Nachteule1905 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, langsam kriege ich es hin...

Nun möchte ich jetzt nur noch wissen, was in dieser Aufgabe der Normalenvektor ist ist, damit ich das mal nachvollziehen kann....

Das zweite ist, wie schneide ich jetzt die Gerade mit der Ebene, um auf den Punkt F zu kommen????

Kannst du mir da mal ein, zwei kleine Ansätze geben, zum Ausprobieren???
Teutone Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab mal nen Programm runtergeladen zum rumspielen, et voilà:
incass Auf diesen Beitrag antworten »

Wie der Normalenvektor lautet habe ich ja geschrieben. Ein Normalenvektor kann erstens aus der Korrdinatenform einer Ebene direkt abgelesen werden. Weiterhin ist es ein Vektor, der zu einer gegebenen Ebene senkrecht steht. Und wir brauchen ihn, weil der Frußpunkt F ja in jedem Fall auf einer zu E senrkechten Gerade liegen muss (die wir dann auch später aufgestellt haben).
MrPSI Auf diesen Beitrag antworten »

Der Normalvektor ist der Vektor, der im rechten Winkel auf der Ebene steht.

Um Gerade und Ebene zu schneiden, muss man zuerst die Gerade "aufspalten". Das geht so:


Aufspalten:





Man hat also die Gerade praktisch in ihre Koordinaten aufgespalten. Diese Koordinaten kann man jetzt in die Ebenengleichung einsetzen.
incass Auf diesen Beitrag antworten »

um eine Gerade mit einer Ebene (die in Parameterform gegeben ist) zu schneiden, setzt man die Gerade in die Ebene ein.
Die Ebene lautet:

-6y + 8z = 0

und die Gerade kann man so umschreiben:

x = 7
y = 16 - 6t
z = -13 + 8t
//edit: so wie ich grade merke es dir MrPSI grade gesagt hat )
und nun setzt man die Gerade in die Ebene ein:

-6*7 + 8*(-13 + 8t) = 0.

Soweit klar ?
Nachteule1905 Auf diesen Beitrag antworten »

So weit habe ich es verstanden.
Mir ist jetzt nur schlerhaft, wie die Gleichung der Ebene in Normalenform entsteht...

Die lautet ja: E: -6y+8z= 0

Hängt wohl mit dem Vektor zusammen, der zu E senkrecht ist :
vektor a= große Klammer: 0,-6,8; große Klammer zu...

Wie kommt das???
Wie entsteht der???
MrPSI Auf diesen Beitrag antworten »

Man kann die Ebene auch in einer Parameterform darstellen. Diese Parameterform kann man genauso wie die Gerade "aufspalten". Und dann kann man mit dem Eliminationsverfahren die Parameter wegfallen lassen. Dann ensteht die Ebenengleichung: -6y+8z=0
Und die Zahlen vor den Variablen sind nun automatisch die Koordinaten des Normalvektors. Da das x nicht vorhanden ist, kann man auch schreiben 0*x. Und daraus entsteht dann der Normalvektor.
Natürlich werden die Koordinaten entsprechen zugeordnet, also z.B. ist die Zahl vor dem y die y-Koordinate des Vektors.
Nachteule1905 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe das mit der Ebene immer noch niciht.

Wenn ich mir das so ansehe, dann passt das alles zum senkrechten Vektor, den man dann aufspaltet.

aber die ebene ist doch viel länger...
incass Auf diesen Beitrag antworten »

wenn du das ganze nach t auflöst und dann den Wert, den du für t rausbekommst in die Gerade einsetzt, hast du den Schnittpunkt (und somit den Punkt F).

Nun wieder zurück zum Normalenvektor und der Ebenengleichung. Ja, genau. Die Koordinatenform hängt mit dem Normalenvektor zusammen.
Er berechnet sich so:

Wir hatten vorhin ja die Ebene



Der Normalenvektor dieser Ebene ist nun ein Vektor, der senkrecht zu beiden Richtungsvektoren ist.
Das heißt, er muss multipliziert mit beiden Richtungsvektoren 0 ergeben.


[Man multiploziert 2 Vektoren, allgemein so:



aber das nur am Rande.

Ein Vektor, der zu dem zweiten Richtungsvektor

unserer Ebene senkrecht ist, muss demnach die Form



haben. Was du für x und y einsetzt, ist egal.

Wenn du das nicht verstehst, rechne mal




nach dem Vorgehen wie ich es oben geschrieben habe. Du wirst sehen, dass immer 0 rauskommt.

Nun musst du dir überlegen, was du für x und y einsetzen musst, damit der Vektor mit dem ersten Richtungsvektor der Ebene multipliziert auch wieder 0 ergibt. Und dann kommst du ganz leicht auf die noch fehlenden Zahlen.
MrPSI Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Nachteule
aber die ebene ist doch viel länger...

stimmt, die ebene ist im prinzip unendlich gross, aber trotzdem liefert das Schneiden von Gerade und Ebene einen Schnittpunkt, nämlich in diesem Falle den Fusspunkt.

Zitat:
Original von Nachteule
Ich verstehe das mit der Ebene immer noch niciht.

Wo genau hängts denn?
Nachteule1905 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde für x und y auch 0 einsetzen...
Ist das richtig???? *zweifek etwas*
incass Auf diesen Beitrag antworten »

Augenzwinkern das liegt natürlich sehr nahe, gerade die Lösung ist aber nicht erlaubt.
incass Auf diesen Beitrag antworten »

kleiner Tipp: wähle für x irgend eine Zahl und schaue dann, wie y gewählt werden muss, damit es dann nun 0 wird.
MrPSI Auf diesen Beitrag antworten »

incass' Methode ist ziemlich umständlich. Man kann zwar für x und y auch 0 einsetzen, bloss bringt der entstehende Nullvektor nix. Man kann dann durch viel Raterei zum gewünschten Normalvektor kommen.

Besser ist es, man liest den Normalvektor aus der Ebenengleichung ab. Habt ihr das schon in der Schule gemacht? Wenn nicht, dann ist es weiter oben von mir erklärt. Und falls das zu kompliziert ist, rechne ich es an einem Beispiel vor.
incass Auf diesen Beitrag antworten »

(PSI willst du aufs Kreuprodukt hinaus?) meine methode ist natürlich nicht umständlich, da man sowas eigentlich direkt sieht.
MrPSI Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MrPSI
Besser ist es, man liest den Normalvektor aus der Ebenengleichung ab.

Darauf wollt ich hinaus.
incass Auf diesen Beitrag antworten »

aus der Koordinatenform?
MrPSI Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Normalerweise bezeichne ich die Koordinatenform als Ebenengleichung bzw. hab die Bezeichung so gelernt. Aber anscheinend hat das nicht jeder...
incass Auf diesen Beitrag antworten »

Problem ist nur, dass man darauf erstmal kommen muss. wir haben anfangs ja nur Parameterform. Und wir suchen einen senrkechten Vektor UM die Korrdinatenform zu erhalten
incass Auf diesen Beitrag antworten »

okay, ich schreibe dir ein Muster, wie du ohne solche Überlegungen direkt an den Normalenvektor kommst. Das ist für den Anfang vielleicht besser.

Man hat 2 Vektoren






und möchte denjenigen Vektor, der mit jeweils beiden multiplizier 0 ergibt. Dazu verwendet man das Kreuzprodukt:


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