Zufallsvariable, Verteilungsfunktion und Wahrscheinlichkeitsdichte

09.07.2008, 12:46

Meisenmann

Zufallsvariable, Verteilungsfunktion und Wahrscheinlichkeitsdichte

Hi,

ich hab bisher noch keine Vorlesung über Statistik, Stochastik o. Ä. besucht. In meinem Script das ich gerade Lerne werden diese Themen nur am Rande erwähnt. Dabei treten folgende drei Begriffe auf mit denen ich nichts anfanken kann. (Wikipedia hab ich natürlich benutzt, aber bin mir nicht 100%ig sicher ob ich das richtig interpretiere)

- Zufallsvariable
- Verteilungsfunktion
- Wahrscheinlichkeitsdichte

Also wie ich das Verstanden habe beinhaltet die Zufallsvariable X alle Werte die durch ein Zufallsexperiment erreicht werden können?

Lg Meisenmann

09.07.2008, 12:50

aRo

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Die Zufallsvariable ist eine Funktion - daher ist "variable" auch etwas unglücklich, wie ich finde.

Die Zufallsvariable bildet vom Stichprobenraum $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ in die reellen Zahlen ab.

Beispielsweise könnte ich sagen, meine Zufallsvariable soll gerade Zahlen beim Wurf mit einem sechsseitigen Würfel zählen.

Dann würde ich halt definieren, dass X eins wird, wenn die Zahl gerade war, und sonst null.

09.07.2008, 15:43

Meisenmann

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Hi,

erstmal vielen Dank für deine Antwort, aRo.

Also $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ sind die einzelnen Stichproben. z. B. 5 Würfelwürfe

$\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ = { 3, 5, 2, 6, 3 }

Wenn ich nun X so definiere dass sich für eine gerade Zahl eine 1 ergibt und für eine ungerade eine 0, dann ist

X( $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ ) = { 0, 0, 1, 1, 0 }

hab ich das soweit richtig verstanden?

Und was mir halt noch fehlt ist die Definition der anderen beiden Begriffe

- Verteilungsfunktion
- Wahrscheinlichkeitsdichte

Lg
Meisenmann

10.07.2008, 20:41

aRo

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Ja, ich denke du hast das Prinzip verstanden..

Hier noch ein Beispiel:
Du befragst 100 Studenten. Die könntest du jetzt mal durchnummerieren, irgendwie so:

$\begin{eqnarray*} \Omega = {\omega = (\omega_1 \dots \omega_100)} \end{eqnarray*}$

Jetzt könntest du dir 3 Zufallsvariablen $\begin{eqnarray*} X_i, Y_i, Z_i \end{eqnarray*}$ definieren, wobei:

$\begin{eqnarray*} X_i(\omega) \end{eqnarray*}$ : Alter in Jahren des i-ten Studenten

$\begin{eqnarray*} Y_i(\omega) \end{eqnarray*}$ : Einkommen des i-ten Studenten

$\begin{eqnarray*} Z_i(\omega) \end{eqnarray*}$ : Miete des i-ten Studenten

oder sowas.

Verteilungsfunktion:

Das ist eine Funktion, die einer Zufallsvariabel die Wahrscheinlichkeit zuordnet, kleiner oder gleich einer bestimmten Realisation zu sein, in Formeln:
$\begin{eqnarray*} F_X(x) = P(X \leq x) \end{eqnarray*}$
Beachte: X ist die Zufallsvariable, x ist eine Realisation.
Die Verteilungsfunktion ist:
- rechtsseitig stetig.
- monoton wachsend.

und was meinst du, was gilt für die Grenzwerte ins unendliche?

10.07.2008, 21:50

Meisenmann

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Hi aRo!

Also zunächst mal vielen Dank für deine Mühe!

Das mit der Zufallsvariable erscheint mir logisch, aber mit der Erklärung der Verteilungsfunktion hab ich noch ein paar Probleme.

Eine Realisation ist ein Wert eines Experimentes oder Befragung,

- Würfelwurf: 5
- Studentenalter: 22

stimmt das soweit?

Aber wie du erklärt hast ist X doch keine Variable sondern eine Funktion und wie kann ich eine Funktion mit einem Wert vergleichen, also "X<x"?

Mal angenommen die Stichprobe besteht aus drei Studenten

Alter 20, 22, 26

Dann ist:

$\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ ={20, 22, 26} und

X(w1) = 20, X(w2)=22 und X(w3) = 26

und die möglchen Realisationen sind 20, 22 und 26

Soweit richtig?

Aber wie kann ich jetzt eine Zufallsvariable X mit einer Realisation x vergleichen, da vergleiche ich doch Birnen mit Äpfel?

Lg Meisenmann

10.07.2008, 22:47

aRo

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hallo Meisenmann!

Eine Realisation ist ein Wert, den dir deine Zufallsvariable ausspuckt! (remember: die ZV ist eine Abbildung)

Also würdest du sagen:
Wurde $\begin{eqnarray*} \omega \in \Omega \end{eqnarray*}$ gezogen, dann heißt $\begin{eqnarray*} x = X(\omega) \end{eqnarray*}$ Realisation.

Zu deinem Beispiel mit den Studenten:
Nein, dein Stichprobenraum ist sowas wie:
$\begin{eqnarray*} \Omega =\{ \omega_1,\omega_2,\omega_3\} \end{eqnarray*}$
wobei $\begin{eqnarray*} \omega_i \end{eqnarray*}$ den i-ten Student bezeichnet.

Zitat:

X(w1) = 20, X(w2)=22 und X(w3) = 26

das stimmt dann wieder, wenn eben die Definition von meinem Post oben gilt.

Insofern macht ein Vergleich X=x durchaus Sinn! Du fragst damit im Prinzip, ob deine Zufallsvariable eben diese Realisation x ausspuckt!

10.07.2008, 23:32

therisen

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Zitat:

Original von aRo
Eine Realisation ist ein Wert, den dir deine Zufallsvariable ausspuckt! (remember: die ZV ist eine Abbildung)

(...)

Nein, dein Stichprobenraum ist sowas wie

(...)

Insofern macht ein Vergleich X=x durchaus Sinn! Du fragst damit im Prinzip, ob deine Zufallsvariable eben diese Realisation x ausspuckt!

Anmerkung: Diese Begriffe und die damit verbundene Sichtweise/Interpretation werden (ausschließlich?) in der Statistik verwendet. In der Wahrscheinlichkeitstheorie meint man ganz formal $\begin{eqnarray*} \{X= x\}=\{\omega\in\Omega: X(\omega)=x \} \end{eqnarray*}$ und interpretiert $\begin{eqnarray*} P(X= x):=P(\{X=x\}) \end{eqnarray*}$ als das Maß, welches man der messbaren Menge $\begin{eqnarray*} \{\omega\in\Omega: X(\omega)=x \} \end{eqnarray*}$ zuordnet. Diese Notation ist etwas schlampig und anfangs evtl. verwirrend, aber sie ist praktisch und nützlich für die Intuition (das lernt man mit der Zeit).

10.07.2008, 23:40

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Da gibt's wohl auch regionale Unterschiede in der Notation, ich habe das als

$\begin{eqnarray*} [X= x] :=\{\omega\in\Omega: X(\omega)=x \} \end{eqnarray*}$

kennengelernt. Aber das ist auch nicht der Weisheit letzter Schluss, denn eckige Klammern sind ja auch schon hinreichend oft verplant... Augenzwinkern

11.07.2008, 09:35

Meisenmann

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Also nochmal vielen Dank an alle!

Ich glaub ich steh auf'm schlauch, ich versteh nicht wie man eine Funktion (oder Abbildung) mit einem Wert vergleichen kann.

X < x

Wie macht man sowas -> X hat ja keinen bestimmten Wert (z. B. 22) und x beistzt ja einen Wert.

So wie ich das verstehe kann man villeicht X(w1) < x berechnen aber nicht X < x

Wo liegt mein Denkfehler?

Lg Meisenmann

11.07.2008, 09:38

therisen

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Zitat:

Original von Meisenmann
Also nochmal vielen Dank an alle!

Ich glaub ich steh auf'm schlauch, ich versteh nicht wie man eine Funktion (oder Abbildung) mit einem Wert vergleichen kann.

X < x

Hast du mir nicht zugehört? $\begin{eqnarray*} X<x \end{eqnarray*}$ steht für die Menge $\begin{eqnarray*} X^{-1}(]-\infty, x[) \end{eqnarray*}$ . Üblicherweise tritt diese Schreibweise aber nur innerhalb von P(...) auf und dann macht das auch Sinn.

11.07.2008, 14:31

Meisenmann

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Hi,

also nochmal danke!

Jetzt hab ich das Verstanden.

Eine Zufallsvariable X kann einen bestimmten Wert annehmen, x ist ein Wert den X annehmen kann und F(x) ist die Wahrscheinlichkeit dass X<x ist.

THX

Lg

11.07.2008, 14:39

therisen

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Richtig.

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