Galoisgruppe

08.07.2008, 13:10

Kalle8

Galoisgruppe

Guten Tag.

Ich brauche Hilfe für folgende Aufgabe:

Sei $\begin{eqnarray*} f = t^4-8t^2+1 \end{eqnarray*}$ . Sei $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ der Zerfällungskörper von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ .

Bestimme

a) die Elemente und Struktur der Gruppe $\begin{eqnarray*} {\mathop{\rm Gal}\nolimits} \left( {L|\mathbb{Q}} \right) \end{eqnarray*}$ ;

b) alle Teilkörper $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} [F:L] = 2 \end{eqnarray*}$ , angegeben in der Form $\begin{eqnarray*} F = \mathbb{Q}(\sqrt{?}) \end{eqnarray*}$ ;

c) die Ordnungen von $\begin{eqnarray*} {\mathop{\rm Gal}\nolimits} \left( {f|\mathbb{Q}(\sqrt{2})} \right) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} {\mathop{\rm Gal}\nolimits} \left( {f|\mathbb{Q}(\sqrt{5})} \right) \end{eqnarray*}$ .

Ich hab erstmal die Nullstellen von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ bestimmt:

$\begin{eqnarray*} t = \pm \sqrt {4 \pm \sqrt {15} } \end{eqnarray*}$ sind die 4 reellen Nullstellen von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ .

Ist denn nun $\begin{eqnarray*} L = \mathbb{Q}\left(\sqrt {4 + \sqrt {15} }, \sqrt {4 - \sqrt {15} }\right) \end{eqnarray*}$ der Zerfällungskörper?

Und was muss ich bei den Aufgaben alles machen, bzw. wie kann ich das am besten zeigen?

Danke schon mal im Voraus.

08.07.2008, 19:45

therisen

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Zunächst solltest du den Grad der Körpererweiterung und damit den Grad der Galois-Gruppe bestimmen. Das verrät dir bereits einiges über die Struktur der Galois-Gruppe. Damit lässt sich dann der Rest gut lösen.

09.07.2008, 14:30

Kalle8

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Ne kurze Frage noch:

Ist denn $\begin{eqnarray*} \sqrt{4-\sqrt{15}} \in \mathbb{Q}(\sqrt{4+\sqrt{15}}) \end{eqnarray*}$ ?

Weil hiermit komme ich irgendwie nicht klar.

09.07.2008, 17:57

therisen

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Zitat:

Original von Kalle8
Ist denn $\begin{eqnarray*} \sqrt{4-\sqrt{15}} \in \mathbb{Q}(\sqrt{4+\sqrt{15}}) \end{eqnarray*}$ ?

Ja. Einfach mal ein bisschen rechnen und gut hinsehen Augenzwinkern

09.07.2008, 19:54

Kalle8

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gut... habs jetzt auch nachgerechnet...

Ist denn jetzt mein Zerfällungskörper $\begin{eqnarray*} L = \mathbb{Q}(\sqrt{4+\sqrt{15}} \end{eqnarray*}$ .

Und ist dann $\begin{eqnarray*} [L:\mathbb{Q}] = 4 \end{eqnarray*}$ .

Vielen Dank nochmal für deine Hilfe

09.07.2008, 22:23

therisen

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Genau. Einfache Körpererweiterungen sind schön einfach Augenzwinkern

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