extremwertproblem |
| 07.07.2008, 14:52 | Baller | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| extremwertproblem ein punkt des rechtecks soll auf der seite c liegen als zielfunktion hab ich jetzt A(x,y)=x*y könnte mir vllt jmd eine mögliche nebenbedingung sagen? Rolling Eyes hab bis jetzt nur A(x,y)=x*y x+y=U/2 A(x)=x*(U/2-x) Umfang des Rechtecks U=2*x+2*y U=2*(60-(60-x))+2*(80-(80-y)) aber des brngt mich ja nicht weiter.. |
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| 07.07.2008, 14:57 | Zizou66 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ist das die volle Aufgabenstellung? Dann kommst du nämlich mit dem Umfang des Rechtecks nicht weiter. Ich würde versuchen etwas über die Aussage, dass nur ein Punkt auf der Seite c liegen soll, zu machen. Du hast doch schon eine Skizze oder? |
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| 07.07.2008, 15:04 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: extremwertproblem Den Umfang braucht man nicht, denn der Flächeninhalt soll maximal sein. Ausserdem mögest du die Angabe dahingehend kontrollieren, ob nicht etwa eine Seite des Rechteckes auf der Seite c liegen soll. Im Normalfall lautet nämlich die Angabe so. Die Nebenbedingung erreichst du in diesem Fall mittels Ähnlichkeit (vorher noch die Höhe auf c des Dreieckes berechnen, was über die Flächenformeln leicht geht). mY+ |
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| 07.07.2008, 15:09 | Baller | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
im buch ist noch eine skizze mit dabei und da ist eig nur gegeben dass die seite a=60 und b=80 ist unser lehrer hat gesagt wir können annehmen dass das dreieck rechtwinlig ist also ist c=100 und in der skizze ist das rechteck mit einem punkt auf der seite c und die gegenüberliegen ecke auf dme punkt B |
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| 07.07.2008, 15:16 | Zizou66 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das mit dem rechtwinkligen Dreieck ist ja schon mal etwas wichtiges. Also ist .
Müsste die Ecke, die der auf der Seite c, gegenüber liegt nicht eigentlich dann im Punkt C sein? Jedenfalls wenn man die Seite, die einem Eckpunkt gegenüberliegt mit dem gleichen Buchstaben bezeichnet. |
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| 07.07.2008, 15:20 | Baller | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ja dann wär der punkt C und es muss laut aufgabe genauso sein wie in der skizze also nur ein punkt auf der seite c=100 könnte man sagen das rechteck wird am größten wenn man die höhe nimmt von der seite c aus in dne punkt C als diagonale nimmt? |
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| 07.07.2008, 15:32 | Zizou66 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich würde jetzt die Seite c unterteilen. Und zwar an der Stelle in der, der Punkt des Rechtecks auf c trifft. Den einen Teil nennst du und den anderen . Jetzt kannst du die Winkel und bestimmen und mit deren Hilfe die Seiten x und y, abhängig von d darstellen. Versuch das mal 
Edit: Eigentlich brauchst du nicht mal die Werte der Winkel, sondern die der verschiedenen Sinus. |
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| 07.07.2008, 16:03 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Bitte keine Winkel, Sinus und Unterteilungen der Seite c einführen! Das verkompliziert die Aufgabe unnötig. Mittels Ähnlichkeit (Verhältnisse) ist sofort 240 = 4x + 3y * *) wenn x und y die Seiten des Rechteckes sind [(60 - x) : x = 60 : 80 oder (80 - y) : x = 80 : 60 liefern die gleiche Beziehung] mY+ |
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| 07.07.2008, 16:19 | Baller | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ja dann habe ich aber doch immer noch zwei unbekannte 
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| 07.07.2008, 16:55 | Baller | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
wenn ich den snius bilde habe ich doch wieder zwei unbekannten weil ich den winkel doch nicht weiß oder? |
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| 07.07.2008, 17:03 | Zizou66 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Doch den Winkel kannst du ganz leicht berechnen. Du weißt, dass es ein rechtwinkliges Dreieck ist, kannst daher verwenden. Letztlich kannst du dann die Seiten des Rechtecks in Abhängigkeit von d und sin alpha, bzw. beta, aufschreiben. Allerdings sind sinus alpha und beta berechenbar also keine Unbekannten. |
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| 07.07.2008, 17:24 | Baller | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
jo dann bekomm ich für alpha 36,87 -> betha 53,13 und als höhe der seite c ist dann 48 kann man davon ausgehen dass wenn man die höhe der seite c nimmt auch automatisch den größten flächeinhalt bekommt? |
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| 07.07.2008, 17:27 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: extremwertproblem Zwei Seiten des Rechtecks müssen offenbar auf den Katheten des Dreiecks liegen. Z. B. Seite x = CF auf Seite a und Seite y = CD auf Seite b. Der vierte Punkt E des Rechtecks liegt auf c. Sei AE = z. Mittels der Ähnlichkeit der Dreiecke ABC und AED lassen sich x und y durch z ausdrücken. Die Fläche F = xy wird zu einer quadratischen Funktion von z, deren Maximum keicht bestimmbar ist. |
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| 07.07.2008, 17:28 | Zizou66 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das habe ich nicht überprüft, allerdings trägt das auch nichts zu der Lösung bei, die ich anstrebe: Ich habe oben mal gesagt, dass du nun die Seiten des Rechtecks mit Hilfe der Winkel des Dreiecks darstellen kannst. Das lässt sich an einer Skizze, falls du eine hast, sehr leicht erkennen. Das liefert dir dann die nötige Nebenbedinung! |
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| 07.07.2008, 17:56 | Baller | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
sick endlich die lösung oder was^^ wenn ich c unterteil und den an punkt B gelegenen streckenabschnitt d nenne und den darunter 100-d bekomm ich für sin betha = y / d und sin alpha = x / 100-d dann lös ich die erste gleichung nach d auf dann hab ich d = 1,25*y und wenn ich dass in die andere gleichung einsetzte sin alpha = x / (100-(1,25*y)) -> y=80-4/3*x ist das korrekt kann ich damit weiterrechnen?? |
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| 07.07.2008, 18:02 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
So wird das nichts und alles dreht sich nur im Kreis. Die Nebenbedingung lautet (wie schon weit oben bemerkt) 240 = 4x + 3y und die Hauptbedingung A = x*y Damit ist die Aufgabe in Windeseile lösbar. Wie man zu der Nebenbedingung kommt, sollte eine Skizze klären (ähnliche Dreiecke!) .. . Bei Bedarf (?) kann ich eine veröffentlichen. @Baller Was meinst du mit "... sick endlich die lösung oder was^^ ...", du wirst doch nicht unhöflich sein wollen - oder was? mY+ |
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| 07.07.2008, 18:05 | Baller | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
die maximale flächeninhalt mit der funktion ist 1200 und die entsprechenden seiten x=30 und y=40 right?^^ |
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| 07.07.2008, 18:08 | Baller | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
haha nee sollte nicht unhöflich rüberkommen hab mich eigentlich nur gefreut^^ danke für eure hilfe nochmal eine skizze wär hilfreich damit ich den lösungsweg auch noch verstehe^^ |
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| 07.07.2008, 18:09 | Zizou66 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Mir ist nich ganz klar, was du da machst. Es scheint mir weitestgehend korrekt zu sein, allerdings ist es umständlich. Wenn du jetzt einfach und nach x und y auflösen würdest, könnest du das in deine Hauptbedingung einsetzen: und wenn du dann noch für sin alpha und sin beta die Werte einsetzt, die du berechnen kannst, also 0,6 und 0,8 einsetzt, dann ist die Aufgabe schon fast gelöst. Edit: Ich habe wohl zu lange geschrieben... |
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| 07.07.2008, 18:14 | Baller | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
also so wie ich dass jetzt gemacht und mit den gleichungen von mYthos kommt das gleiche ergebnis raus deswegen ist wohl beides korrekt ist^^ @Zizou66 nach was willst du dann deine gleichung da auflösen nach dem minimum oder maximum von d oO |
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| 07.07.2008, 18:20 | Zizou66 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Falls du die Funktion A(d) meinst, habe ich diese dann noch abgeleitet und gleich null gesetzt, um den Extrempunkt zu bestimmen.
Die Funktion A(d) hat kein lokales Minimum! |
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| 07.07.2008, 18:30 | Baller | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@Zizou66 thx nochmal hab deine variante jetzt auch verstanden ^^ find nur meine besser weil man da dann ganz leicht die seiten ausrechnen kann wenn man dann 30*y=1200 hat |
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| 07.07.2008, 18:35 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dein Ergebnis stimmt. Hier noch eine schnelle Skizze: [attach]8410[/attach] mY+ @Zizou... Was ist an meinem Weg unverständlich bzw. umständlich? Ich habe (fast) den ganzen Weg - ausser der Ableitung - bereits hingeschrieben. Ich finde eher deine Variante umständlich und habe den Verdacht, dass du meinen Weg nicht verstehst und deshalb auf deinem verharrst ... . Man löst ein- oder umgeschriebene Figuren meistens mittels Ähnlichkeit auf. |
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| 07.07.2008, 19:01 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Stimmt exakt! |
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| 07.07.2008, 19:10 | Zizou66 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich habe mich, als ich sagte, dass ich nicht weiß, was er tut und dass es umständlich aussieht, nicht auf dich bezogen, sondern auf Baller. Denn das hier hatte ich nicht ganz durchschauen können:
Es hat also nichts mit Kritik an deinem Lösungsweg zu tun. Das ist ein Missverständnis. |
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| 07.07.2008, 19:15 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok, dann ist alles klar... sorry. Ich denke, dass erst die Skizze zeigt, wie einfach eigentlich die Aufgabe zu lösen ist. Es stimmt auch die Aussage von Baller nicht, dass zuerst A = 1200 als Resultat erscheint und daraus eine Seite des Rechteckes berechnet werden kann. Vielmehr liefert erst das Nullsetzen der Ableitung eine Seite (x = 30), aus der Nebenbedingung folgt die andere (y = 40) und dann erst kann die Fläche (1200) angegeben werden. mY+ |
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| 07.07.2008, 19:20 | Zizou66 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Kein Problem, der Bezug meiner Aussage war ja wirklich nicht klar. Anfangs hatte ich auch Probleme deinen Ansatz nachzuvollziehen, aber mit ein bisschen gutem Willen und etwas Zeit hat er sich mir erschlossen. |
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| 07.07.2008, 19:54 | Baller | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
im aufgaben teil b soll nun eine grundseite des rechtecks auf c liegen und die anderen 2 punkte des rechtecks auf a und b der flächeninhalt soll wieder maximal werden geht diesmal nur dieser verhältnissatz oder wieder eine lösung mit dem sinus? |
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| 07.07.2008, 19:56 | Zizou66 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich weiß nicht genau, wie es mit der Ähnlichkeit aussieht. Mit "dem Sinus", wie du es nennst, kann man es aber auf jeden Fall wieder machen. |
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| 07.07.2008, 20:24 | Baller | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ich hab jetzt mal die seite a in 60-z und z eingeteilt und b in u und 80-u sin alpha= x / (80-u) und sin betha = x / (60-z) frage sind an den punkten des rechtecks auf den seiten a und b stufenwinkel dann würde namlich gelten sin alpha = z / y und sin betha = u / y |
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| 07.07.2008, 20:36 | Baller | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hab jetzt als funktion sin alpha * (80-u) * (u/sin betha) dies gilt nur wenn da stufenwinkel sind kann mir das mal jmd bestätigen hab dann als stelle für das maximum 40 raus und flächeninhalt wie in teil a 1200 |
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| 08.07.2008, 00:55 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sicher wird wieder beides funktionieren. Zu bevorzugen ist allerdings der Verhältnissatz. Zunächst ist - wie anfangs auch schon erwähnt - noch die Höhe des Dreieckes zu berechnen (h = 48). Dazu verwenden wir A = a*b = c*h, -> h [attach]8411[/attach] Sofort ist ersichtlich: c : h = x : (h - y) 100 : 48 = x : (48 - y) .. Nebenbedingung ...... Die 40 in deinem Ergebnis kann ich nicht nachvollziehen, wohl aber die Fläche des Rechteckes (x = 50, y = 24; A = 1200) mY+ |
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