Ebene gesucht

15.04.2006, 14:48	aRo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ebene gesucht Hallo! Es sind zwei Punkte gegeben A(2\|3\|4) sowie B(6\|5\|16), sie sollen auf E liegen. Der Abstand der Ebene zum Ursprung soll 2LE betragen. Nun ist diese Ebene zu suchen. Ich habe diesen Ansatz gewählt: $\begin{eqnarray} \vec{n} \cdot \vec{AB} = 0 \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} 4a+2b+12c = 0 \end{eqnarray}$ und dann noch die anderen Gleichungen aus der Abstandsangabe: $\begin{eqnarray} a^2+b^2+c^2 = 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -2a-3b-4c=2 \end{eqnarray}$ ich komme dann für a b und c auf blöde Wurzelausdrücke. Ich habe dann ejtzt nochmal nach geschaut, und den Ansatz von früher rausgekramt: der lautet: $\begin{eqnarray} \vec{n} \cdot \vec{A} = 2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{n} \cdot \vec{B} = 2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a^2+b^2+c^2 = 1 \end{eqnarray}$ und da scheint was schönes rauszukommen. Eigentlich liegt der Unterschied ja hier: $\begin{eqnarray} \vec{n} \cdot \vec{AB} = 0 \end{eqnarray}$ . Aber das ist doch auch richtig, wieso sollte ich das also lieber nicht machen?
15.04.2006, 15:24	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ebene gesucht 1) du verschenkst eine gleichung. 2)-2a - 3b - 4c = 2 ? kannst du mir das erklären, da blicke ich nicht ganz durch. 3) eventuell kannst du ja die wurzelausdrücke am ende eliminieren, indem du den normierten normalenvektor durch einen "gewöhnlichen" ersetzt. bei mir kommt mit methode 2 raus n2 = (2/2/-1). kann das sein? werner
15.04.2006, 19:16	incass	Auf diesen Beitrag antworten »
A(2/3/4) B(6/5/16) C(0/1/z) Ebene aus A,B und C: E: [2, 3, 4] + k [4, 2, 12] + l [-2, -2, z-4] Kreuzprodukt [4, 2, 12] X [-2, -2, z-4] = [2z + 16 , -4z-8, -4] [2z + 16 , -4z-8, -4] * [2, 3, 4] = -8z - 8 P(0/0/0) in HNF: (8z + 8)/ sqrt((2z+16)^2 + (-4z-8)^2 + 16) = 2 8z + 8 = 2 sqrt((2z+16)^2 + (-4z-8)^2 + 16) \| beidseitig quadrieren und ausmultiplizieren und zusammenfassen 16 z^2 + 384z + 1280 = 0 \|:16 z^2 + 24 z + 80 = 0 \|auflösen, z.B. pq Formel z = -4 oder z = -20 Damit lauten die beiden Ebenen E1: 8x + 8y -4z = 24 E2: -24x + 72y -4z = 152
15.04.2006, 19:19	.seb.	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Beitrag ist nicht mehr relevant.
15.04.2006, 20:35	aRo	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ist richtig soweit ich das sehe. 2) -2a - 3b - 4c = 2 hatte ich mir so geadcht: HNF lautet ja: $\begin{eqnarray} E: (\vec{x}-\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}) \cdot \vec{n}=0 \end{eqnarray}$ damit ist d(E,0) = $\begin{eqnarray} -\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}\cdot \vec{n}=0 \end{eqnarray}$ so kommst du auf die Gleichung. @incass: wie kommst du auf C(0\|1\|z)? und wozu genau das hier: [2z + 16 , -4z-8, -4] * [2, 3, 4] = -8z - 8
15.04.2006, 20:59	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
müßte dann wahrscheinlich heißen +/-2 werner
Anzeige

15.04.2006, 21:05	aRo	Auf diesen Beitrag antworten »
mist, du meinst hier: damit ist d(E,0) = $\begin{eqnarray} -\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}\cdot \vec{n}=0 \end{eqnarray}$ ?? Da habe ich mich verschrieben. Muss heißen $\begin{eqnarray} \|-\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}\cdot \vec{n}\|=2 \end{eqnarray}$
15.04.2006, 23:57	incass	Auf diesen Beitrag antworten »
C(0/1/z) ist frei gewählt. Man hätte das ganze auch mit jedem anderen Punkt durchrechnen können, hauptsache eine Koordinate bleibt als Parameter stehn. Hinterher ist dann gefordert worden, dass der Abstand zum Ursprung 2 LE ist. Dann ist der Wert für z der Scharebene berechnet worden, für den dies gilt. Man hat also die Schar der Ebenen aufgestellt, welche die Gerade AB enthalten und hinterher geschaut welche dieser Ebenen den Abstand 2 LE zum Ursprung haben. Der Zwischenschritt [2z + 16 , -4z-8, -4] * [2, 3, 4] = -8z - 8 gehört zu der Umrechnung von der Parameter- in die Koordinatenform: Bis zu diesem Schritt war klar, dass die Ebene die Form (2z+16)x - (4z+8)x - 4 z = d haben muss. Der Rechnenschritt [2z + 16 , -4z-8, -4] * [2, 3, 4] = -8z - 8 liefert nun einen Wert für d (d = -8z - 8). D.h. Die Ebene hat die Form Ez = (2z+16)x - (4z+8)x - 4 z = -8z - 8

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »