x^x	Neue Frage »

06.07.2008, 14:18

Gola

Auf diesen Beitrag antworten »

x^x

Hallo!

Ich habe eine Frage zu Funktion

$\begin{eqnarray*} f(x) = x^{x} \end{eqnarray*}$

Für positive x ist sie ja natürlich definiert.
Aber negativ hat sie unendlich viele Definitionslücken.
Beispiel :

$\begin{eqnarray*} f(-1) = -1^{-1} = -1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(-0.5) = \frac{1}{sqrt(-0.5)} \end{eqnarray*}$

Jetzt schauen wir uns mal die Funktion von einer anderen Seite an.

$\begin{eqnarray*} f(x) = e^{x*lnx} \end{eqnarray*}$

Hier ist die Funktion natürlich nur für pos. x definiert.
Was ist nun falsch an meinem Beitrag?

Danke.

06.07.2008, 14:32

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

Wikipedia - Potenz #Rationale Exponenten

Die Frage ist viel mehr: Wie definierst du überhaupt eine Potenz zu einer negativen Basis?
Für ganze Exponenten geht das problemlos. Bei rationalen Exponenten (siehe Link) wirds schon schwerer.
Und dann gäbe es auch noch die irrationalen Exponenten als Möglichkeit.

Oder anders ausgedrückt:
Diese Funktion ist für $\begin{eqnarray*} x \leq 0 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ im Allgemeinen schlicht nicht definiert.

Inwiefern man hier mit komplexen Zahlen vorankommen könnte, das muss jemand anders erklären Augenzwinkern

Augenzwinkern

air

06.07.2008, 14:36

Gola

Auf diesen Beitrag antworten »

Leider bringt mich dein BEitrag nicht weiter. Du hast doch gesehen, dass es hier 2 verschiedene Anichtebn gibt und es entsteht ein Widerspruch. An der Stelle x = -1 kommt -1 raus, da gibt es nichts entgegenzusprechen.

06.07.2008, 14:44

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Gola
An der Stelle x = -1 kommt -1 raus, da gibt es nichts entgegenzusprechen.

Wenn man aber festlegt, dass man sich auf postive Werte für x beschränkt, dann gibt es da was entgegenzusprechen. Nämlich, dass die Funktion dort nicht definiert ist. Warum es Sinn macht, sich auf positive x zu beschränken, hat Airblader ja schon geschrieben.

Und du selbst hast ja mit $\begin{eqnarray*} x^x =\exp (x \ln x) \end{eqnarray*}$ auch ein Argument dafür gegeben.

06.07.2008, 14:46

Gola

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich brauche aber eine mathematische Begründung, keine rationale. Wieso soll man nur den positiven Bereich akzeptieren?

06.07.2008, 14:52

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie definierst du denn "mathematische Begründung"? Dass man den Term $\begin{eqnarray*} (-1)^{-1} \end{eqnarray*}$ mit den elementaren Regeln für die Rechnung mit Potenzen auswerten könnte, kann man ja wohl kaum bestreiten.

Aber es ist doch trotzdem ganz nett, wenn eine reellwertige Funktion wenigstens mal auf jeweils zusammenhängenden Intervallen definiert ist. Wie willst du sie denn sonst auf so typische Eigenschaften wie Stetigkeit, Differenzierbarkeit und Integrierbarkeit untersuchen?

Anzeige

06.07.2008, 15:07

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kenne mich mit komplexen Zahlen ja praktisch Null aus, aber ganz schnell überflogen kann man mit denen auch für die exp()-ln()-Darstellung der Funktion auf f(-1) = -1 kommen.
Allerdings bin ich mir nicht sicher, was die Gesetze des Logarithmus etc. im Komplexen angeht.

air

06.07.2008, 15:21

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Da hast du Recht. Für den Hauptzweig des komplexen Logarithmus gilt wegen $\begin{eqnarray*} e^{i \pi} = -1 \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} \ln (-1) = i \pi \end{eqnarray*}$ .

Und somit $\begin{eqnarray*} e^{-1 \cdot \ln (-1)} = \frac{1}{e^{i \pi}}=-1 \end{eqnarray*}$ .

D.h. wenn man die Abbildung $\begin{eqnarray*} f: \mathbb C \mapsto \mathbb C, f(z) = z^z = \exp (z \ln (z)) \end{eqnarray*}$ definiert, ist das alles kein Problem.

Aber mir ging es ja zunächst mal um reellwertige Funktionen. Und dem Threadersteller wohl auch. Sonst hätte er nicht von unendlich vielen Definitionslücken gesprochen Augenzwinkern

Augenzwinkern

06.07.2008, 15:28

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von tmo

D.h. wenn man die Abbildung $\begin{eqnarray*} f: \mathbb C \mapsto \mathbb C, f(z) = z^z = \exp (z \ln (z)) \end{eqnarray*}$ definiert, ist das alles kein Problem.

Nein. $\begin{eqnarray*} f(0) \end{eqnarray*}$ ist nicht definiert.

06.07.2008, 15:30

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt natürlich, da gibts immer noch Probleme. Dann halt $\begin{eqnarray*} \mathbb C \setminus \{0\} \end{eqnarray*}$ .

06.07.2008, 15:31

plotter

Auf diesen Beitrag antworten »

Habe die Funktion der Interesse halber mal geplottet, kann aber mit gnuplot nur jeweils den Real-, Imaginäranteil, bzw den Absolutbetrag darstellen. Weiß jemand wie ich komplexe Funktionen so darstellen kann bspw. auf der Wikipediaseite des komplexen Logarithmus? (http://upload.wikimedia.org/wikipedia/co...Complex_log.jpg oder http://upload.wikimedia.org/wikipedia/co...Complex_exp.jpg)

06.07.2008, 15:38

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Frage ist was du sehen willst.
Das Bild der komplexen Funktion müsstest du im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^4 \end{eqnarray*}$ anschauen - und das fällt mir leicht schwer.
Soll heissen bei solchen Bildchen siehst du immer nur einen Aspekt davon. Auch bei den genannten Bildchen ist das immer der Betrag der Funktion.

06.07.2008, 19:38

Gola

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde dieses Problem gerne im reellen Bereich lösen!
Vlt. sollte ich mein Problem nochmal genauer beschreiben.

Wieso kann man in x^x , x = -1 einsetzen und in die gleiche(!) Funktion e^(x*ln(x)) nicht?

06.07.2008, 19:49

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du
$\begin{eqnarray*} f: \mathbb R^+ \cup \mathbb Z \setminus \{0\} \mapsto \mathbb R, f(x)=x^x \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} g: \mathbb R^+ \mapsto \mathbb R, g(x) = e^{x \ln x} \end{eqnarray*}$
definierst, dann ist nunmal nicht f = g, auch wenn $\begin{eqnarray*} f(x)=g(x) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R^+ \end{eqnarray*}$ gilt.

Sprich das sind gar nicht die gleichen Funktionen. Funktionen sind nämlich nicht nur durch ihre Werte, sondern auch durch ihre Definitionsmenge charakterisiert.

Ein ähnliches Beispiel ist:

$\begin{eqnarray*} f(x) = 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(x) = \frac{x}{x} \end{eqnarray*}$ . Diese Funktionen stimmen überall überein außer bei 0. Weil g dort eben nicht definiert ist. Es sind demnach nicht die gleichen Funktionen.

06.07.2008, 20:35

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von tmo
Funktionen sind nämlich nicht nur durch ihre Werte, sondern auch durch ihre Definitionsmenge charakterisiert.

So ist es. Nach moderner Auffassung ist der Definitionsbereich einer Funktion ein konstitutiver Bestandteil derselben. Eine Funktion schleppt also sozusagen ihren Definitionsbereich nicht mit sich, und wir müssen ihn nur finden!, sondern wir selbst sind es, die ein Objekt erst dadurch zu einer Funktion machen, daß wir eine Menge (eben den Definitionsbereich) und eine auf ihr ausführbare Zuordnungsvorschrift angeben. (Und in vielen Gebieten der Mathematik reicht auch das noch nicht, da ist auch noch der Zielbereich anzugeben.)
Die ganze Krux kommt daher, daß beim praktischen Rechnen zwischen Term und Funktion nicht unterschieden wird, obwohl das eigentlich zwei verschiedene Dinge sind. Eine Aufgabe wie "Bestimmen Sie den Definitionsbereich der Funktion" ist streng genommen blödsinnig. Richtig müßte es heißen: "Bestimmen Sie den maximalen Bereich der reellen Zahlen, über dem der Term definiert ist (und definieren Sie dadurch eine Funktion)." Wobei man zugeben muß, daß man diese strenge Auffassung in der Praxis nicht durchhalten kann und sich die Sache mit der Zeit abschleift. Dann sagt man halt doch: "Bestimmen Sie den Definitionsbereich der Funktion." In bestimmten Bereichen der Mathematik, das ist vor allem die klassische Analysis, insbesondere im Komplexen, hat sich durchaus ein älterer Funktionsbegriff gehalten, der die Funktion mehr oder weniger mit ihrem Term (und allen anderen Termen, die auf derselben Menge dasselbe bewirken) identifiziert.

06.07.2008, 20:42

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Bitte erwähnen wenn das zuviel OT wird Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von Leopold
In bestimmten Bereichen der Mathematik, das ist vor allem die klassische Analysis, insbesondere im Komplexen, hat sich durchaus ein älterer Funktionsbegriff gehalten, der die Funktion mehr oder weniger mit ihrem Term (und allen anderen Termen, die auf derselben Menge dasselbe bewirken) identifiziert.

Könntest du mir das bitte genauer erklären? Weil das habe ich so noch nie gehört. Ich kenne komplexe Funktionen nur mit dem "modernen Begriff", also man muss Definitionsgebiet und Vorschrift angeben.

06.07.2008, 20:47

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von system-agent
Könntest du mir das bitte genauer erklären? Weil das habe ich so noch nie gehört. Ich kenne komplexe Funktionen nur mit dem "modernen Begriff", also man muss Definitionsgebiet und Vorschrift angeben.

Ja, das behaupten die Professoren immer, halten sich aber oft selbst nicht daran. Einfach einmal genau hinschauen und hinhören.

1

Verwandte Themen