Ellipse aus 2 Punkten konstruieren |
| 14.04.2006, 14:36 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Ellipse aus 2 Punkten konstruieren Gestern wurde mir eine interessante Frage gestellt, die ich ad hoc nicht schlüssig beantworten kann: Es ist eine Ellipse - OHNE Berechnung der Halbachsen a, b - in erster Hauptlage zu konstruieren, von der zwei Punkte P(6;2) und Q(3;-4) gegeben sind. Rechnerisch kein Problem, aber wie konstruieren? Ich bin gespannt auf eure Antworten. Mir schweben schon auch Möglichkeiten vor, so konnte ich das Problem bald auf eines mit weiteren gegebenen Elementen zurückführen, komme aber auch dort nicht weiter. Momentan will ich aber nicht weiter darauf eingehen, um die Denkrichtung nicht einzuschränken. Gr mYthos |
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| 14.04.2006, 16:29 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Ellipse aus 2 Punkten konstruieren Wenn ich das richtig verstanden habe ?, 1) Spiegele Q zu Q' an x-Achse, das Lot sei q, der Fußpunkt Qx 2) Gerade PQ' mit x-Achse ergibt S 3) Konstruiere Mitte M von PQ' 4) Fälle Lot l von M auf x-Achse 5) Thaleskreis über (0;0) und S geschnitten mit l ergebe T 6) Gerade ST und q ergeben R Kreis um (0:0) durch R ist der gesuchte Hauptkreis und dessen Radius a die Länge der Hauptachse. Die Nebenachsenlänge ist dann nur noch ein konstuktives Teilen von a im Verhältnis RQx zu Q'Qx sollte eigentlich stimmen, modulo Verdreherei |
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| 14.04.2006, 17:53 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Ellipse aus 2 Punkten konstruieren das ist wahrlich ein osterei! da werde ich wieder brüten. dann also frohe ostern werner |
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| 14.04.2006, 20:08 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » |
@Poff Danke erst mal! Kannst du die Konstruktion begründen? In Teilen durchschaue ich sie zwar, sehe aber darin keine durchgehende Ausnützung der Affinität des Hauptscheitelkreises zur Ellipse. Fest steht jedenfalls, dass der Mittelpunkt der Sehne PQ' mit O verbunden der zu PQ' konjugierte Durchmesser ist. Im Kreisfeld stehen diese normal aufeinander. Na ja, ich werd' mir das später noch genauer ansehen ... Schöne Ostern allen! mY+ |
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| 14.04.2006, 21:23 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Ellipse aus 2 Punkten konstruieren @mYthos So wie die Konstruktion angelegt ist, garantiert sie gerade dass Q' und P die affinen Bilder ihrer Entsprechungen auf dem konstruierten Hauptkreis sind. Das ist Alles und das reicht. Mit 3 zusätzlichen Parallelen lässt sich in der Konstruktion auch der Nebenkreis erzeugen. |
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| 14.04.2006, 22:03 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Ellipse aus 2 Punkten konstruieren und ein bild dazu werner |
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| 15.04.2006, 01:50 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Ellipse aus 2 Punkten konstruieren Werner hast eine Linie eingespart ... 
Das war übrigens meine erste Ellipsenkonstruktion, zumindest wars die erste aus '2-Punkten', was defakto 3 Punkte plus heißt. Schöne Ostern Werner und all die andern MatheNarren und MatheNärrinen und auch an ALLE MatheNieten. Schon oft hab ich mich gefragt was das denn soll, dass Abiturienten die never again in ihrem Leben sich mit analytischer Geometrie, Differentialrechnung oder was auch sonst immer, rumplagen werden müssen, dennoch das hinter sich bringen müssen, obwohl bei vielen unübersehbar bleibt, dass sie nicht wirklich wissen was sie tun. Eben eintrainieren wies geht und an den Zahlen dann durchrechnen müssen. Das ist in meinen Augen vergeudete Energie, die nicht wirklich was bringt. PS Wenn weiterhin unklar bleiben sollte wie die Konstruktion funktioniert, dann eben nochmal fragen. |
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| 15.04.2006, 10:04 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Ellipse aus 2 Punkten konstruieren @hallo poff, ja, ich habe dein rezept einfach brav umgesetzt. auch dir frohe ostern werner |
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| 15.04.2006, 15:34 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hi, nochmals vielen Dank für eure Mühe, ich werd' - wenn ich mehr Zeit habe (Ostern lässt grüßen) - das Ganze nochmals eingehend benüstern. Bis denn! Schöne Ostergrüße mYthos |
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| 15.04.2006, 17:23 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Ellipse aus 2 Punkten konstruieren Genug des Rätselratens, Werner hätte ja noch brüten dürfen,
aber mYthos will ich das nicht zumuten, andererseits dürft ihr NATÜRLICH auch drüber wegsehen und das über die Ostern selbst rausholen ! Ich könnte nun kurz den Beweis hinschreiben, machs aber mal anders ..., anstatt 'revolutionär' nun die Konstruktion evolutionär ..., schööön gestreckt. Was war das Problem ? 1) Ich hatte 2 Punkte Q' und P und musste erreichen dass diese die affinen Bilder zweier Kreispunkte eines Kreises um 00 bezüglich der x-Achse werden würden. 2) Wo finde ich affine Punkte zu Q' und P bezüglich x-Achse? Auf jeweils einem Strahl durch S liegend. 3) Wie könnte ich zugleich erreichen dass diese Punkte AUCH auf einem Kreis um 00 liegen würden ? Nun, indem ich deren Mittelpunkt auf den Thaleskreis über 00,S bringen würde, würde ich erreichen dass der von S ausgehende Strahl durch eben jenen Thaleskreispunkt, aus dem noch unbekannten Kreis genau jene Sehne würde rausschneiden, deren Endpunkte die gesuchten affinen Punkte wären und deren Sehnenmitte jener Thaleskreispunkt wäre, denn der Sehnenmittel- punkt stände senkrecht auf dem Radius von 00 ausgehend. 4) Wo liegen alle jene möglichen Mittelpunkte ? Nun auf einer Parallelen zu q durch Mitte Q'P (= M) 5) Damit stand die Konstruktion jenes Thaleskreispunktes T fest und der Strahl durch S und T würde mit q den Kreissehnenend- punkt R und zugleich den affinen Punkt zu Q' darstellen. Der andere Kreissehnenendpunkt würde automatisch der affine Punkt zu P sein. Damit war alles erfüllt was nötig war und die Stecke 00R würde die Länge der Hauptachse sein. später mach ich die Leerzeilen wieder raus ... |
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| 17.04.2006, 23:10 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hallo! Nach nochmaligem Durchgehen ist alles klar! Der Knackpunkt ist die Nr. 03 in Poff's Erläuterung, dass im affinen Kreisfeld der Radius zum Mittelpunkt der Sehne senkrecht auf dieser Sehne steht. Demzufolge muss man den Punkt Q auch nicht zu Q' spiegeln, sondern kann sofort analog mit dem Schnittpunkt S der Geraden PQ und der x-Achse arbeiten. Der Halbkreis wird jedoch bei dieser Angabe kleiner und eventuell die Konstruktion ungenau. @werner Der Weg, wie b zu ermitteln ist, heisst "umgekehrte Papierstreifenkonstruktion", für uns alte Burschen ist das noch ein Begriff, gell? 
mY+ P.S:. Die Frage ist für mich zufriedenstellend gelöst und kann als erledigt betrachtet werden, danke nochmals. |
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| 17.04.2006, 23:43 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » |
Geht auch mit dem inneren Schnittpunkt, vom Gefühl her ist mir jedoch der äußere sympatischer. |
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| 17.04.2006, 23:49 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ja, so ist es. Theoretisch (sinngemäß) geht's mit P, Q direkt. Die Spiegelung ist nur Kosmetik, weil die Konstruktion dann etwas übersichtlicher ist und nicht Gefahr läuft, wegen schleifender Schnitte ungenau zu werden. mY+ |
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| 18.04.2006, 00:02 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » |
Für die praktische Konstuktion mit realem Zirkel auf jeden Fall. Für elektronische Knechte wie Euklid jedoch NULL Thema, da wird auf 14-16 Dezimalen gearbeitet und für 'algebraisch- geometrische' Programme bestimmt erst recht nicht. Euklid kann ich nahezu uneingeschränkt empfehlen, hat zwar auch diverse Macken, aber vom zeichentechnisch Exakten und vom konstruktionstechnischen Ablauf ist's DER elektronische Zirkel. Allerdings kostenpflichtig, aber die paar Euro ist es allemal WERT. All die anderen die ICH diesbezüglich schon in den Fingern hatte können NICHT mithalten. Leopold sei Dank für seine Penetranz .
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