Ebenengleichung aus Geradenschar

16.04.2006, 12:46

Millhouse

Ebenengleichung aus Geradenschar

hallo...
erst mal frohe ostern an alle.
ich hab die geradenschar
$\begin{eqnarray*} g_t:x=\begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} +r\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
alle geraden sind in einer ebene F enthalten, und ich soll die koordinatenform dieser ebene bestimmen. dazu brauche ich aber wahrscheinlich erst die parameterform. aber ich komme da irgendwie auf keinen ansatz, wie das gehen soll...
wäre für einen kleinen tipp dankbar smile

16.04.2006, 13:03

Abakus

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RE: Ebenengleichung aus Geradenschar
Es ist:

$\begin{eqnarray*} x_E(r,~t) = \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} +r\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} +r * \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + t * \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ r \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Daraus müsstest du weitere Schlüsse ziehen.

Grüße Abakus smile

**** verschoben zum Forum Geometrie ****

16.04.2006, 13:08

marci_

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oder:

x1=-3+r
x2=3-r
x3= rt

jetzt r und t eliminieren

16.04.2006, 13:45

incass

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Wenn alle Geraden in der Ebene F liegen, so enthält diese Ebene auch die Gerade g0 und g1.

$\begin{eqnarray*} F: \vec{x} =\begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Eine Umrechnung in Koordinatenform kannst du direkt im Kopf machen:

F: x + y = 0

Erklärung: Ein Vektor, der zu beiden Richtungsvektor senrkecht ist, muss der Vektor n = [1 1 0] sein. [1 1 0] * [-3 3 0] = 0

16.04.2006, 13:51

aRo

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bei incass ansatz hätte ich dann sicherhaltshalber nochmal bewiesen, dass auch wirklich alle $\begin{eqnarray*} g_t \end{eqnarray*}$ in dieser Ebene liegen!

PS. Frohe Ostern! Wink

16.04.2006, 13:56

MAX-NEUSS

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Erklärung: Ein Vektor, der zu beiden Richtungsvektor senrkecht ist, muss der Vektor n = [1 1 0] sein. [1 1 0] * [-3 3 0] = 0

Tipp verwende das Kreuzprodukt für die berechnung des Normalenvektors, geht schneller

sagen wir du hast die Richtungsvektoren
[1 -1 1] und [-3 3 0]
dann rechnest du folgende operation

[1 -1 1] x [-3 3 0] auch Kreuzprodukt genannt!

es geht so:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_2*b_3-b_2*a_3 \\ -(a_1*b_3-b_1*a_3) \\ a_1*b_2-b_1*a_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

in unserem falle (ich hab den -3 3 0 er mal gekürzt, ist einfacher)
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1*(-1)-0*(-1) \\ -(1*1-1*0) \\ 1*(-1)-1*(-1) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

16.04.2006, 14:01

aRo

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in der fettgeschriebenen Schrift solltest du wohl Spatprodukt durch Vektorprodukt/Kreuzprodukt ersetzen Augenzwinkern

16.04.2006, 14:02

MAX-NEUSS

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Gesagt getan smile

16.04.2006, 14:05

MAX-NEUSS

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RE: Ebenengleichung aus Geradenschar

Zitat:

Original von Abakus
Es ist:

$\begin{eqnarray*} x_E(r,~t) = \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} +r\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} +r * \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + t * \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ r \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Daraus müsstest du weitere Schlüsse ziehen.

Grüße Abakus smile

**** verschoben zum Forum Geometrie ****

Was ich nicht ganz verstehe, wie handhabst du das r, okay du kürzt das t im letzten vektor heraus, da t*r linear abhängig ist zu t*1

aber was würdest du tun wenn es komplizierter aussehen würde, z.b. letzter vektor (0|r|2r²)

16.04.2006, 14:05

Poff

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Zitat:

Original von aRo
bei incass ansatz hätte ich dann sicherhaltshalber nochmal bewiesen, dass auch wirklich alle $\begin{eqnarray*} g_t \end{eqnarray*}$ in dieser Ebene liegen!

Das kannst du dir sparen.
Es gibt nur eine mögliche Ebene, entweder die ist's oder nicht
und nach Aufgabenstellung ist sie es. Rechenfehler außen vor.

16.04.2006, 14:32

incass

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@ MAX-NEUSS

es gibt Fälle (wie der hier), in denen man das Kreuzprodukt nicht brauch. Was soll ich groß rumrechnen, wenn ich den senkrechten Vektor mehr oder weniger direkt ablesen kann ?

16.04.2006, 14:33

MAX-NEUSS

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Stimmt da haste recht!!!! Hmm aber wie handhabt er nun das r im Vector

16.04.2006, 15:34

Millhouse

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daanke für die vielen antworten, ich denke ich habe es jetzt hingekriegt, habe auch x+y=0 raus.

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