Problem bei Gleichungsaufgabe

09.07.2008, 23:54

neo200

Moin,

ich habe folgende Gleichung gegeben:

$\begin{eqnarray*} x(t)=C e^{(-rt)} cos(wt- \alpha) \end{eqnarray*}$

Es sollen C und $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ bestimmt werden!
Dafür sind folgende Bedingungen gegeben:

$\begin{eqnarray*} x(t=0)=0 \end{eqnarray*}$ und für die zeitliche Ableitung von x , die ich hier mal mit x´ bezeichne gilt:

$\begin{eqnarray*} x'(t=0)=f \end{eqnarray*}$

So, rauskommen soll für $\begin{eqnarray*} \alpha=\pi/2 \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} C=f/w \end{eqnarray*}$

Aber ich komm da einfach net drauf!

Wenn ich jetzt x(t=0)=0 einsetze steht da ja:
$\begin{eqnarray*} x(t=0)= 0 = C e^{(0)} cos(0 - \alpha) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 = C cos(0 - \alpha) \end{eqnarray*}$

Ja aber wie komme ich dann auf mein alpha?? Und wie man das C kommt ist mir auch net klar... Kann mir jemand helfen??

10.07.2008, 01:47

mYthos

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Stimmt doch!

$\begin{eqnarray*} \cos (-\alpha) = \cos (\alpha) \ \ !! \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \cos (\alpha) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \to \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \alpha = \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} C \neq 0 \end{eqnarray*}$

Dieses bestimmst du mittels der Ableitung*.

mY+

P.S.:
Deine beiden Beiträge wurden zusammengefügt.
________________________

*
In der Ableitung wird t = 0 und $\begin{eqnarray*} \alpha = \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ eingesetzt, daraus folgt

$\begin{eqnarray*} f = C \cdot \omega \end{eqnarray*}$

10.07.2008, 08:18

neo200

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Danke für die Antwort.

Also $\begin{eqnarray*} cos(-\alpha)= cos(\alpha) \end{eqnarray*}$ ist ja eine allgemeine Bedingung. Den Schritt verstehe ich. Dann teile ich durch C und habe nur noch $\begin{eqnarray*} cos(\alpha)=0 \end{eqnarray*}$ stehen. Und dann muss ich einfach nur schauen für welches $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ der cosinus 0 wird??

Ich habe da einfach durch $\begin{eqnarray*} cos(\alpha) \end{eqnarray*}$ geteilt, aber dann steht da ja nicht $\begin{eqnarray*} 0=0 \end{eqnarray*}$ sondern $\begin{eqnarray*} 1=0 \end{eqnarray*}$ und somit wäre die Gleichung nicht erfüllt...

Manchmal kommt man einfach nicht drauf obwohl es so logisch ist...

Aber mal angenommen ich würde es so machen:

$\begin{eqnarray*} x(t)=0= C cos(0-\alpha) \end{eqnarray*}$

wenn ich jetzt durch $\begin{eqnarray*} cos(\alpha) \end{eqnarray*}$ teile habe ich doch da stehen

$\begin{eqnarray*} C=0 \end{eqnarray*}$ oder nicht??

11.07.2008, 01:20

mYthos

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Du darfst prinzipiell nicht durch Faktoren, die Null werden können, dividieren, sondern musst sie einzeln Null setzen, sofern deren Produkt Null ist. Daher ist das Dividieren durch $\begin{eqnarray*} \cos \alpha \end{eqnarray*}$ (einen Faktor, welcher Null sein kann) nicht zulässig, sondern es ist der Produktsatz anzuwenden: Wenn ein Produkt Null ist, so muss mindestens ein Faktor dessen Null sein. Hier können beide Faktoren Null sein. Da aber C = 0 nicht sinnvoll ist, setzt du nur den anderen Faktor gleich Null und erhältst daraus $\begin{eqnarray*} \alpha = \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ .

mY+

11.07.2008, 01:37

WebFritzi

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Zitat:

Original von mYthos
$\begin{eqnarray*} \cos (-\alpha) = \cos (\alpha) \ \ !! \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \cos (\alpha) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \to \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \alpha = \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$

Das stimmt so nicht. Jedenfalls nicht, solange der Bereich nicht eingeschränkt wird, in dem alpha liegen kann.

Die angebliche Lösung ist auch nicht OK, wenn nicht gesagt wird, dass f nicht Null sein kann. Ist nämlich f = 0, dann ist C = 0 und alpha = beliebig eine Lösung.

Kurzum: In der Aufgabenstellung fehlen Angaben.

11.07.2008, 10:10

mYthos

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Das stimmt schon! Theoretisch wäre es höchstens unvollständig.
Ich weiss schon, das goniometrische Gleichungen nicht nur eine Lösung haben.

Da diese Aufgabe aber einen reellen Bezug - nämlich zur Elektrotechnik - hat (Amplitude und Frequenz, d.h. C und f sollen nicht verschwinden, DefM eingeschränkt)), wurde bewusst nur die sinnvolle Lösung mit $\begin{eqnarray*} C \neq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f \neq 0 \end{eqnarray*}$ berechnet. neo200 hat hat diese auch angegeben.

mY+

11.07.2008, 14:42

neo200

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Danke, jetzt hab ich das verstanden Wink

Genauer gesagt geht es um mechanische Schwingungen ;-)

11.07.2008, 22:53

WebFritzi

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Zitat:

Original von mYthos
Da diese Aufgabe aber einen reellen Bezug - nämlich zur Elektrotechnik - hat (Amplitude und Frequenz, d.h. C und f sollen nicht verschwinden, DefM eingeschränkt)), wurde bewusst nur die sinnvolle Lösung mit $\begin{eqnarray*} C \neq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f \neq 0 \end{eqnarray*}$ berechnet.

MMn muss sowas einfach in der Aufgabe mit angegeben werden. Ich bin halt gegen Wischi-Waschi-Mathematik. Das kann auch dazu führen, dass die Studenten denken, cos(t) = 0 führt zwangsläufig zu t = pi/2. Oder dass durch C geteilt wird ohne an C = 0 zu denken. Gerade heutzutage (wo die Studenten teilweise nicht einmal mit Brüchen umgehen können) sollte man IMHO darauf achten.

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