Ebene: Normalform in Parameterdarstellung

15.04.2006, 23:24

sepp1

Ebene: Normalform in Parameterdarstellung

Hallo!

Wenn ich eine Ebene der Normalform
$\begin{eqnarray*} a \cdot x + b \cdot y + c \cdot z + d = 0 \end{eqnarray*}$
habe, wie bringe ich diese dann in eine Parameterdarstellung
$\begin{eqnarray*} X = A + s \cdot \vec{a} + t \cdot \vec{b} \end{eqnarray*}$
wobei $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ normal aufeinander stehen?

MfG
sepp1

15.04.2006, 23:26

marci_

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mit hilfe von spurpunkten zum beispiel...

15.04.2006, 23:28

aRo

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a und b sollen unbedingt normal auf einander stehen?

sonst kannst dus einfach so machen:
x1 = erste Zeile
x2 = zweite etc und dann nach r und s auflösen und in die dritte einsetzen.

aRo

16.04.2006, 00:32

MAX-NEUSS

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Sagen wir du hast eine Ebene die so ausschaut:

$\begin{eqnarray*} 2x_1+3x_2-1x_3=-4 \end{eqnarray*}$
(ist ja quasi die normalenform nur anders geschrieben!)

dann löst du nach einer von den drei variablen auf, z.b. $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ in dem Falle, weil sich das gerade so schön anbietet.

Also schreibst du:

$\begin{eqnarray*} 2x_1+3x_2+4=x_3 \end{eqnarray*}$

dann schreibst du die anderen beiden vablen folgendermaßen drunter bzw drüber:

$\begin{eqnarray*} 1x_1+0x_2+0=x_1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0x_1+1x_2+2=x_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2x_1+3x_2+4=x_3 \end{eqnarray*}$

Dann kreiste die "Vektoren" an die untereinander stehen und
daraus folgt dann deine Parameter darstellung:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} + k*\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + m*\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

liebe grüße, ich hoffe ich konnte auch mal jemandem helfen wo mir doch so lieb hier geholfen wird immer smile

16.04.2006, 21:56

riwe

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RE: Ebene: Normalform in Parameterdarstellung

Zitat:

Original von sepp1
wobei $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ normal aufeinander stehen?

MfG
sepp1

das ist wohl in der regel NICHT der fall und auch NICHT NOTWENDIG!
werner

18.04.2006, 17:12

sepp1

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RE: Ebene: Normalform in Parameterdarstellung

Zitat:

Original von wernerrin

Zitat:

Original von sepp1
wobei $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ normal aufeinander stehen?

MfG
sepp1

das ist wohl in der regel NICHT der fall und auch NICHT NOTWENDIG!

In der Regel nicht, aber in diesem Fall müsste ich einen Punkt im dreidimensionalen, der auf einer Ebene liegt in zweidimensionale Koordinaten umrechnen, wobei die Ebene das Koordinatensystem festlegt. Gibts da evtl. noch eine andere Möglichkeit?

EDIT: Einen Richtungsvektor hab ich schon gegeben: (0, y, 1).

MfG
sepp1

18.04.2006, 17:34

riwe

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RE: Ebene: Normalform in Parameterdarstellung
dann wäre mit $\begin{eqnarray*} \vec{a} =\begin{pmatrix} 0 \\ y \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ der vektor $\begin{eqnarray*} \vec{b} =\begin{pmatrix} 0 \\ y \\ 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ der gesuchte senkrechte vektor.
werner

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