Determinante |
| 05.07.2008, 21:08 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
| Determinante ich möchte gerne die Determinante einer allgemeinen, quadratischen Matrix bestimmen, die von folgender Form ist: falls falls falls sonst Für eine 4x4 Matrix wäre das ja z.B. Auf eine Dreiecksform bringen ist ja hier leider nicht so ohne weitere möglich. Womöglich ist etwas mit Blockmatrizen machbar ? Ich hab jedenfalls keine Ahnung und würde mich über Vorschläge freuen. Gruß Björn |
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| 05.07.2008, 21:15 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Warum nicht? Addiere die erste zur zweiten, dann die zweite zur dritten, dann die dritte zur vierten Zeile usw. |
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| 05.07.2008, 21:29 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ok, scheint also allgemein für eine nxn Matrix als Determinante det(A)=n! rauszukommen oder ? Diese Vermutung muss ich dann noch mit Induktion beweisen ? Gruß und danke für die Antwort. |
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| 05.07.2008, 21:34 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ja. |
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| 05.07.2008, 22:11 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Hmm..ich kriegs leider nicht so hin 
Induktion mit Matrizen bzw Determinanten habe ich noch nicht gemacht. Kannst du mir vielleicht etwas helfen ? Behauptung: Ind. Anfang: n=1: A=(1) --> det(A)=1!=1 Ind.Schritt: z.z.: Wie mache ich jetzt weiter ? |
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| 05.07.2008, 22:31 | therisen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Forme die Matrix so um, dass du die Ind.vor. anwenden kannst (elementare Zeilen- und Spaltenumformungen ändern den Wert der Determinante nicht; Entwickeln nach einer Zeile/Spalte reduziert die Dimension um 1). |
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| 06.07.2008, 00:56 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Dass die Entwicklung zur Reduzierung führt ist schonmal sehr hilfreich 
Ich dachte nun daran nach der n-ten Spalte zu entwickeln. Da die ersten n-2 Zeilen dieser Spalte eh null sind, verbleiben zwei (n-1)x(n-1) Unterdeterminanten. Mit hätte ich ja schonmal meine Ind. Voraussetzung drin. Die andere jedoch kann ich irgendwie nicht durch ausdrücken, was mich vor ein Problem stellt. |
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| 06.07.2008, 11:17 | therisen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
| RE: Determinante Entwickelt man zunächst nach der letzten Spalte und anschließend nach der letzten Zeile, so erhält man den Wert . |
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| 06.07.2008, 15:01 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Entweder reden wir aneinander vorbei oder ich kann es nicht nachvollziehen... Es geht doch um diese n x n - Matrix, oder ? Ich habs leider nicht besser hinbekommen 
Du entwickelst erst die (n+1)x(n+1) Matrix nach der letzten Spalte und danach nochmal die n x n Matrix nach der letzten Zeile ? Führst du noch irgendwelche Zeilenumformungen durch ? Tut mir leid wenn ich mich etwas blöd anstelle 
Björn |
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| 06.07.2008, 15:05 | therisen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Nein, mein Induktionsschluss ist (finde ich bei Matrizen schöner). Ist es nun klar(er)? |
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| 06.07.2008, 17:42 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Du bekommst zwei Unterdeterminanten. Die eine ist nach Induktionsvoraussetzung klar. Die andere entwickelst du halt nochmal nach der letzten Zeile. Denk daran, dass die Induktionsvoraussetzung auch für alle k < n gilt (das kannst du annehmen). |
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| 06.07.2008, 18:28 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Warum wendet eigentlich niemand diesen Vorschlag an? Dann steht es ohne jede Induktion sofort da. |
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| 06.07.2008, 18:35 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
@ therisen und WebFritzi Danke, ich habe es nun verstanden. @ Leopold Das habe ich ja auch zuerst gemacht. Dann fragte ich danach, ob die Determinante dieser Matrix n! wäre und ob ich das noch durch Induktion beweisen soll, was bejaht wurde. Wie würdest du es denn ohne Induktion machen ? Gruß Björn |
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| 06.07.2008, 19:18 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ich glaube, daß sich das Ja von MSS nur darauf bezog, daß n! der richtige Determinantenwert ist. Und wie ich das machen würde? Na, so natürlich, wie MSS es beschrieben hat. Du mußt gar nicht denken, nur das Rezept ausführen. Mach das doch einfach einmal für zum Beispiel n=5. |
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| 06.07.2008, 19:49 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Glaube ich nicht, denn sonst hätte er mich doch sicher darauf hingewiesen - wie du jetzt.
Ich hatte je eine Beispielmatrix für n=4 in meinem ersten Beitrag angegeben. Nach dem Hinweis von MSS habe ich das ganze Spielchen auch mit diesem Fall gemacht und kam nach 3 Zeilenumformungen auf: An dieser Stelle liegt nun ja eine Dreiecksmatrix vor, wodurch sich die Determinante aus dem Produkt der Diagonaleinträge ergibt, was mich zur Vermutung führte, dass sie allgemein n! lauten müsste. Da ich zwar sehe, dass es immer so laufen wird, dass man bei einer nxn Matrix durch n-1 Zeilenumformungen eine Dreiecksmatrix erhält, und durch die ganzen Einsen in der Hauptdiagonalen letztendlich fortlaufend immer eine um 1 größere natürliche Zahl durch Addition bestimmter Zeilen ergeben wird, dies aber nicht als ausreichenden Beweis angesehen hatte, fragte ich eben danach ob ich es denn nicht noch durch Induktion für alle n aus N beweisen müsse. Wie geht es nun leichter ? Reicht meine verbale Begründung so schon aus ? Gruß Björn |
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| 06.07.2008, 20:11 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Es gibt Leute, die halten etwas nur dann für einen mathematischen Beweis, wenn da möglichst viele mathematische Zeichen über-, unter- und nebeneinander stehen. Ich gehöre der anderen Gruppe an. Für mich ist ein Beweis dann erbracht, wenn er mit nachvollziehbaren Argumenten aus gültigen Aussagen zur Behauptung gelangt. Das ist sehr oft mit der mathematischen Formelsprache auf elegante Art möglich. Dafür ist sie ja auch da. Aber gelegentlich kann das auch ein gut ausformulierter deutscher Text sein. Jedem Problem die angemessene Beweismethode und -sprache. Und meiner Ansicht nach hast du soeben einen sauberen Induktionsbeweis geführt, nur eben als Text. Das reicht meiner Ansicht nach. Aber du mußt damit rechnen, daß das dein Korrektor anders sieht ... Da kann man dann nichts machen ... |
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| 06.07.2008, 20:23 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ich danke dir für deinen Kommentar. Bei mir stößt du damit absolut auf offene Ohren, denn oft fällt es mir leichter ein paar erklärende Sätze hinzuschreiben, da mir manchmal die entsprechenden Formeln fehlen und ich dieses "ausschließliche Durchhangeln" mittels mathematischer Zeichen, was dann unter Umständen noch sehr unübersichtlich aufgrund zahlreicher Indizes werden kann, als anstregend empfinde. Mal sehen wie es der Korrektor aufnimmt - ich habe jedoch schon desöfteren auch verbale Begründungen abgeliefert und dennoch die volle Punktzahl erhalten (ab und zu 0,5-1 Punkt Abzug) Gruß Björn |
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| 06.07.2008, 20:43 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ich will aber meinen Beitrag nicht mißverstanden wissen, sozusagen als Ausrede für Faule, die sich nicht in die mathematische Formelsprache einarbeiten wollen. Ich finde im Gegenteil, daß ein sicheres Umgehen mit ihr für einen modernen Mathematiker unabdingbar ist. Nur sollte man sie nicht absolut setzen und zumindest gelegentlich für andere Zugänge offen sein, insbesondere wenn sie bequemere Argumentationen ermöglichen. Nicht daß ich dir etwas unterstellen wollte, aber es lesen ja viele Leute, was wir hier schreiben ... |
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| 06.07.2008, 20:47 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Sehe ich genauso. Da die Aufgabe eh nicht sooo groß vom Aufwand her ist überlege ich mir noch, was ich dem Korrektor anbiete =) Verstanden habe ich jedenfalls nun beide Möglichkeiten. |
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| 06.07.2008, 20:49 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Biete ihm doch beides an und frage ihn, welches ihm besser gefällt. |
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| 06.07.2008, 20:50 | therisen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Da es kein mathematisch "sauberer" Beweis ist. Bei der Stelle "usw." benötigt man ja implizit vollständige Induktion. Gerade bei solch billigen Aufgaben sollte man den Beweis wenigstens ordentlich aufschreiben (können). Das Beispiel hier hat auch gezeigt, dass Björn damit Schwierigkeiten hat(te). Wie du schon sagst:
Am schlimmsten sind übrigens die (theoretischen) Informatiker: Dort wurde mir ein Punkt abgezogen, weil ich beim Induktionsanfang einen zusätzlichen Fall behandelt habe. Nicht dass hier ein falscher Eindruck entsteht: In der Regel vermeide ich auch Induktion, wenn es geht (hier war das ja nicht der Fall). Und falls es nicht funktioniert, führe ich den Induktionsbeweis oft nicht aus (außer es ist nicht trivial). Studenten in niedrigeren Semestern dürfen das natürlich nicht (und das ist auch gut so!). |
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| 06.07.2008, 20:55 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
@therisen: Ganz genau genommen ist dein Vorgehen aber auch kein sauberer Induktionsbeweis, denn man muss trotzdem noch Pünktchen in den Determinanten machen. Für einen ganz sauberen Beweis plädiere ich für festes n und dann Induktion über die Anzahl der Zeilenumformungen. Für die Induktionsbehauptung muss man sich natürlich noch etwas einfallen lassen.
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| 06.07.2008, 20:59 | therisen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
@WebFritzi: Der Einwand ist berechtigt. Die theoretischen Informatiker würden darauf wohl sogar bestehen 
Aber es dürfte wohl kaum einen Mathematiker geben, der einen solchen Induktionsbeweis bemängelt (auch nicht bei einem Erstsemester). |
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| 06.07.2008, 21:13 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Recht hast du.
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