Aufgaben zur Kurvendiskussion und Differentialrechnung |
| 13.05.2004, 23:35 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Aufgaben zur Kurvendiskussion und Differentialrechnung da ich mir ja mithilfe dieses Boards die Differentialrechnung und die Kurvendiskussion von ganzrationalen Funktionen erarbeitet habe (Danke an alle, von denen ich dabei gelernt habe! 
), würde ich das gern mal üben, damit ichs nicht gleich wieder vergesse. Deshalb wären ein paar Übungsaufgaben nicht schlecht. Kennt jemand nen guten Link dazu oder kann mir jemand einfach mal ein paar stellen? Und Anwendungsaufgaben dazu wären dann auch nicht schlecht, wie z.B. Extremwertaufgaben, die sollten allerdings nicht zu einfach sein, da ich auch schon ein paar davon gelöst habe. Danke! 
Achja, und vielleicht danach ein paar sehr einfache Übungen zu dem Thema Differentialrechnung mit anderen Funktionen (sin, ln, e-Funktionen usw.), damit ich da mal ein wenig rumrätseln kann, wie das gehen könnte und ihr mir da vielleicht auch Tipps gebt, damit ich das gleich mit lerne (bis jetzt habe ich davon noch keine Ahnung, hab halt nur die Ableitungen im Tafelwerk gesehen). Aber wenns geht bitte nicht alles auf einmal, ich möcht erstmal mit Differentialrechnung und Kurvendiskussionen von ganzrationalen Funktionen anfangen und dann langsam weiter zu den anderen Themen. Danke auf jeden Fall für alle Antworten und Aufgaben!!!!!
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| 13.05.2004, 23:39 | Deakandy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Aufgaben zur Kurvendiskussion und Differentialrechnung Wenn ich in Aachen bin schicke ich dir mal ne Pdf...die ist sehr gut zum Üben... Also bekommste die halt montag 
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| 13.05.2004, 23:51 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Aufgaben zur Kurvendiskussion und Differentialrechnung Ok, danke!! :]
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| 14.05.2004, 20:02 | Steve | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Aufgaben zur Kurvendiskussion und Differentialrechnung Kannst du mir die Pdf auch rüber schicken wäre echt super...... Muß mich noch aufs ABi vorbereicten... 
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| 17.05.2004, 23:53 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Aufgaben zur Kurvendiskussion und Differentialrechnung Na, Deakandy hast es bis heute doch noch nicht geschafft?? 
Is ja auch nicht so schlimm. Mir is eigentlich auch egal, wann ich es kriege. Wenn ich es wenigstens bekomme, dann wär das schön und ich wär dir sehr dankbar. :] Ich wäre natürlich auch erfreut, wenn noch jemand anderes mir auch noch ein paar Aufgaben stellt. Danke euch!
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| 18.05.2004, 00:47 | Ben Sisko | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Aufgaben zur Kurvendiskussion und Differentialrechnung 1) Diskutiere die Funktion f(x)=x³-x²-x+1. 2) Wie viele Extrema (Wendestellen) kann eine ganz-rationale Funktion n-ten Grades höchstens haben? (Ich hoffe, dir ist die dafür notwendige Eigenschaft von Polynomen bekannt, ansonsten frag nochmal nach). Gruß vom Ben |
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| 18.05.2004, 06:37 | m00xi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich will auch eine PDF
)Ne mal im ernst, würd mich auch freuen
[email protected] Gruß Hanno |
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| 18.05.2004, 14:53 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Also, dann fang ich mal an. Ich hab zwar in den letzten Tagen mal eine Diskussion gesehen, wo noch ganz andere Dinge diskutiert wurden, aber dazu mehr nach meiner Lösung. Hier erstmal meine Lösung: 1) 1. Nullstellen Bedingung: x ausklammern ist nicht möglich, Cardanische Formeln kann ich nicht (bzw. das Lösen wegen den komplexen Zahlen), also muss man raten (geht auch viel schneller als Cardanische Formeln). Man sieht auf Anhieb, dass 1 und -1 erfüllende Einetzungen sind. Also Polynomdivision Es liegt also eine doppelte Nullstelle bei x=1. Die Nullstellen sind somit Die Schnittpunkte mit der x-Achse sind somit 2. Extrema Man kann zwar eigentlich schon schließen, dass bei x=1 ein Extremum liegt, da es auch doppelte Nullstelle ist, ich führe aber trotzdem mal die gesamte Extremabestimmung durch. Bedingung: Bedingung: , dann Hochpunkt, , dann Tiefpunkt Also Hochpunkt bei Also Tiefpunkt bei Bestimmung des Funktionswertes der Extrema Hochpunkt bei Tiefpunkt bei 3. Wendepunkte Bedingung: Bedingung: Wendepunkt bei Bestimmung des Funktionswertes des Wendepunkts Wendepunkt bei 2) Die Extrema eines ganzrationalen Polynoms n-ten Grades werden bestimmt durch das gleich-0-Setzen der ersten Ableitung. Ich denke, ein Polynom n-ten Grades kann (n-1) Extrema besitzen. Meine Begründung: Die Ableitung ist ein Polynom (n-1)-ten Grades. Diese kann höchstens (n-1) Nullstellen haben. Diese sind die Extrema der Ausgangsfunktion. (Dass ein Graph n-ten Grades höchstens n Nullstellen hat, habe ich mal in meinem Tafelwerk gelesen, algebraisch oder analytisch begründen kann ich es noch nicht.) Wendepunkte werden bestimmt, indem die zweite Ableitung gleich 0 gesetzt wird. Die zweite Ableitung ist ein Polynom (n-2)-ten Grades. Sie hat höchstens (n-2) Nullstellen. Diese sind dann die Wendepunkte der Ausgangsfunktion. Sie hat also höchstens (n-2) Wendepunkte. So, das wars erstmal. Jetzt noch ein paar Fragen: Ich habe eine Übersicht für eine Kurvendisskussion gesehen. Dabei wurden noch weitere Punkte diskutiert. Außerdem habe ich woanders noch zusätzlich dazu weitere Punkte gesehen. Hier alle zusammengefasst: - Steigung in den Wendepunkten - Symmetrieeigenschaften der Funktion - Schnittpunkte mit der y-Achse - Asymptoten des Graphen - Grenzwerte - Montonieverhalten des Graphen - Sprungstellen Welche dieser Punkte sollen denn nun noch zusätzlich zu meiner Diskussion in eine Kurvendiskussion eingebracht werden bzw. welche sind "Pflicht"? Und welche sind nur zu bringen, wenn danach gefragt wird? Und noch eine Frage: Wie kommt man darauf, die Wendepunkte mit der 3. Ableitung überprüfen zu müssen bzw. was bedeutet das graphisch? |
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| 18.05.2004, 15:04 | Irrlicht | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Beachte dass du mit den Nullstellen der jeweiligen Ableitungen erstmal nur die moeglichen Kandidaten fuer Extrema bzw. Wendepunkt ausrechnest. Bei y=x^5 hat man auch den Kandidaten x=0 fuer ein Extremum, aber auch den Kandidaten fuer einen Wendepunkt. Was es letztlich ist, kann man so erstmal nicht sagen. Also solltest du logisch gesehen die Abschnitte 2 und 2.1 und die Abschnitte 3 und 3.1 zusammenfassen. Die Wendepunkte des Funktion sind die Extrema ihrer Ableitung. Deshalb dieses Kriterium "dritte Ableitung ungleich Null". Die dritte Ableitung zeigt dir das Kruemmungsverhalten der ersten Ableitung der Funktion (Die erste Ableitung ist links- oder rechtsgekruemmt je nachdem ob die dritte Ableitung negativ oder positiv ist). |
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| 18.05.2004, 15:36 | Ben Sisko | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Du meinst die x-Achse, oder? |
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| 18.05.2004, 16:33 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ja, natürlich meinte ich die x-Achse :P. Hab ja auch geschrieben. Danke für den Hinweis!! @Irrlicht Danke für die Antwort auf meine Frage und den Hinweis! Ich hab nochmal drüber nachgedacht und es auch verstanden.
Kann mir das jemand begründen? Und kann mir jemand vielleicht sagen, was Sprungstellen sind und wie man sie herausfindet!? Danke! |
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| 18.05.2004, 18:06 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
1. Sprungstellen sind Stellen, an denen die Funktion unstetig ist. Bei ganzrationalen Funktionen können solche nicht auftreten. 2. Falls du mit der Polynomdivision vertraut bist, weißt du, daß man, wenn a eine Nullstelle des Polynoms f(x) ist, von f(x) den Linearfaktor x-a abspalten kann: f(x)=(x-a)·g(x). Das Polynom g(x) hat jetzt einen um 1 kleineren Grad als f(x). Wenn f(x) nun eine weitere Nullstelle b ungleich a besitzt, so muß diese Nullstelle von g(x) sein, so daß man von g(x) den Linearfaktor x-b abspalten kann: f(x)=(x-a)·(x-b)·h(x) usw. Aus Gradgründen kann man aber nicht mehr Nullstellen abspalten, als der Grad von f(x) angibt (man führe einen Widerspruchsbeweis). |
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| 18.05.2004, 18:08 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Was heißt denn stetig?? 
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| 18.05.2004, 18:21 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Wie soll ich dir in wenigen Worten erklären, was manche Mathematikprofessoren ihren Studenten in mehreren Semestern nicht beibringen können? Ich versuch's einmal so: Eine Funktion f(x) heißt stetig an der Stelle x=a, wenn beliebig kleine Abweichungen von x auch bei f(x) nur zu beliebig kleinen Abweichungen von f(a) führen. Alle Funktionen, die man aus den gängigen Funktionen ((ganz)rationale Funktionen, trigonometrische Funktionen, Arcusfunktionen, Exponential- und Logarithmusfunktionen usw.) mittels +,-,·,: und Verkettung zusammenbauen kann, sind stetig. Um eine unstetige Funktion zu bekommen, muß man sich diese künstlich zusammenbauen. Ein einfaches Beispiel ist die "Porto"-Funktion. x sei das Gewicht eines Briefes (in g), P(x) das zugehörige Porto (in €). Ab einer gewissen Grammzahl kostet der Brief auf einmal mehr. Wenn er auch nur 1/1000 g weniger wöge, so würde er dennoch eine ganze Stufe weniger kosten (jedenfalls theoretisch). Hier liegt eine Unstetigkeitsstelle vor, beim Graphen führt das zu einem Sprung: Der Graph der "Porto"-Funktion setzt sich aus lauter Strecken zusammen, die parallel zur x-Achse liegen. Das Wort Sprungstelle dürfte jetzt anschaulich klar sein. |
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| 18.05.2004, 18:25 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ja, Sprungstelle ist verständlich geworden. Hatte mr auch schon sowas gedacht, war mir nur halt nicht sicher. Danke! :] |
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| 18.05.2004, 21:03 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Kann mir das vielleicht noch jemand beantworten? Danke!! |
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| 20.05.2004, 18:01 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Sorry für den Doppelpost! Ich hab jetzt noch ne Frage. Ich hab gelesen, dass es lokale und globale Extrema gibt. Was ist also der Unterschied zwischen einem ("normalen") Extremum, einem globalen Extremum und einem lokalen Extremum??
Danke für die Antworten! |
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| 20.05.2004, 18:11 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
lokal = in einer gewissen Umgebung einer Stelle a (d.h. in einem gewissen Intervall, das a als inneren Punkt enthält) global = im ganzen Definitionsbereich So hat z.B. die Funktion f(x) = (x²-4)² bei -2 und 2 lokale Minima und bei 0 ein lokales Maximum. Die lokalen Minima haben den Wert 0, und da f(x) niemals negative Werte annehmen kann, ist 0 zugleich das globale Minimum der Funktion, es wird an den Stellen -2 und 2 angenommen. Ein globales Maximum besitzt die Funktion jedoch nicht, da ihre Werte für gegen +Unendlich bzw. -Unendlich über alle Grenzen wachsen. |
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| 20.05.2004, 23:30 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Also hat dann z.B. die Sinusfunktion ein globales Maximum bzw. Minimum (1 bzw. -1), was unendlich oft lokal vorkommt?? |
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| 20.05.2004, 23:42 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
soo etwa ist es, nur ist das hier nicht sonderlich eindrucksvoll, weil die Maxima und Minima ALLE die gleichen Werte annehmen und damit z.B. zugleich auch globale M&M 's sind ....
besser: Sie hat lokale Maxima und Minima die zugleich auch globale sind ... schöner zeigt sich das bei Fkt's welche in (jedem) lokalen Bereich unterschiedlich große Lokale haben. z.B. gedämpfte Schwingungen ... |
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| 22.05.2004, 00:27 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Kann man das eigentlich auch ohne Polynomfunktion begründen?? Und noch eine grundlegende Frage zur Differentialrechnung: Eine Tangente an einen Punkt eines Graphen ist ja dadurch definiert, dass sie nur diesen Punkt brührt, ihn aber nicht schneidet und keinen weiteren Punkt des Graphen berührt bzw. schneidet. Bei einem Wendepunkt berührt die Tangente aber den Wendepunkt nicht, sondern schneidet ihn. Da wäre sie ja nach der Definition nicht die Tangente an diesen Punkt und es gäbe auch keine. Ähnliches bei anderen Punkten einer Polynomfunktion, die mindestens einen Wendepunkt hat oder bei nicht eineindeutigen Funktionen (Bsp. sin-Funktion). Da würde die Tangente einen bestimmten Punkt zwar berühren, aber gleichzeitig einen weiteren schneiden.
Hat man da vielleicht nochmal eine Extrafestlegung bzw. -einschränkung gemacht oder hab ich grad ein Brett vorm Kopf? Danke für die Antworten! |
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| 22.05.2004, 10:18 | Philipp-ER | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
In der Definition der Tangente steht nicht, dass sie das Schaubild der Funktion nicht schneiden darf, egal, ob an dem Punkt, an dem sie selbst Tangente ist oder an irgendeinem anderen. Die Gerade mit der Gleichung y=0 ist also durchaus Tangente an das Schaubild der Funktion x^3 im Ursprung, obwohl sie dort das Schaubild schneidet. |
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| 22.05.2004, 15:28 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Wie ist dann mit der Definition gewährleistet, dass sie nicht Sekante ist? (Wie ist denn genau die Definition?) |
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| 22.05.2004, 15:32 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Die Tangente ist über die Ableitung definiert, nicht die Ableitung über die Tangente (auch wenn im Schulunterricht oft der gegenteilige Eindruck vermittelt wird). Anschaulich ist die Tangente der Graph derjenigen linearen Funktion, die sich in unmittelbarer Umgebung des Punktes am besten an den Graphen der Funktion annähert. Es gibt ganz perverse Beispiele von Funktionen, wo der Graph die Tangente in jeder noch so kleinen Umgebung des "Berührpunktes" unendlich oft schneidet. |
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